MatAnal2

17. Степенные ряды		75
Полагаем x + 1 = t. Тогда функцию f (x) = f (t −1) =	1	= ϕ(t)
	(t−1)(3t−2)

достаточно разложить по степеням t. Раскладывая с неопределенными

коэффициентами и вычисляя их, находим

A

B

1

3

3

1

1

ϕ(t) =

+

=

−

=

·

−

=

t − 1

3t − 2

t − 1

3t − 2

2

1 − 23 t

1 − t

3

3

3

2

3

3

=

Ã1 +

t + µ

t¶ +

µ

t¶ + . . . ! − ¡1 + t + t2 + t3 + . . . ¢ =

2

2

2

2

1

∞

3

n+1

X

"µ

¶

− 1# tn.

| |

=

2

+ n=1

2

¯

| |

¯

Первое разложение справедливо при

23 t

< 1, т. е. при

|t|

< 32 , а второе

– при t < 1. Поэтому оба

разложения справедливы при

t <

2

¯

¯

3 . Оконча-

тельно, заменяя t на x + 1, получим

− 1# (x + 1)n,

1

∞

3

n+1

1

X

"µ

¶

x(3x + 1)

=

2

+ n=1

2

где |x + 1| < 23 , т. е. −53 < x < −13 .

Пример 3. Разложим в ряд Маклорена функцию f (x) = arctg x.

Имеем			∞
1
f 0(x) =			X
	1 + x2	= 1 − x2 + x4 − x6 + · · · ≡	(−1)nx2n,
			n=0

где |x| < 1. Так как в интервале сходимости степенной ряд допускает

почленное интегрирование, то получаем

x

dt

X

x

∞

f (x) = arctg x = Z0

1 + t2

= n=0(−1)n Z0

t2n dt =

∞

x2n+1

x3 x5 x7

X

(−1)n

≡ x −

+

−

+ . . . ,

=

2n + 1

3

5

7

n=0

где |x| < 1.

Упражнение. Разложите в ряды Маклорена гиперболические функции sh x и ch x. Сравните полученные разложения с разложениями тригонометрических функций sin x и cos x.

18.Несобственные интегралы

18.1Определение несобственных интегралов I и II рода

18.1.1Несобственные интегралы I рода (интегралы по неограниченным промежуткам)

Пусть функция f задана на промежутке [a, +∞), где a R, и интегри-

руема по Риману на каждом отрезке [a, ξ], где a < ξ < +∞. Выражение
	+∞ f (x) dx называют несобственным интегралом I рода (или I типа).
	a				ξ
Если существует lim
		ξ	+		a f (x) dx, то этот несобственный интеграл на-
R
			→ ∞
зывают сходящимся, а егоRзначение полагают равным
			+∞			ξ
	Za				lim	f (x) dx.
				f (x) dx = ξ→+∞ Za

Если же не существует конечного предела, то несобственный интеграл

называют расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл

a a

Z−∞ f (x) dx =	lim	f (x) dx.
	η→−∞ Zη

Пусть теперь функция f задана на всей действительной прямой и интегрируема по Риману на любом отрезке [η, ξ], где −∞ < η < ξ < +∞.

Если существует конечный двойной предел

	ξ
lim	f (x) dx,
ξ → +∞	Zη
η → −∞

то несобственный интеграл R−∞+∞ f (x) dx называется сходящимся, а его

76

18. Несобственные интегралы		77
значение полагают равным
+∞		ξ
f (x) dx =	lim	f (x) dx.
Z−∞	ξ → +∞	Zη

η→ −∞

Впротивном случае несобственный интеграл называется расходящимся.

Утверждение. Сходимость интеграла

R

+∞ f (x) dx равносильна то-

+∞

−∞

му, что сходятся оба интеграла

f (x)

и

a

f (x) dx, причем име-

R

a

R−∞

dx

ет место равенство

+∞

a

+∞

Z−∞ f (x) dx =

Z−∞ f (x) dx + Za

f (x) dx,

(18.1)

где a – произвольное действительное число.

Доказательство. Пусть при некотором a R интегралы R +∞ f (x) dx

R a

и−∞a f (x) dx сходятся. Тогда для −∞ < η < a < ξ < +∞ будем иметь

		Zηξ f (x) dx =				Zηa f (x) dx + Zaξ f (x) dx.
Отсюда, переходя к пределам при ξ → +∞ и η → −∞, получаем
	ξ					a		ξ
lim	Zη	f (x)			lim		f (x) dx + lim	f (x) dx =
ξ → +∞			dx =	ξ → +∞ Zη			ξ → +∞	Za
η → −∞				η → −∞			η → −∞
			= Z a		f (x) dx + Z +∞ f (x) dx,

−∞ a

т. е. интеграл R−∞+∞ f (x) dx сходится и для него справедливо равенство

(18.1).

Для доказательства обратного утверждения зафиксируем произволь-

ное a R и предположим, что существует

+∞ ξ

Z−∞ f (x) dx =	lim	f (x) dx.
	ξ → +∞	Zη
	η → −∞

Тогда, в силу критерия Коши существования двойного предела, отсюда следует, что для любого ε > 0 найдется такое A, что для любых ξ0, ξ00 > A

78

Третий семестр

и для любых η0, η00 < −A справедливо неравенство

¯Z

ξ0

Z

ξ00

¯

¯

η0

f (x) dx

− η00

¯

< ε.

¯

f (x) dx¯

¯

¯

Зафиксируем ε > 0 и¯ найдем такое A. Можем ¯считать, что A >

|

a

. Вы-

берем η = η0 = η00 < −A и ξ0, ξ00 > A. Тогда получим

|

¯ ξ0ξ00 f (x) dx¯ =

¯ ηξ0

f (x) dx − ηξ00

f (x) dx¯

< ε,

¯Z

¯

¯Z

Z

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

выполнено условие критерия Коши существования предела

т. е.

¯

¯

¯

Z ξ

¯

lim

f (x) dx.

ξ→+∞ a

Отсюда следует, что интеграл

+∞ f (x) dx сходится. Аналогично получа-

a

R

a

ем, что и интеграл

также сходится. Имеем

R−∞ f (x)

dx

a

dx + Za

+∞

a

ξ

f (x)

f (x) dx =

lim

f (x) dx +

lim

f (x) dx =

Z−∞

Ã

η→−∞ Zη

ξ→+∞ Za

= lim

a

ξ

ξ

+∞

f (x) dx

lim

η → −∞

η

f (x) dx +

a

! =

η → −∞

η

f (x) dx =

f (x) dx.

ξ → +∞

Z

Z

ξ → +∞

Z

Z−∞

Последний предел существует в силу условия, а выражение справа не зависит от a. Тем самым доказано (18.1) для любого a R.

Доказанное утверждение показывает, что для изучения трех видов определенных выше несобственных интегралов по неограниченным промежуткам достаточно изучить лишь один из них. Поэтому будем рассмат-

ривать лишь интегралы вида

+∞ f (x) dx.

a

+

∞ f (x) dx существует аналогия с опреде-

В определении интеграла

Ra

∞

ξ

a f (x) dx служит ча-

лением суммы ряда

n=1 anR. Именно, аналогом

стичная сумма ряда

n

интеграла определяется как

P k=1 ak

. Сходимость

R

существование

предела lim

ξ f (x) dx; аналогично, сходимость ря-

P

ξ

+

a

→ ∞

P

да определяется как

существование предела lim

n

n→∞

k=1 ak. Однако эта

R

аналогия неполная. Так,

из

сходимости

ряда

P

∞

an следует, что

n=1

18.

Несобственные интегралы

79

lim

a = 0, но из сходимости интеграла

+∞ f (x) dx не следует, что

n→∞ n

a

, даже если функция f

функция f (x)

+

∞

стремится к нулю при x → R

неотрицательна. Действительно, пусть

f (x) = (

1,

x

N,

N.

0, x

[0, + )

\

∞

Тогда для любого ξ > 1 интеграл

1ξ f (x) dx = 0 и, следовательно, ин-

R

+∞ f (x) dx

→ ∞

равен нулю. Однако же функция f (x) не

теграл

1

сходится и

R

стремится к нулю при x

+ .

P

Вместе с тем для монотонной функции f на [1, +∞) сходимость ряда

∞

f (n) и интеграла

R

+∞ f (x) dx равносильны. Это утверждает инте-

n=1

1

гральный признак сходимости рядов.

Пример 1. Вычислим

¯

Z

+∞

dx

=

lim

Z

ξ dx

=

lim

arctg x

ξ

=

lim arctg ξ = π

¯

¯0

.

0

1 + x2

ξ→+∞ 0 1 + x2

ξ→+∞

ξ→+∞

2

Пример 2. Несобственный интеграл

+∞ sin x¯ dx расходится. В самом

деле,

Z

R0

0

− cos ξ

0ξ sin x dx = − cos x¯ξ = 1

¯

¯

не имеет предела при

ξ

→

+

∞

.

¯

+

¯

∞ dx . Имеем

приложениях важным является

Пример 3. Во1многих ξ

1

1

α

R1

xα

|1

¯

ξ

dx

x1−α

¯1

, α = 1,

1

α

ξ −

1 , α = 1,

xα

=

1−α

ξ

6

=

−

−

6

1

− → 0 (ξ → +∞), и

ln ξ, ¡

α = 1. ¢

Z

ln x

,

α = 1

¯

Если α > 1, то ξ1

α

поэтому этот интеграл сходится и

+∞ dx

1

Z1

=

.

xα

α − 1

Если же α ≤ 1, то

1ξ xdxα → +∞ при ξ → +∞, и данный интеграл расхо-

дится.

Окончательно

R

+∞ dx

1

Z1

=

(α > 1),

xα

α − 1

а при α ≤ 1 интеграл слева расходится.

80	Третий семестр

18.1.2Несобственные интегралы II рода (интегралы от неограниченных функций)

Ранее нами было установлено, что интегрируемая по Риману на отрезке функция является ограниченной на этом отрезке. Сейчас мы хотим распространить понятие интеграла для некоторых классов неограниченных функций.

Пусть функция f задана на полуинтервале [a, b), где −∞ < a < b <

+∞, и интегрируема по Риману на любом отрезке [a, ξ], где a < ξ < b.

Если существует конечный предел limξ→b−0								aξ f (x) dx, то несобственный
интеграл	II	рода (или	II		типа) a			R
					R	b f (x) dx называют сходящимся и пола-
гают		Za		b			ξ
							lim	f (x) dx.
				f (x) dx =			ξ→b−0 Za

В противном случае несобственный интеграл называют расходящимся.

Замечание 1. В данном определении естественно предполагать, что функция f неограничена в любой левой полуокрестности точки b. Действительно, если функция f ограничена на [a, b) и интегрируема на каж-

дом отрезке [a, ξ] при любом ξ < b, то, используя критерий интегриру-

емости функции в смысле Римана в терминах колебаний, легко можно показать, что функция f интегрируема по Риману на отрезке [a, b] (в самой точке b функцию можно доопределить произвольным образом и это

не влияет ни на свойство функции быть интегрируемой, ни на величину интеграла Римана Rab f (x) dx).

Замечание 2. Если функция f интегрируема по Риману на отрезке [a, b], то, как было установлено ранее, интеграл с переменным верх-

ним пределом ϕ(ξ) =		aξ f (x) dx является непрерывной на [a, b] функцией.
В частности,	существует lim		ξ→b−0	ϕ(ξ) =			b f (x) dx. Это означает, что
		R					a
для интегрируемой в смысле Римана					функции интеграл в несобственном
						R

смысле также существует и их значения совпадают.

Если функция f неограничена в любой левой полуокрестности точки b, то эту точку называют особой точкой и говорят, что в точке b функция

18. Несобственные интегралы					81
имеет особенность. Иногда это обозначают так:					a(b) f (x) dx.
		b		особенностью в точке a. Имен-
Аналогично определяется		(a) f (x) dx с
	R				R
но, полагаем
b	b				b
Z(a) f (x) dx ≡ Za		f (x)		lim	f (x) dx,
			dx = η→a+0 Zη

если предел справа существует. В этом случае интеграл называют сходящимся, в противном случае – расходящимся.

1

dx

Пример 1. У интеграла

R0

имеется особенность в точке x = 1.

√1−x2

Имеем

1

dx

ξ

dx

Z0

lim

√1 − x2 =

ξ→1−0 Z0

√1 − x2 =

¯

ξ

¯

= lim arcsin x

¯0

=

lim

arcsin ξ = arcsin 1 =

π

2 .

ξ→1−0

ξ→1−0

Пример 2. Как и в

приведенном выше примере 3, следующий пример

¯

имеет много важных приложений. Рассмотрим интеграл

1 dx

, где α > 0.

R0

xα

Он имеет особенность в точке x = 0. При

6

имеем

α = 1

Z

1 dx

−

¯

1

−

−

= 1

1

η1

α

η xα

1 α x1−α¯η = 1 α

− 1

−α ,

¯

а если α = 1, то

Z

¯

¯

1 dx

1

1

¯

η

x

= ln x¯η

= ln

η

.

Если α < 1, то существует

¯

lim

1 dx

1

xα = 1 − α .

η→0+ Zη

1

Если же α ≥ 1, то предел limη→0+ Rη xdxα

не существует. Следовательно,

1 dx

1

Z0

=

(α < 1)

xα

1 − α

и интеграл расходится при α ≥ 1.

82 Третий семестр

Интеграл с несколькими особенностями определяется как сумма интегралов по таким промежуткам, на каждом из которых имеется лишь одна особенность. При этом интеграл называют сходящимся, если сходятся все интегралы указанной суммы. Если хотя бы один из них расходится, то и

исходный интеграл называют расходящимся.

Пример. Интеграл

+∞

dx

определяется как

3

4

+∞

R−∞

√x

√x−1

√x−2

dx

a

0

b

1

c

2

d

+∞

Z−∞

√

√3

√4

= Z−∞ + Za

+ Z0

+ Zb

+ Z1

+ Zc

+ Z2

+ Zd

,

x

x − 1

x − 2

где −∞ < a < 0 < b < 1 < c < 2 < d < +∞.

18.2Простейшие свойства несобственных интегралов

Будем рассматривать функцию f , заданную на [a, b), где b – конечное или

бесконечное, и изучать свойства интеграла

Za	b			ξ
		lim		f (x) dx.
	f (x) dx =	ξ→b, ξ<b Za
Тем самым охватываем свойства интегралов как I, так и II рода.
1. Аддитивность. Несобственный интеграл						ab f (x) dx сходится то-
гда и только тогда, когда для любого c				(a, b)	сходится интеграл			b
						R	R	c f (x) dx.
При этом справедливо равенство
Zab f (x) dx = Zac f (x) dx + Zc b f (x) dx.								(18.2)
Доказательство следует из определения, т. к. при c < ξ < b имеем

Z ξ Z c Z ξ

f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx.

a a c

Переходя к пределу при ξ → b (ξ < b), получаем требуемое свойство.

Замечание. Из равенства (18.2) вытекает, что у сходящегося интеграла его "остаток" Rcb f (x) dx стремится к нулю при c → b. Действительно,

18. Несобственные интегралы	83

если в (18.2) устремить c к b, то первое слагаемое справа стремится к

Rab f (x) dx, т. е. Rcb f (x) dx → 0 при c → b (c < b).

2. Линейность. Пусть функции f и g интегрируемы в несобственном смысле на [a, b) и α, β R. Тогда функция αf + βg интегрируема на

[a, b) и	Zab[αf + βg](x) dx = α Zab f (x) dx + β Zab g(x) dx.
		(18.3)

Доказательство следует из линейности собственного интеграла Ри-

мана. Действительно, для ξ < b имеем

Z ξ Z ξ Z ξ

[αf + βg](x) dx = α f (x) dx + β g(x) dx

a a a

и, переходя к пределу при ξ → b (ξ < b) (пределы каждого слагаемого

справа существуют по условию), получаем (18.3).

3. Формула Ньютона – Лейбница. Пусть функция f непрерывна

на [a, b), где −∞ < a < b ≤ +∞ и F									– ее первообразная на [a, b). То-
гда несобственный интеграл						ab f (x) dx сходится в том и только в том
					конечный предел					limx→b, x<b F (x); при этом
случае, если существует					Z	R
										¯a
					ab f (x) dx = F (x)¯b ,
										¯
	b			b						¯
	¯a
где F (x)	¯	понимается в следующем						смысле:
										¯
			¯
		F (x)	¯	lim		(F (x)	− F (a)) = F (b − 0) − F (a).
			¯a = x→b, x<b
			¯

Доказательство. Прежде всего заметим, что первообразная F у

непрерывной функции f существует в силу основной теоремы интеграль-

ного исчисления. В частности, одна из первообразных – это интеграл с переменным верхним пределом ax f (t) dt, где a ≤ x < b. Далее, по формуле

R

Ньютона – Лейбница, Raξ f (x) dx = F (ξ) − F (a), где a ≤ ξ < b. Существование предела левой части при ξ → b (ξ < b) равносильно существованию

предела правой части.

84	Третий семестр
	4. Интегрирование неравенств. Пусть функции f и g интегриру-

емы в несобственном смысле на [a, b) и f (x) ≤ g(x) при всех a ≤ x < b.

Тогда Z b Z b

f (x) dx ≤ g(x) dx.

a a

Доказательство сразу следует из соответствующего свойства для собственных интегралов Римана, в силу которого для a ≤ ξ < b имеем

Z ξ Z ξ

f (x) dx ≤ g(x) dx,

a a

иостается перейти к пределу при ξ → b (ξ < b).

5.Интегрирование по частям. Пусть функции u и v непрерывно дифференцируемы на [a, b). Тогда справедливо равенство

		Z			¯	Z
					b
			ab u(x)v0(x) dx = u(x)v(x)¯a −				ab u0(x)v(x) dx,		(18.4)
		b	b		¯
		¯a			¯
где	u(x)v(x)	¯	понимается как
			¯
			¯	lim	[u(ξ)v(ξ)			u(a)v(a)] .
			u(x)v(x)¯a =	ξ→b, ξ<b			−
			¯

Доказательство. Запишем обычную формулу интегрирования по частям на отрезке [a, ξ] и устремим ξ к b. Следует заметить, что при этом

будут иметь место три предельных перехода. Их следует понимать в том смысле, что если любые два из трех пределов существуют, то существует

и третий предел и имеет место равенство (18.4).

Пример 1. Вычислим

Z0

+∞

+

∞

+∞

e−x dx = − e−x

+

∞

= 1.

xe−x dx = −xe−x

¯0

+ Z0

¯0

¯

¯

Пример 2 (интеграл Эйлера). Так называется интеграл

Z

π/2

¯

π/2

Z

π/2

Z

π/2

x

¯

0

ln sin x dx = x ln sin x¯0

−

0

x

sin x

dx = −

0

tg x

dx.

¯