MatAnal2

20. Ряды Фурье

135

Положим ϕ(x) = mki , если x

ki и ϕ(x) = 0 при x / iN=1+1 ksi=1 ki .

Ясно, что ϕ – финитная ступенчатая функция. Имеем

N

+∞

X

xi+1

Z−∞ |f (x) − ϕ(x)| dx = i=0 Zxi

|f (x) − ϕ(x)| dx =

N+1

αi

x

β

X

ÃZxi−1 |f (x)| dx + Zβi i |f (x)| dx + Zαi i |f (x) − ϕ(x)| dx! =

= i=1

N+1

xi

β

N+1

βi

X

X

= i=1 ÃZxi−1 |f (x)| dx − Zαi i |f (x)| dx! + i=1 Zαi

|f (x) − ϕ(x)| dx ≤

N+1 si

xki

¡

¢

ε

X X

mki

+

f (x)

dx =

≤ 2

i=1 k=1 Zxki −1

−

N+1

βi

si

ε

X

X

¯

¯

ε ε

i

¯

i

¯

+ i=1 ÃZαi

! ≤

=

f (x) dx − k=1 mk

k

+

= ε.

2

2

2

Отсюда следует (20.4) и тем самым завершается доказательство первого

равенства теоремы.

Второе равенство доказывается аналогично.

20.2Замкнутые и полные ортонормированные системы

Рассмотрим произвольную ортонормированную систему {ϕk} в евклидовом пространстве R.

Определение. Ортонормированная система {ϕk} называется замкнутой, если для любого элемента f R и для любого ε > 0 найдется такая

линейная комбинация конечного числа элементов ϕk, что

°f −	n	ckϕk° < ε.
°	X	°
°		°
°	k=1	°
°		°

136	Третий семестр

Теорема 1. Если ортонормированная система {ϕk} замкнута, то для любого элемента f R неравенство Бесселя обращается в равенство

X∞

(f, ϕk)2 = kf k2,

k=1

называемое равенством Парсеваля.

Доказательство. Фиксируем f R и ε > 0. Из замкнутости системы

{ϕk} следует, что найдутся такие число n и коэффициенты c, . . . , cn, что

°f − n ckϕk°2 < ε2.

°

X

°

°

°

°

k=1

°

минимальности коэффициентов Фурье a

и

Но, в силу свойства

°

°

k = (f, ϕk)

следствия 1 из него,

≤ °f − ckϕk

°

kf k2 − ak2 = °f − akϕk°

2

< ε2

,

n

n

n

X

°

X

°

°

X

°

°

°

°

°

k=1

°

k=1

°

°

k=1

°

откуда, учитывая

неравенство Бесселя, получаем

°

°

°

°

n

X

0 ≤ kf k2 − ak2 < ε2.

k=1

Поскольку с ростом n выражение kf k2 −

n

k=1 ak2 убывает, то отсюда вы-

текает, что для всех номеров m ≥ n

также справедливо неравенство

P

m

X

kf k2 −

ak2 < ε2,

k=1

а это и означает, что

∞

∞

kf k2 =

X

X

ak2 =

(f, ϕk)2 .

k=1

k=1

Теорема 2. Если ортонормированная система {ϕk} замкнута в R, то для любого элемента f R его ряд Фурье сходится к f по норме пространства R, т. е.

nlim	°f −	n	(f, ϕk) ϕk° = 0.
	°	X	°
	°		°
	°	k=1	°
→∞ °			°

20. Ряды Фурье	137

Доказательство мгновенно следует из теоремы 1 и следствия 1 из

свойства минимальности коэффициентов Фурье. В самом деле, в силу

равенства Парсеваля,			°2 = kf k2 −		(f, ϕk)2 → 0 (n → ∞).
°f −	n	(f, ϕk) ϕk		n
°	X		°	X
°			°
°	k=1		°	k=1
°			°

Замечание. В пространстве кусочно непрерывных на [−π, π] функ-

ций тригонометрическая система является замкнутой (это мы докажем позже). Норма в этом пространстве определяется равенством

sZ π

		kf k =				f 2(x) dx.
						−π
Сходимость по норме этого пространства имеет такой вид:
nlim	π	Ãf (x) − Ã	2 +			ak cos kx + bk sin kx!!	dx = 0,
	π				n	2
→∞ Z−			a0		X
					k=1

где ak и bk – коэффициенты Фурье функции f . Такой вид сходимости

называют также сходимостью в среднем. Из сходимости в среднем последовательности функций не следует поточечная сходимость этой последовательности. Например, последовательность

k

≤ x <

k+1

fn,k(x) =

1,

n

\

n k,

k+1

¢

−

x

[0, 1]

£

k = 0, . . . , n

1, n = 1, 2, . . . ,

0,

n , n

,

сходится в среднем к функции, тождественно равной нулю, но расходится в каждой точке.

Определение. Ортонормированная система {ϕk} называется полной, если не существует ненулевого элемента f R, ортогонального ко всем

ϕk. Другими словами, для полной системы {ϕk} из равенств (f, ϕk) = 0 (k = 1, 2, . . . ) следует, что f – нулевой элемент в R.

Теорема 3. Если ортонормированная система {ϕk} замкнута, то

она полная.

138	Третий семестр

Доказательство. Пусть {ϕk} замкнута, а f – ортогональный ко всем

ϕk. Тогда все коэффициенты Фурье элемента f по системе {ϕk} равны

нулю и, в силу равенства Парсеваля,

∞		∞
X	(f, ϕk)2	X
kf k2 =		= 0 = 0.
k=1		k=1

Из аксиом нормы следует, что f – нулевой элемент пространства R.

Теорема 4 (единственность ряда Фурье). Если ортонормированная система {ϕk} полная, то два различных элемента f, g R не могут

иметь одинаковые ряды Фурье.

Доказательство. Если (f, ϕk) = (g, ϕk), то (f − g, ϕk) = 0 (k = 1, 2, . . . ), т. е. разность f − g ортогональна ко всем ϕk. Отсюда, в силу полноты {ϕk}, следует, что f − g = 0, т. е. f = g.

Из теорем 3 и 4 мгновенно вытекает

Следствие. Если ортонормированная система {ϕk} замкнута, то два различных элемента f, g R не могут иметь одинаковых рядов

Фурье.

20.3Тригонометрические ряды Фурье

20.3.1Ядро Дирихле и его свойства. Принцип локализации

Пусть функция f абсолютно интегрируема на [−π, π] в несобственном

смысле. Найдем выражение для частичной суммы ее ряда Фурье по три-

гонометрической системе

						n
				a0		X
			Sn(x, f ) =			+ ak cos kx + bk sin kx =
				2		k=1
		π	n			π
	1		X	1
=		Z−π f (t) dt + k=1				Z−π f (t)[cos kt cos kx + sin kt sin kx] dt =
	2π			π

20. Ряды Фурье											139
			π							n
		1				1				X
=			Z−π f (t)	"				+ k=1 cos k(t − x)# dt.
	π					2
Обозначим										n
									1	X
			Dn(t) =							+ cos kt.	(20.5)
								2		k=1
Функция Dn(t) называется ядром Дирихле. Тогда получим
				1					π
	Sn(x, f ) =					Z−π Dn(t − x)f (t) dt.
					π

Интеграл в правой части называется интегралом Дирихле.

Свойства ядра Дирихле.

1)

Dn(0) = n +

1

(n = 0, 1, . . . ).

2

1

π

2)

Z−π Dn(t) dt = 1 (n = 0, 1, . . . ).

π

¡

2

¢

sin

n + 1

t

3)

Dn(t) =

2

(n = 0, 1, . . . , t 6= 2πk, k N).

2 sin

t

Первые два свойства вытекают сразу из определения (20.5) ядра Ди-

рихле. Докажем 3). Для n = 0, 1 . . . , t 6= 2πk, k N имеем

n

Ã

n

1

X

1

sin

t

X

t

Dn(t) =

+

cos kt =

+

2 sin

cos kt

=

2

k=1

2 sin 2t

2

k=1

2

!

"

X µ

¶

1

t

n

2k + 1

2k − 1

sin n + 21 t

=

t

sin

+

sin

t

sin

t

=

.

2 sin

2

2

−

2

#

2 sin

t

¢

2

k=1

2

¡

4) Из (20.5) сразу видно, что ядро Дирихле – четная, непрерывная,

2π-периодическая функция. Поэтому

	0	π	π
	Z−π Dn(t) dt = Z0	Dn(t) dt =		,
			2

	140			Третий семестр
	или		Z0	π
	2
				Dn(t) dt = 1.
		π

Вернемся к частичным суммам ряда Фурье абсолютно интегрируемой

на [−π, π], 2π-периодической функции f . Имеем

1

π

1

π−x

Sn(x, f ) =

Z−π Dn(t − x)f (t) dt =

Z−π−x Dn(u)f (x + u) du =

π

π

1

π

Z−π Dn(u)f (x + u) du =

=

π

1

0

1

π

=

Z−π Dn(u)f (x + u) du +

Z0

Dn(u)f (x + u) du =

π

π

1

π

1

π

Z0

Z0

=

Dn(t)f (x − t) dt +

Dn(u)f (x + u) du =

π

π

1

π

Z0

Dn(t)[f (x + t) + f (x − t)] dt.

=

π

Отсюда вытекает

Следствие. Пусть 0 < δ < π, x [−π, π], 2π-периодическая функция

f абсолютно интегрируема на [−π, π]. Тогда

1

Z0

δ

Sn(x, f ) =

Dn(t)[f (x + t) + f (x

− t)] dt +

(1) (n → ∞).

o

π

Доказательство. В силу полученного выше равенства,

1

δ

1

π

Z0

Dn(t)[f (x+t)+f (x−t)] dt+

Zδ

Dn(t)[f (x+t)+f (x−t)] dt.

Sn(x, f ) =

π

π

Поэтому достаточно показать, что последнее слагаемое справа стремится к нулю при n → ∞. При фиксированном x [−π, π] на отрезке t [δ, π]

	(x		t)
функция	f (x+t)+f	−		абсолютно интегрируема и поэтому, в силу теоре-
	t
	2 sin 2
мы Римана,			Zδ		π
		1
					Dn(t)[f (x + t) + f (x − t)] dt =
		π

20. Ряды Фурье	141

1

π

1

f (x + t) + f (x − t)

=

sin

n +

t

dt

0 (n

).

t

π

Zδ

µ

2

¶

·

2 sin

→

→ ∞

2

Из этого следствия вытекает

Теорема (принцип локализации). Пусть 2π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [−π, π]. Тогда сходимость ряда Фурье функции f в точке x0 R зависит только от существования при n → ∞ предела интеграла

1 Z δ

π 0

Dn(t) [f (x0 + t) + f (x0 − t)] dt,

где δ – сколь угодно малое положительное число. Иначе говоря, сходимость ряда Фурье в точке x0 определяется лишь поведением функции f в любой сколь угодно малой окрестности точки x0.

20.3.2Условия сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке

Лемма. Пусть 2π-периодическая функция f абсолютно интегриру-

	ема на [0, π]. Тогда при любом δ (0, π] интегралы
		δ	|f (t)|	dt и	π	|f (t)|			dt	(20.6)
	Z0				Z0
			t			2 sin	t
							2

сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Выберем δ1 (0, δ], такое, что у функции f нет других особенностей на (0, δ1], за исключением, быть может, точки 0. Это возможно, поскольку у функции f может быть не более конечного числа

особых точек на [0, π]. Функции	1	и	1		ограничены на [δ1, δ] и [δ1, π],
				t
	t		2 sin	2

соответственно, а функция f абсолютно интегрируема на [δ1, π] по усло-

вию. Поэтому функции	|f (t)|	и	|f(t)t|	абсолютно интегрируемы на [δ1, δ] и
	t		2 sin 2

[δ1, π], соответственно. Значит, сходимость интегралов в (20.6) определя-

ется сходимостью интегралов

	δ1	|f (t)|	dt и	δ1	|f (t)|			dt,	(20.7)
	Z0			Z0
		t			2 sin	t
						2

142 Третий семестр

причем единственная особенность у этих интегралов может быть лишь в

нуле. Но поскольку функции ϕ1				(t) =	|f (t)|			и ϕ2(t) =		|f (t)t|	эквивалентны
						t				2 sin 2
при t → 0+		ϕ1(t)					2 sin t
	lim			= lim			2		= 1 ,
		ϕ2(t)
	µt→0+			t→0+				t	¶

то оба интеграла в (20.7), в силу признака сравнения, сходятся или рас-

ходятся одновременно.

Предположим, что в некоторой точке x у 2π-периодической, абсолютно интегрируемой на [−π, π] функции f существуют односторонние пре-

делы f (x + 0) и f (x − 0). Обозначим

ϕx(t) = f (x + t) − f (x + 0) + f (x − t) − f (x − 0).

Ясно, что функция ϕx(t) при фиксированном x 2π-периодическая и абсолютно интегрируема на [−π, π].

Теорема (признак Дини сходимости ряда Фурье в точке).

Пусть 2π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на [−π, π]

и пусть в некоторой точке x у функции f существуют односторонние

пределы f (x + 0) и f (x − 0). Если при некотором δ > 0 интеграл

Z0

δ

|ϕx(t)|

dt

(20.8)

t

сходится, то ряд Фурье функции f сходится в точке x к значению

f (x + 0) + f (x − 0)

.

(20.9)

2

Доказательство. Имеем

S

(x, f )

−

f (x + 0) + f (x − 0)

=

n

2

1

π

f (x + 0) + f (x

0) 2

π

=

Z0

Dn(t)[f (x + t) + f (x

− t)] dt −

−

Z0

Dn(t) dt =

π

2

π

1

π

1

π ϕx(t)

1

=

Dn(t)ϕx(t) dt =

sin

n +

t dt.

t

π

Z0

π Z0

2 sin

µ

2

¶

2

20. Ряды Фурье

143

Если сходится интеграл (20.8), то, в силу леммы, интеграл

π

|ϕx(t)|

dt

Z0

2 sin 2t

сходится, т. е. функция

ϕx(t)

абсолютно интегрируема на [0, π]. Поэтому,

t

2 sin

2

в силу теоремы Римана,

π ϕx(t)

sin µn +

1

¶ t dt → 0 (n → ∞).

Z0

2 sin

t

2

2

Следствие 1. Пусть f – кусочно непрерывная функция. Если в точке

x интеграл (20.8) сходится, то ряд Фурье функции f сходится к f (x).

Это сразу следует из доказанной теоремы и из определения кусочно непрерывной функции, для которой в каждой точке x справедливо ра-

венство f (x) = f (x+0)+f (x−0) .

2

Следствие 2.			Пусть 2π-периодическая, абсолютно интегрируемая
на [−π, π]	функция f такова, что в некоторой точке x существуют
f (x + 0), f (x − 0),
f 0 (x) =	lim	f (x + t) − f (x + 0)		,	f 0 (x) =	lim	f (x + t) − f (x − 0)	.
+	t 0+		t		−	t 0	t
	→					→ −

Тогда ряд Фурье функции f в точке x сходится к значению (20.9).

Доказательство. Достаточно показать, что сходится интеграл (20.8).

Имеем

lim

ϕx(t)

=

lim

µ

f (x + t) − f (x + 0)

+

f (x

−

t) − f (x − 0)

=

t

t

t→0+

t→0+

t

¶

= f+0 (x) − f−0 (x).

Поэтому функция

ϕx(t)

ограничена в некоторой окрестности точки 0 и,

t

следовательно, точка 0 не является особой для интеграла (20.8). Поэтому при некотором δ > 0 этот интеграл сходится и тем самым завершается

доказательство.

Следствие 3. Если функция f дифференцируема в точке x, то ее ряд Фурье в точке x сходится к значению f (x).

144

Третий семестр

Это сразу вытекает из следствия 2 и из признака Дини.

Пример 1. Пусть f (x) = ch x (−π < x ≤ π). Тогда

1

π

Z−π ch x sin nx dx = 0

bn =

π

и

1

π

1

sh x cos nx¯

π

1

π

Z−

an =

π ch x cos nx dx =

π

+ n

π sh x sin nx dx =

π

π

π

Z−

¯−

¯

¯

2

n

¯

π

1

π

¯

Z−π ch x cos nx dx =

= (−1)n

sh π +

ch x sin nx

− n2

¯

−π

π

π

π

= (−1)n

2

− n2an,

an = (−1)n

2 sh π

откуда

sh π

,

π

π

1 + n2

а ряд Фурье имеет вид

∞

2 sh π

2 sh π

∞

cos nx

X

X

ch x

(−1)n

π

1 + n2

cos nx =

π

(−1)n

1 + n2

.

n=0

n=0

Этот ряд сходится равномерно на [−π, π]. Функция ch x дифференцируема на (−π, π) и поэтому ее ряд Фурье сходится в каждой точке x (−π, π)

к значению f (x) = ch x. В точке x = π функция ch x, периодически про-

долженная на всю числовую ось, имеет конечные односторонние производные. Поэтому, в силу следствия 2, ряд Фурье функции ch x в точке x = π сходится к значению ch π. Аналогично, в точке x = −π ряд Фурье сходится к значению ch(−π) = ch π.

Пример 2. Рассмотрим функцию f (x) = sh x (−π < x ≤ π). Ее коэф-

Фурье a

= 1

π

sh x cos nx dx = 0,

фициенты

π

n

π

R−π

π

π

1

Z−

1

¯−

Z−

¯

bn =

π

π sh x sin nx dx =

π

ch x sin nx¯

π

−

π

π ch x cos nx dx =

2

sh π

¯

2 sh π

n

= (−1)n−1

= −n(−1)n

,

π

1 + n2

π 1 + n2