MatAnal2

Предметный указатель

285

Интеграл

–поверхностный первого рода, 248

–Римана – Стилтьеса, 163

–Римана – Стилтьеса относительно функции ограниченной вариации, 176

–с несколькими особенностями, 82

–расходящийся, 82

–сходящийся, 82

–с особенностью, 81

–Эйлера – Пуассона R0+∞ e−x2 dx,

118

–Эйлера R π/2 ln sin x dx, 84, 85

–R1+∞ xdxα ,079

–	R1			xαx dx, 92
–		1	dx
	R	0	x
		+∞ sin

Интегрируемость композиции в смысле Римана, 205

Интервал сходимости степенного ряда, 54

Класс функций ограниченной вариации, 171

Колебание функции на множестве, 197 Конец кривой, 220 Контур, ограничивающий область, 229 Контур простой, 220, 229

Косинус направляющий, 251 Коэффициент степенного ряда, 53 Коэффициент Тейлора, 67 Коэффициент Фурье, 130 Край поверхности, 239 Кривая, 220

–гладкая, 220

–замкнутая, 220

–кусочно гладкая, 220

–лежащая на поверхности, 241

–непрерывная, 220

–ориентированная, 220

–противоположно, 221

–простая, 220

Кривая спрямляемая, 221 Критерий

–измеримости по Жордану, 187

–интегрируемости

–в смысле Римна – Стилтьеса, 164

–в терминах верхнего и нижнего интегралов, 196

–в терминах колебаний, 198

–компактности в Rn , 187

–Коши равномерной сходимости

–несобственных интегралов, 103

–последовательности, 37

–ряда, 38

–Коши сходимости

–несобственных интегралов, 89

–числового ряда, 3

–Лебега интегрируемости по Риману, 200

–потенциальности поля

–непрерывного, 233, 266

–непрерывно дифференцируемого, 237, 266

–Римана интегрируемости в терминах сумм Дарбу, 195

–соленоидальности векторного поля, 267, 270

–сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции, 87

–сходимости числового ряда с неотрицательными слагаемыми, 6

Лемма об оценке мер образов малых кубов, 214

Лемма о дизъюнктивном разложении фигуры, 180

Линейность интеграла Римана, 204 Линейность несобственного интеграла,

83 Лист Мебиуса, 243 Масса кривой, 225

286	Предметный указатель

Масса поверхности, 249 Мера

–Жордана, 184

–множества внешняя, 183

–множества внутренняя, 183

–сегмента, 179

–фигуры, 182

Множество

–жордановой меры нуль, 185

–измеримое по Жордану, 184

–компактное, 187

–лебеговой меры нуль, 200

–неизмеримое по Жордану, 184

–открытое, 185

–счетное, 185

Монотонность

–интеграла Римана, 204

–меры фигур, 182

–несобственных интегралов, 84 Набор сегментов дизъюнктивный, 182 Начало кривой, 220 Необходимое условие сходимости

–бесконечного произведения, 28

–числового ряда, 3

Неравенство

–Бесселя, 131

–Коши – Буняковского, 126, 157

–Минковского, 127

–треугольника, 127

Норма, 126 Нормаль внешняя, 243

Нормаль внутренняя, 243 Область

–в Rn , 226

–замкнутая, 226

–линейно односвязная, 266

–многосвязная, 232

–односвязная, 230

Область

– сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, 101

–элементарная, 230

–относительно оси, 259 Объем тела, 261 Оператор Гамильтона, 255

Оператор дифференциальный, 256 Ориентация

–кривой, 220

–противоположная, 221

–поверхности, 243

–согласованная с положительной ориентацией контуров, 244

–простого контура положительная

(отрицательная), 230 Остаток несобственного интеграла, 82 Остаток числового ряда, 5 Отображение

–гладкое, 239

–единичное, 214

–замкнутой области в R3 непрерыв-

но дифференцируемое, 239

–тождественное, 214

Отрезок Коши числового ряда, 3 Параллелограмм криволинейный на по-

верхности, 244 Параметризация кривой естественная,

222 Параметризации поверхности различ-

ные, 241 Перестановка ряда, 22

Плоскость, касательная к поверхности, 242

Плотность распределения массы, 225, 248

Предметный указатель

287

Площадь

–криволинейного параллелограмма, 245

–поверхности, 245

–почти простой поверхности, 247 Поверхность

–кусочно гладкая, 244

–натянутая на контур, 262

–ориентируемая, 243

–почти простая, 240

–простая, 239

–цилиндрическая, 260

Поле

–векторное, 226, 250, 257

–дифференцируемое, 257

–непрерывно дифференцируемое, 226

–непрерывное, 226

–единичных нормалей к поверхности, 243

–потенциальное, 233, 265

–скалярное, 255

–дифференцируемое, 255

–соленоидальное, 267

–трубчатое, 270

Полуаддитивность меры фигур, 183 Полусфера, 254 Последовательность функциональная,

31 Потенциал векторный, 267 Потенциал поля, 233

Поток векторного поля через границу области, 259

Поток вектор-функции через ориентированную поверхность, 251

Почти куб, 210 Правила обращения с оператором Га-

мильтона, 256 Правило правого винта, 262 Предел интегральных сумм, 192

Представление эллипса параметрическое, 225

Представление эллипсоида параметрическое, 249

Преобразование Абеля, 19 Признак

–Абеля равномерной сходимости

–несобственных интегралов, 106

–числового ряда, 39

–Абеля сходимости

–несобственных интегралов, 91

–числового ряда, 20

–Вейерштрасса равномерной сходимости

–несобственных интегралов, 105

–ряда, 38

–Даламбера, 10

–в предельной форме, 11

–Дини сходимости ряда Фурье в точке, 142

–Дирихле равномерной сходимости

–несобственных интегралов, 107

–ряда, 39

–Дирихле сходимости

–несобственных интегралов, 92

–числового ряда, 21

–Коши, 12

–в предельной форме, 12

–обобщенный, 59

–сравнения

–для несобственных интегралов, 87

–в предельной форме, 87

–для числовых рядов, 8

–в предельной форме 9

–сходимости ряда интегральный, 14 Пример Дю Буа Реймона, 147 Пример Колмогорова, 147 Принцип локализации, 141 Прогрессия геометрическая, 1

288	Предметный указатель

Продолжение разбиения, 194 Произведение

–бесконечное, 27

–расходящееся, 27

–сходящееся, 27

–векторов смешанное, 252

–рядов, 26

–скалярное, 125

–в пространстве кусочно непрерывных функций, 125, 153

–числового ряда на число, 6 Пространство

–евклидово, 125

–кусочно непрерывных функций, 125

–нормированное, 126

Равенство Парсеваля, 136 Радиус сходимости степенного ряда, 54 Разбиение множества, 191 Ряд

–биномиальный, 74

–гармонический, 4

–обобщенный, 7, 15

–знакопеременный, 16

–знакочередующийся, 16

–лейбницевского типа, 17

–мажорантный, 39

–Маклорена, 69

–полугармонический, 17

–степенной, 53

–сходящийся абсолютно, 21

–сходящийся условно, 21

–Тейлора, 67

–функциональный, 32

–Фурье, 130

–числовой, 1

–расходящийся, 1

–сходящийся, 1

Ряды Маклорена элементарных функций, 69

Свойства

– измеримых по Жордану множеств, 189

–интеграла Римана, 201

–интеграла Римана – Стилтьеса, 166, 176

–криволинейных интегралов второго рода, 227

–криволинейных интегралов первого рода, 223

–множеств жордановой меры нуль, 186

–площади поверхности, 246

–скалярного произведения, 125

–фигур, 181

–ядра Дирихле, 139

–ядра Фейера, 149

Сегмент в Rn , 179

Сегмент вырожденный, 180 Сегмент составляющий, 182 Система

–замкнутая, 135, 153

–нормированная, 127

–ортогональная, 127

–ортонормированная, 127

–полная, 137

–тригонометрическая, 127

–ортонормированная, 128 Слагаемые ряда, 1 След кривой, 220

Согласованность ориентации поверхности и ее края, 262

Соленоид, 270 Сторона поверхности, 243

–внешняя, 244

–внутренняя, 244

–противоположная, 243

Сумма

–геометрической прогрессии, 2, 53

–Дарбу верхняя, 193

Предметный указатель

289

Сумма

–Дарбу нижняя, 193

–интегральная, 192

–Римана – Стилтьеса, 169

–ряда, 1

–ряда частичная, 1

–Фейера, 148

–числовых рядов, 6

Суммирование методом средних арифметических, 148

Суммируемость в смысле Чезаро, 148 Сфера, 240 Сходимость

–в среднем, 137

–несобственного интеграла, 14

–зависящего от параметра, равномерная, 102

–по норме пространства, 136

–степенного ряда внутри интервала сходимости, 60

–функционального ряда поточечная, 32

–функционального ряда равномерная, 35

–функциональной последовательности поточечная, 31

–функциональной последовательности равномерная, 32

C1-диффеоморфизм, 209

Теорема

–Абеля вторая, 62

–Абеля первая, 53

–Вейерштрасса о приближении непрерывной функции тригонометрическими полиномами, 151

–Вейерштрасса о приближении непрерывной функции алгебраическими полиномами, 152

–Гейне – Бореля, 187

–Грина, 230

Теорема

–Жордана, 229

–Карлесона, 147

–Коши – Адамара, 58

–Коши о произведении абсолютно сходящихся рядов, 26

–Лейбница, 16

–об аддитивности полной вариации, 173

–об арифметических свойствах

–сходящихся числовых рядов, 6

–функций ограниченной вариации, 172

–об интегрировании

–по параметру несобственного интеграла, 116

–собственного интеграла, зависящего от параметра, 97

–об интегрируемости

–композиции в смысле Римана – Стилтьеса, 167

–непрерывной функции, 198

–функции, разрывной на множестве меры нуль, 199

–об обратном отображении, 208

–об общем виде векторного потенциала, 269

–об оценке остатка ряда лейбницевского типа, 18

–о вычислении радиуса сходимости степенного ряда, 56

–о дифференцировании по параметру

–несобственного интеграла, 113

–собственного интеграла, 95

–с переменными пределами интегрирования, 100

–о дифференцировании предела последовательности дифференцируемых функций, 49

290	Предметный указатель

Теорема

–о дифференцировании предела последовательности непрерывно дифференцируемых функций, 47

–о единственности

–разложения аналитической функции в степенной ряд, 66

–ряда Фурье, 138

–о замене переменной в кратном интеграле, 215

–о замкнутости тригонометрической системы, 153

–о конечной аддитивности меры Жордана, 190

–о коэффициентах ряда по ортонормированной системе, 128

–о минимальном свойстве частичных сумм ряда Фурье, 130

–о непрерывности

–несобственного интеграла, зависящего от параметра, 112

–полной вариации, 173

–предела равномерно сходящейся последовательности функций, 41

–собственного интеграла, зависящего от параметра, 94

–с переменными пределами интегрирования, 99

–суммы равномерно сходящегося ряда, 42

–суммы степенного ряда, 61

–о перестановке абсолютно сходящегося ряда, 22

–о перестановке порядка интегрирования для двух несобственных интегралов, 117

–о полноте замкнутой системы, 137

Теорема

–о почленном дифференцировании

–ряда, 49

–Фурье, 156

–степенного ряда, 64

–о почленном интегрировании

–ряда с непрерывными слагаемыми, 44

–ряда Фурье, 159

–степенного ряда, 62

–о почленном переходе к пределу для рядов, 52

–о предельном переходе

–в пределе функциональной последовательности, 51

–под знаком интеграла для интегрируемых функций, 45

–под знаком интеграла для непрерывных функций, 44

–о представлении функции ограниченной вариации в виде разности монотонных, 175

–о равномерной сходимости

–ряда Фурье кусочно непрерывно дифференцируемой функции, 158

–степенного ряда внутри интервала сходимости, 60

–о равносходимости ряда и его остатков, 5

–о сведении

–интеграла Римана – Стилтьеса к интегралу Римана, 170

–кратного интеграла к повторному, 206

–о связи между равномерной сходимостью несобственных интегралов и функциональных рядов, 111

Предметный указатель	291

Теорема

–о связи несобственных интегралов с рядами, 93

–о среднем для интеграла

–Римана, 205

–Римана – Стилтьеса, 176

–о стремлении к нулю остатков сходящегося числового ряда, 5

–Остроградского – Гаусса, 259

–о структуре области сходимости степенного ряда, 54

–о сходимости

–абсолютно сходящегося несобственного интеграла, 89

–абсолютно сходящегося ряда, 21

–ряда Фурье по норме, 136

–Римана о перестановке условно сходящегося ряда, 24

–Римана о стремлении к нулю коэффициентов Фурье, 132

–Стокса, 262

–Фейера, 150

Точка множества внутренняя, 179 Точка множества граничная, 186 Точка особая, 81 Точка самопересечения кривой, 220

Уравнение, определеяющее кривую, 221 Уравнение простой поверхности в векторной форме, 240

Уравнения простой поверхности параметрические, 239

Условие Коши, 37 Фигура, 181 Формула

–Грина, 230

–замены переменной в интеграле Римана – Стилтьеса, 176

–замены переменной в несобственном интеграле, 85

Формула

–интегрирования по частям

–для интеграла Римана – Стилтьеса, 176

–для кусочно непрерывно дифференцируемых функций, 155

–несобственных интегралов, 84

–Ньютона – Лейбница для несобственных интегралов, 83

–Остроградского – Гаусса, 259

–перемены порядка интегрирования, 97

–Стокса, 262

–Эйлера о связи между гамма- и бета-функциями, 121

Функция

–аналитическая в точке, 66

–интегрируемая в смысле Римана – Стилтьеса, 163

–интегрируемая по Риману, 192

–кусочно непрерывная, 125

–кусочно непрерывно дифференцируемая, 155

–непрерывно дифференцируемая на множестве, 239

–ограниченной вариации, 171

–полной вариации, 173

–предельная последовательности, 31

–Римана, 201

–финитная ступенчатая, 133 Центр степенного ряда, 53 Циркуляция векторного поля по кон-

туру, 262 Элемент площади поверхности, 245

Элементы ортогональные, 127 Эллипсоид, 249 Ядро Дирихле, 139 Ядро Фейера, 148