MatAnal2

22. Кратные интегралы					215
Тогда получим, что для любого куба Q					с центром в точке t0 и длиной
стороны меньшей, чем δ, справедливо неравенство
	n			¯
	X ¯	∂Φi
max max	¯		(ξ)	¯	(1 + ε)1/n.
1≤i≤n ξ Q	¯			¯
	j=1 ¯ ∂tj			¯ ≤

Пусть 2l – длина стороны куба Q, 2l < δ. В силу теоремы Лагранжа, для

любого t Q имеем

¯

¯

¯

¯

−

¯

¯j=1

∂t

³

−

≤

j=1

∂t

≤

¯X

∂Φi

´¯

X ¯

∂Φi

¯

¯

¯

n

¯

n

¯

¯

i

i

¯

j

j

¯

max

1/n

Φ (t) Φ (t0) =

j (ξi) t

t0

l

ξ Q

¯

j

(ξ)

¯

l(1 + ε) ,

¯

¯

т. е. образ куба Q¯ при отображении Φ¯

лежит в кубе с центром в точке

Φ (t0) и длиной стороны 2l(1 + ε)1/n. Значит,

mΦ(Q) ≤ ³2l(1 + ε)1/n´n = (1 + ε)(2l)n = (1 + ε)mQ.

Окончательно получаем

mϕ(Q) = | det λ|mΦ(Q) ≤ (1 + ε) |Jϕ (t0)| mQ.

Теорема (о замене переменной в кратном интеграле). Пусть

ϕ – C1-диффеоморфизм открытого множества Rn на множество

D Rn и действительная функция f непрерывна на D. Тогда для любого

измеримого компактного множества A справедливо равенство

Z Z

f (x) dx = f (ϕ(t))|Jϕ(t)| dt, (22.10)

B A

где B = ϕ(A).

Доказательство. Измеримость множества B = ϕ(A) вытекает из леммы 3. Подынтегральные функции в (22.10) непрерывны и, следовательно, интегрируемы. Поэтому нужно только доказать равенство (22.10).

Предположим сначала, что f (x) ≥ 0 (x D). При доказательстве леммы 6 мы определили непрерывные функции Ψi (t0, t) (i = 1, . . . , n)

и показали, что Ψi (t0, t0) = 1 для любого t0 . Поэтому, пользуясь компактностью множества A, для заданного ε > 0 можно найти такое

216	Четвертый семестр

δ > 0, что для любых t0, t00 A, удовлетворяющих условию |t0 − t00| < δ, справедливо неравенство Ψi (t0, t00) < (1 + ε)1/n (i = 1, . . . , n).

Пусть фигура X A является объединением конечного числа кубов

Qk (k = 1, . . . , ν) с попарно непересекающимися внутренностями, длины сторон которых меньше, чем δ. Пусть tk – центр куба Qk. Тогда, в силу леммы 6,

mϕ (Qk) ≤ (1 + ε) |Jϕ (tk)| mQk (k = 1, . . . , ν).

Умножим это неравенство на f (ϕ (tk)) ≥ 0 и сложим. В результате полу-

чим

ν	ν
X	X
f (xk) mϕ (Qk) ≤ (1 + ε)	f (ϕ (tk)) |Jϕ (tk)| mQk,
k=1	k=1

где xk = ϕ (tk). Измельчая разбиение фигуры X, приходим к неравенству

Z Z

f (x) dx ≤ (1 + ε) f (ϕ(t))|Jϕ(t)| dt.

ϕ(X) X

Устремляя ε к нулю и увеличивая область интегрирования в правой ча-

сти, приходим к неравенству

Z Z

f (x) dx ≤ f (ϕ(t))|Jϕ(t)| dt.

ϕ(X) A

Пусть теперь фигура Y	, такая, что A int Y . Далее, пусть
{Xν }ν≥1 – последовательность фигур, таких, что Xν A (ν = 1, 2, . . . ) и
mXν → mA (ν → ∞). Тогда
0 ≤ Zϕ(A) f (x) dx − Zϕ(Xν ) f (x) dx = Zϕ(A\Xν ) f (x) dx ≤
≤ sup	f (x) · mϕ (A \ Xν ) .
x ϕ(A)

Покажем, что mϕ (A \ Xν ) → 0 (ν → ∞). Зададим ε > 0 и найдем такое ν0, что для всех ν ≥ ν0 справедливо неравенство m (A \ Xν ) < ε·2−n−1. Пусть ν ≥ ν0. Построим фигуру Yν A \ Xν , такую, что mYν < m (A \ Xν ) + ε · 2−n−1 < ε · 2−n. Применяя к фигуре Yν лемму 2 и замечание 1, получим

22. Кратные интегралы		217
sν		sν
набор почти кубов {Qk,ν }k=1	, таких, что Yν = k=1Qk,ν , и набор кубов
Qk,ν00 , для которых mQk,ν00 ≤ 2nmQk,ν . Тогда
sν		sν
X		X
mQk,ν00 ≤ 2n		mQk,ν = 2nmYν < ε.
k=1		k=1

Ясно, что кубы Q00k,ν могут быть построены так, что Q00k,ν Y , и длины их сторон достаточно малы. Тогда, обозначая M1 = supt Y |Jϕ(t)| и

применяя лемму 6, получаем

mϕ (A \ Xν ) ≤ mϕ à sν	Qk,ν00	!	= m à sν	ϕ Qk,ν00	!	≤
k[			[	¡	¢
=1			k=1
sν	¡Qk,ν00 ¢ < 2M1ε.
≤ X mϕ
k=1
Таким образом, мы показали, что
lim			Zϕ(A) f (x) dx.
ν→∞ Zϕ(Xν ) f (x) dx =

Отсюда получаем, что

Z Z

f (x) dx ≤ f (ϕ(t))|Jϕ(t)| dt.

ϕ(A) A

Чтобы получить противоположное неравенство, введем в рассмотрение функцию g(t) = f (ϕ(t))|Jϕ(t)| и отображение ψ = ϕ−1. Повторяя

предыдущие рассуждения, получим неравенство

Z Z

g(t) dt ≤ g(ψ(x))|Jψ(x)| dx.

ψ(B) B

Учитывая определение функции g и равенство

g(ψ(x))|Jψ(x)| = f (ϕ(ψ(x)))|Jϕ(ψ(x))||Jψ(x)| =

=f (x)|Jϕ(t)| · |Jψ(x)| ≡ f (x),

вкотором обозначено t = ψ(x), перепишем последнее неравенство в сле-

дующем виде:	Z	f (ϕ(t))|Jϕ(t)| dt ≤ Z
			f (x) dx.

A

ϕ(A)

218	Четвертый семестр

Окончательно, для непрерывной, неотрицательной функции f полу-

чили равенство

Z Z

f (ϕ(t))|Jϕ(t)| dt = f (x) dx.

A ϕ(A)

Если теперь f – произвольная непрерывная на D функция, то положим f +(x) = max(f (x), 0), f −(x) = max(−f (x), 0). Легко показать, что обе эти функции непрерывны на D, неотрицательны и f = f + − f −. Из

доказанной части теоремы получаем, что

Z Z

f +(ϕ(t))|Jϕ(t)| dt = f +(x) dx,

A ϕ(A)

Z Z

f −(ϕ(t))|Jϕ(t)| dt = f −(x) dx.

A ϕ(A)

Вычитая второе равенство из первого и используя линейность интеграла, получаем равенство (22.10).

Следствие. Пусть ϕ – C1-диффеоморфизм открытого множества

Rn на множество D Rn. Далее, пусть A – измеримое по Жордану множество, такое, что A . Тогда его образ B = ϕ(A) измерим и

Z

mB = |Jϕ(t)| dt. (22.11)

A

Доказательство. В силу доказанной теоремы,

Z Z

f (x) dx = f (ϕ(t))|Jϕ(t)| dt

B A

для любой непрерывной на D функции f . Положим f (x) ≡ 1. Тогда,

R

учитывая, что B dx = mB, получаем

Z

mB = |Jϕ(t)| dt.

A

Отсюда следует равенство (22.11), если учесть, что m(∂A) = m(∂B) = 0.

22. Кратные интегралы	219
Геометрический смысл модуля якобиана. Пусть ϕ – C1-диф-
феоморфизм открытого множества	Rn на множество D Rn

и точка t0 . Далее, пусть {Aν } – последовательность таких компактных множеств, что Aν , t0 Aν и diam Aν → 0 (ν → ∞). Тогда 1 Z

mAν Aν

|Jϕ(t)| dt → |Jϕ (t0)| (ν → ∞).

Это утверждение следует из непрерывности модуля якобиана |Jϕ(t)| и

из условия diam Aν → 0 (ν → ∞). С другой стороны, используя следствие,

это равенство можно переписать так:

mϕ (Aν )	→ |Jϕ (t0)| (ν → ∞).
mAν

Это означает, что модуль якобиана характеризует локальное изменение меры при отображении ϕ, т. е. для множеств A малого диаметра, содержащих точку t0, справедливо следующее приближенное равенство:

mϕ(A) ≈ |Jϕ (t0)| mA.

23. Криволинейные интегралы

23.1Спрямляемые кривые

Сначала напомним некоторые сведения о кривых. Кривая в Rn задается как вектор-функция r(t) ≡ (x1(t), . . . , xn(t)) (α ≤ t ≤ β), отображающая отрезок [α, β] в пространство Rn. При этом совокупность точек

© ª

≡ xi = xi(t), α ≤ t ≤ β, i = 1, . . . , n

называется следом кривой . В ряде случаев мы будем отождествлять понятие кривой и ее следа. Если все функции xi (i = 1, . . . , n) непрерывны, то кривая называется непрерывной. Если все xi C1([α, β])

и	n	(x0	(t))2	> 0 при всех t				[α, β], то кривая называется гладкой.
	i=1	i
Если отображение					r	отрезка [α, β] на множество взаимно однозначно,
	P

то кривая называется простой. Если существуют точки t1, t2 [α, β], t1 6= t2, такие, что r (t1) = r (t2), то точка r (t1) = r (t2) называется точкой самопересечения кривой . Точки r(α) и r(β) называются соответственно началом и концом кривой . Если у кривой начало и конец совпадают, то кривая называется замкнутой. Если непрерывная замкнутая кривая

не имеет других точек самопересечения, кроме концов, то такая кривая

называется простым контуром.

Мы будем рассматривать кусочно гладкие кривые, т. е. такие непрерывные кривые, которые распадаются на конечное число гладких кривых. Кроме того, будем рассматривать ориентированные кривые. Именно, если At – точка кривой , соответствующая значению параметра t, то для

α ≤ t1 < t2 ≤ β будем говорить, что точка At1 предшествует точке At2 , и обозначать это таким образом: At1 Á At2 .

Если – кривая, определенная уравнением r = r(t) (α ≤ t ≤ β), то уравнение ρ = r(β + α − t) (α ≤ t ≤ β) определяет то же самое множество

220

[x0i(t)]2 dt = |r0(t)| dt.

23. Криволинейные интегралы	221

точек в Rn, но если такую кривую рассматривать как ориентированную,

то, очевидно, ориентация вновь полученной кривой изменяется на противоположную. Такую кривую будем обозначать через −.

Спрямляемой мы называли такую кривую, для которой существует верхняя грань длин ломаных, вписанных в эту кривую. Для случая, когда функции xi кусочно гладкие (т. е. кривая – кусочно гладкая), длина S

кривой равна	β v n		[xi0(t)]2 dt.
S =
Z	u
	uX
	t

αi=1

Для спрямляемой кусочно гладкой кривой определим интеграл с пере-

менным верхним пределом

Z	u
	uX		[xi0(τ )]2 dτ.
l(t) =	t v n
	t

αi=1

Производная этого интеграла в точках непрерывности всех функций x0i

(i = 1, . . . , n) равна

u			|	|
	i=1	[xi0(t)]2			,
l0(t) = v n			= r0	(t)
uX
t

а дифференциал длины дуги

dl = l0(t) dt =

(т. е. линейная часть изменения) равен

v uuXn t

i=1

Каждая кривая может быть задана различными представлениями. Будем говорить, что уравнение ρ = ρ(τ ) (a ≤ τ ≤ b) определяет ту же самую кривую, что и уравнение r = r(t) (α ≤ t ≤ β), если уравнение

ρ = ρ(τ ) может быть получено из уравнения r = r(t) заменой переменной t = t(τ ), где функция t(τ ) кусочно непрерывно дифференцируема на [a, b] и отображает отрезок [a, b] на [α, β], причем t(a) = α, t(b) = β и t0(τ ) > 0

во всех точках τ [a, b], где эта производная существует.

Пусть кривая задана уравнением r = r(t) (α ≤ t ≤ β). Предположим, что она спрямляема. Тогда на [α, β] определена функция l(τ ) – длина части кривой , определенной уравнением r = r(t), где α ≤ t ≤ τ . Если –

222				Четвертый семестр
кусочно гладкая (т. е.	n	[x0	(t)]2	> 0 всюду, за исключением, быть мо-
	i=1	i
жет, конечного числа	точек), то получаем строго возрастающую на [α, β]
	P

функцию l(τ ), причем l(α) = 0, l(β) = S, где S – длина кривой, причем, как выше уже упоминалось, функция l(τ ) кусочно непрерывно дифференцируема. Поэтому существует обратная функция τ = l−1(s) (0 ≤ s ≤ S), кусочно непрерывно дифференцируемая на [0, S] и строго возрастающая. Тогда получаем представление кривой

ρ(s) = r ¡l−1(s)¢ (0 ≤ s ≤ S),

которое называется естественной параметризацией кривой . Для естественной параметризации характерно то, что для любого s [0, S] длина части кривой ρ = ρ(σ) (0 ≤ σ ≤ s) равна s. Кроме того, для s = l(τ ) имеем

¯r0

1

r (τ )

r (τ )

|ρ0(s)| =

l−1

(s)

¯

=

¯

0

¯

=

¯

0

¯

= 1.

l0

(τ )

l0(τ )

r0

(τ )

|

¯

¡

¢

¯

¯

¯

¯

|

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Это равенство означает, что при естественной параметризации приращение длины дуги кривой равняется приращению параметра.

23.2Криволинейные интегралы первого рода

Пусть гладкая кривая задана уравнением

r = r(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) (α ≤ t ≤ β).

Далее, пусть на множестве Rn задана непрерывная функция f . Тогда

интеграл

Z β Z β

f (r(t)) |r0(t)| dt ≡ f (x1(t), . . . , xn(t)) |r0(t)| dt,

α α

где |r0(t)| = q	n	[xi0(t)]	2	, называется криволинейным интегралом I ро-
	i=1

P

да от функции f вдоль кривой и обозначается

Z f (x) ds ≡ Z f ¡x1, . . . , xn¢ ds.

23. Криволинейные интегралы	223

Свойства криволинейного интеграла I рода.

1. Криволинейный интеграл I рода аддитивен относительно кривой,

т.е. если = 1 · · · N , то

Z XN Z

f (x) ds = f (x) ds.

i=1 i

Доказательство следует непосредственно из аддитивности опреде-

ленного интеграла относительно области интегрирования. В самом деле,

если i = r(t) (αi ≤ t ≤ βi), α1 = α, βN = β, то

Z Z β

f (x) ds = f (x(t)) |r0(t)| dt =

α

N	β	N
X		X
= i=1 Zαi i f (x(t)) |r0(t)| dt =		i=1 Z i f (x) ds.

Свойство 1 позволяет естественным образом распространить определение криволинейного интеграла I рода на случай кусочно гладких кривых .

2. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от способа параметризации кривой.

Доказательство. Действительно, пусть r = r(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) (α ≤ t ≤ β) – уравнение кривой , а к другому уравнению ρ = ρ(τ ) = (¯x1(τ ), . . . , x¯n(τ )) (a ≤ τ ≤ b) этой же кривой осуществляется переход заменой переменной t = t(τ ), где свойства функции t(τ ) описаны выше.

Тогда	Z f (x) ds =	Zαβ f (x1(t), . . . , xn(t)) |r0(t)| dt =

Zb

=f (x1(t(τ )), . . . , xn(t(τ ))) |r0(t(τ ))| t0(τ ) dτ =

a

Z
	b f (¯x1	uX £		(xi)t0	¤	2t0(τ ) dτ =
=		(τ ), . . . , x¯n(τ )) v n			(t(τ ))
		t
a		ui=1

224	Четвертый семестр

Z b

=

a

f (¯x(τ )) v
	n	(¯xi)τ0 (τ )	¤	2 dτ =
uX £
t
ui=1

Z

f (x) ds.

3. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориентации

кривой, т. е.	Z f (x) ds =	Z − f (x) ds.

Доказательство. Имеем

Z Z β

f (x) ds = f (x1(t), . . . , xn(t)) |r0(t)| dt =

α

Z β Z

= f (x1(α + β − τ ), . . . , xn(α + β − τ )) |r0(α + β − τ )| dτ = f (x) ds.

α −

4. Если ρ = ρ(s) – естественная параметризация кривой , то по-

скольку в этом случае |ρ0(s)| = 1 (0 ≤ s ≤ S), криволинейный интеграл

R

f (x) ds принимает такой вид:

Z Z S

f (x) ds = f (x1(s), . . . , xn(s)) ds. (23.1)

0

5. Из перечисленных выше свойств следует, что для вычисления криволинейного интеграла вдоль некоторой кусочно гладкой кривой от функции f достаточно взять любую кусочно гладкую параметризацию кривой , т. е. представить ее в виде xi = xi(t), (α ≤ t ≤ β, i = 1, . . . , n),

и тогда получим

Z	Z
		β f (x1	uX		[xi0(t)]2 dt.
f (x) ds =			(t), . . . , xn(t)) v n
			t
		α	ui=1