MatAnal2

20. Ряды Фурье

20.1Ортонормированные системы и ряды Фурье по ортонормированным системам

Пусть задано некоторое линейное пространство R. Это пространство будем называть евклидовым, если каждой паре элементов f, g R поставле-

но в соответствие некоторое число, называемое скалярным произведением элементов f и g (это число будем обозначать (f, g)), причем операция

скалярного произведения обладает следующими свойствами:

1)(f, g) = (g, f );

2)(f + g, h) = (f, h) + (g, h);

3)(λf, g) = λ(f, g) для любого λ R;

4)(f, f ) ≥ 0, (f, f ) = 0 f = 0 – нулевой элемент пространства R.

Кусочно непрерывной на отрезке [a, b] называется функция f , непрерывная всюду на [a, b], за исключением, быть может, конечного числа точек x1, . . . , xn, причем в каждой точке разрыва xi функция f имеет скачок и справедливо равенство f (xi) = 12 (f (xi − 0) + f (xi + 0)).

Пространство всех кусочно непрерывных на отрезке [a, b] функций f

будет евклидовым, если в нем определить скалярное произведение равен-

ством	Zab f (x)g(x) dx.
(f, g) =		(20.1)

Ясно, что интеграл от произведения двух кусочно непрерывных функций существует и свойства 1) − 4) скалярного произведения выполнены. В

доказательстве нуждается, разве что, следующее свойство:

(f, f ) = 0 f = 0.

125

126 Третий семестр

Докажем его. Пусть (f, f ) = 0. Если f отлична от тождественного нуля, то найдется такая точка x , что f (x ) 6= 0. При этом если x совпадает с какой-либо точкой разрыва функции xi, то, поскольку f (x ) =

12 (f (x − 0) + f (x + 0)), найдется и точка x непрерывности функции

f , в которой	6
	f (x ) = 0. Поэтому сразу можем считать, что функция
f непрерывна в точке x			6
		и f (x ) = 0. Пусть, например, f (x ) > 0. То-
гда найдется такая δ-окрестность точки x , что f (x) >						1 f (x ) для всех
x (x − δ, x + δ). Но тогда						2
	b	x +δ	1			2
Za	f 2(x) dx ≥ Zx −δ		f 2(x) dx ≥ 2δ µ		f (x )¶	> 0,
				2

что противоречит условию.

В частности, пространство C([a, b]) всех непрерывных на отрезке [a, b]

функций является евклидовым пространством, если скалярное произведение в C([a, b]) определено равенством (20.1).

Теорема (неравенство Коши – Буняковского). Для любых двух элементов f, g евклидова пространства R справедливо неравенство

(f, g)2 ≤ (f, f ) · (g, g).

Доказательство. Поскольку для любого действительного числа λ

справедливо неравенство

0≤ (f − λg, f − λg) = (f, f ) − 2λ(f, g) + λ2(g, g),

т.е. квадратный трехчлен относительно λ неотрицателен, то его дискриминант D = 4(f, g)2 − 4(f, f ) · (g, g) ≤ 0, а это равносильно требуемому

неравенству.

Определение. Линейное пространство R называется нормированным, если каждому элементу f R поставлено в соответствие действительное число kf k, называемое нормой элемента f , причем норма удовле-

творяет следующим аксиомам:

1) kf k ≥ 0, kf k = 0 f = 0 – нулевой элемент пространства R;

20. Ряды Фурье	127

2)kλf k = |λ| · kf k для любых f R и λ R;

3)kf + gk ≤ kf k + kgk – неравенство треугольника или неравенство

Минковского.

Пусть R – евклидово пространство. Тогда его можно превратить в

нормированное, если норму определить равенством

p

kf k = (f, f ).

В самом деле, справедливость аксиом 1) и 2) очевидна, а аксиома 3) вы-

текает из неравенства Коши – Буняковского

kf + gk2 = (f + g, f + g) = (f, f ) + 2(f, g) + (g, g) ≤

p

2

p

p

p

≤ (f, f ) + 2|(f, g)| + (g, g) ≤ ³

(f, f )

´2

+ 2

(f, f ) (g, g) +

³

(g, g)

´2 =

= ³

p

p

= (kf k + kgk)2 .

(f, f ) + (g, g)´

Определение. Два элемента f и g евклидова пространства R называются ортогональными, если (f, g) = 0.

Система элементов {ϕn}∞n=1 евклидова пространства R называется ор-

тогональной системой, если любые два различных элемента этой системы ортогональны, т. е. если (ϕn, ϕm) = 0 при n 6= m.

Система элементов {ϕn}∞n=1 нормированного пространства R называется нормированной, если норма каждого элемента kϕnk = 1.

Система {ϕn}∞n=1 называется ортонормированной, если она ортого-

нальна и нормированная.

Важнейшим примером ортогональной на отрезке [−π, π] функций яв-

ляется тригонометрическая система

1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx, . . .

Чтобы проверить ортогональность этой системы, достаточно убедиться в

справедливости равенств

Z π Z π

1 · cos nx dx = 0, 1 · sin nx dx = 0,

−π

−π

128	Третий семестр

	π	π	0,	m 6= n,
	Z−π cos nx cos mx dx = Z−π sin nx sin mx dx = (
			π,	m = n (6= 0),

Z π

sin nx cos mx dx = 0.

−π

Тригонометрическая система станет нормированной, если каждый ее эле-

мент разделить на его норму, т. е. получим такую ортонормированную

систему:

1

cos x

sin x

cos 2x

sin 2x

cos nx

sin nx

√

,

√

,

√

,

√

,

√

, . . .

√

,

√

, . . .

2π

π

π

π

π

π

π

Упражнение. Покажите, что система функций

1

1

πx

1

πx

1

nπx

1

nπx

√

,

√

cos

, √

sin

,

. . . , √

cos

,

√

sin

, . . .

l

l

l

l

2l

l

l

l

l

ортонормированная на отрезке [−l, l].

Пусть задана ортонормированная система функций {ϕn}∞n=1 на отрезке [a, b], где все функции ϕn непрерывны на [a, b]. Пусть, далее, функ-

циональный ряд

∞

a ϕ

n

(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда, по

n=1

n

теореме о

непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда из непре-

P

∞

сумма f (x) =

рывных функций, его

∞

Pn=1 anϕn(x)

непрерывна на [a, b].

Теорема. Если ряд

n=1 anϕn(x) = f (x) по ортонормированной на

[a, b]

непрерывных функций

{

ϕ

n}

сходится равномерно

отрезке

системе

P

на [a, b], то для коэффициентов an этого ряда справедливы равенства

Z b

ak = f (x)ϕk(x) dx (k = 1, 2 . . . ). (20.2)

a

Доказательство. Зафиксируем k. Поскольку функция ϕk непрерывна на [a, b], то, в силу первой теоремы Вейерштрасса, она ограничена на

P∞

[a, b]. Умножим равенство f (x) = n=1 anϕn(x) на ϕk(x) и получим

X∞

f (x)ϕk(x) = anϕn(x)ϕk(x).

n=1

20. Ряды Фурье	129

Ряд в правой части этого равенства сходится равномерно, так как его слагаемые получены путем умножения слагаемых равномерно сходяще-

гося ряда	P	∞ a ϕ						{		n}
		n=1	n	n					k
почленно, с учетом ортонормированности системы ϕ											, получим
		Za	b			b ∞
						X
			f (x)ϕk(x) dx = Za n=1 anϕn(x)ϕk(x) dx =
		∞			b	ϕn(x)ϕk(x) dx = ak Za	b
		X
	= n=1 an Za						ϕk2 (x) dx = ak.

В частном случае, для тригонометрической системы коэффициенты ak и bk равномерно на [−π, π] сходящегося к функции f ряда

a20 + X∞ an cos nx + bn

n=1

могут быть выражены через функцию f

		1				π
	ak =				Z−π f (x) cos kx dx
			π
		1				π
						Z−π f (x) sin kx dx
	bk =
				π

sin nx = f (x)

следующими равенствами:

(k = 0, 1, 2, . . . ),

(k = 1, 2, . . . ).

Доказанная теорема дает возможность выразить числа ak – коэффициенты ряда по ортонормированной системе функций {ϕn} – через сумму этого ряда f в том случае, когда этот ряд сходится равномерно, а функции ϕk непрерывны на [a, b]. Однако же равенством (20.2) можно определить числа ak для более широкого класса функций f , чем таких,

которые могут быть представлены в виде суммы равномерно сходящегося

ряда			∞	a ϕ	n	(x). Именно, пусть функция f абсолютно интегрируема
			n=1	n
на	отрезке			[a, b], т. е. пусть f имеет на [a, b] конечное число особых точек
		P

и интеграл Rab |f (x)| dx сходится как несобственный. Тогда

|f (x)ϕk(x)| ≤ Mk|f (x)|, где Mk = sup |ϕk(x)| .

x [a,b]

130			Третий семестр
Поэтому, в силу признака сравнения, интеграл		b f (x)ϕ		(x) dx сходится
и даже абсолютно. Следовательно, числа		Ra	k
ak = Zab f (x)ϕk(x) dx	(k = 1, 2, . . . )			(20.3)

определены для абсолютно интегрируемой в несобственном смысле функции f .

Определение. Пусть функция f абсолютно интегрируема в несобственном смысле на отрезке [a, b], а система непрерывных на [a, b] функций ϕk ортонормированная. Числа ak, определяемые равенством (20.3), называются коэффициентами Фурье функции f по системе {ϕn}. Ряд

P∞

n=1 anϕn(x), где числа an – коэффициенты Фурье функции f , называется рядом Фурье функции f и обозначается

X∞

f (x) anϕn(x).

n=1

Равенства здесь может и не быть. Ряд в правой части может оказаться расходящимся. Символом указывается лишь на то, что ряд справа соответствует функции f , но не обязательно сходится к функции f в

каком-либо смысле.

Последняя теорема, в частности утверждает, что равномерно сходящийся ряд Фурье является рядом Фурье своей суммы.

Пусть теперь система {ϕn}∞n=1 ортономированная в произвольном нормированном пространстве R и пусть f R. Коэффициентами Фурье

элемента f R по системе {ϕn}∞n=1 называют числа ak = (f, ϕk) (k =

P∞

1, 2, . . . ), а ряд n=1 anϕn называют рядом Фурье элемента f по системе

{ϕn}∞n=1.

Основное свойство коэффициентов Фурье выражает следующая

Теорема (о минимальном свойстве частичных сумм ряда

Фурье). Среди всех сумм вида			n	наименьшее отклонение по
			k=1 ckϕk
норме данного евклидова	пространства от элемента f имеет n-я ча-
		P

20. Ряды Фурье

131

стичная сумма ряда Фурье элемента f , т. е.

n

n

°

−

X

°

°

−

X

°

inf

°

f

c ϕ

°

=

°

f

a ϕ

°

,

c1,...cn

R

°

k

k

°

°

k

k

°

f .

ak

°

–

k=1

°

°

k=1

°

°

°

°

°

где числа (k = 1, . . . , n) коэффициенты Фурье функции

Доказательство. Учитывая ортонормированность системы {ϕn}, пре-

образуем	°f −		ckϕk°2 = Ãf −				ckϕk!
		n		n	ckϕk, f −	n		=
	°	X	°	X		X
	°		°
	°	k=1	°	k=1		k=1
	°		°
n	n		n				n
X	X		X				X
= ck2 −2	ck (f, ϕk)+(f, f ) =			(ck − (f, ϕk))2 − (f, ϕk)2 +(f, f ) ≥
k=1	k=1		k=1				k=1

Xn

≥ (f, f ) − (f, ϕk)2 ,

k=1

причем, как легко видеть, равенство достигается в том и только в том случае, когда ck = (f, ϕk).

Следствие 1. Если {ak} – коэффициенты Фурье элемента f по си-

стеме {ϕk}, то		n			2	n
	°	X		°		X
	°f −		akϕk	°		= kf k2 − ak2 .
	°			°
	°	k=1		°		k=1
	°			°

Это вытекает непосредственно из доказательства теоремы.

Следствие 2 (неравенство Бесселя). Если {ak} – коэффициенты Фурье элемента f по некоторой ортонормированной системе, то

X∞

a2k ≤ kf k2.

k=1

Это неравенство для любого конечного числа n слагаемых в левой части вытекает из следствия 1. Переходя к пределу при n → ∞, получаем

неравенство Бесселя.

132	Третий семестр

Следствие 3. Если {ak} – коэффициенты Фурье некоторого элемента f , то limk→∞ ak = 0.

Это вытекает из следствия 2 и из необходимого условия сходимости

ряда в левой части неравенства Бесселя.

Вернемся к тригонометрической системе

{1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx, . . . } .

По этой системе коэффициенты Фурье имеют вид

	1		π
an =			Z−π f (x) cos nx dx	(n = 0, 1, . . . ),
	π
	1		π
bn =			Z−π f (x) sin nx dx	(n = 1, 2, . . . ).
	π

Ряд Фурье			∞
	a0
f (x)			X
	2	+	an cos nx + bn sin nx
			n=1

мы определили для абсолютно интегрируемой на [−π, π] функции f . Но

пространство абсолютно интегрируемых функций не является евклидовым пространством с тем скалярным произведением, которое мы опреде-

	1
лили выше. В самом деле, функция f (x) =		√				абсолютно интегрируема
				x
	|				|			π
на [−π, π] и в то же время (f, f ) =	π
	−π f 2(x) dx =							π |dxx| – расходящийся
интеграл. Поэтому в нашем случаеRминимальное							свойство коэффициен-
							R

тов Фурье, так же, как и следствия 1 и 2, не имеет смысла. Вместе с тем утверждение следствия 3 остается справедливым и в этом случае.

Это фундаментальное свойство коэффициентов Фурье по тригонометрической системе содержится в следующей теореме.

Теорема Римана. Если функция f абсолютно интегрируема на интервале (a, b) (конечном или бесконечном), то справедливы следующие

равенства:

Z b Z b

lim f (x) cos ωx dx = 0, lim f (x) sin ωx dx = 0.

ω→∞ a

ω→∞ a

20. Ряды Фурье	133

Доказательство проведем в несколько шагов. Сначала покажем,

что теорема верна для случая, когда

(

1, α ≤ x < β,

f (x) =

0, x / [α, β).

В этом случае имеем

¯Z

¯

| |

| |

¯Z

b

¯

β

¯

¯

¯

¯

1

2

¯

a

f (x) cos ωx dx¯

=

¯

α

cos ωx dx¯

=

ω

|sin ωβ − sin ωα| ≤

ω

,

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

так что интеграл в левой части стремится к нулю при ω → ∞. Пусть теперь f – финитная ступенчатая функция, т. е.

(

0, x < α или x ≥ β,

f (x) =

γi, xi ≤ x < xi+1, i = 0, 1, . . . , n − 1,

где γi – произвольные действительные числа, α = x0 < x1 < · · · < xn = β.

В этом случае имеем

¯

¯X

¯

¯

¯

a

b

=

¯

n

−

1

x

f (x) cos ωx dx¯

γi

xi i+1 cos ωx dx¯ ≤

¯

Z

¯

¯

Z

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

i=0

¯

n

−

1

2

2

n

1

−

X

=

X

|

|

|

ω

|

≤ i=0 |γi|

ω

i=0 |γi| → 0 (ω → ∞).

Покажем теперь, что для абсолютно интегрируемой функции f и за-

данного ε > 0 найдется такая финитная ступенчатая функция ϕ, что

b

ε

Za

|f (x) − ϕ(x)| dx <

.

(20.4)

2

Отсюда сразу получим утверждение теоремы, т. к.

Z

¯

¯Z

¯

=

¯Z

≤

¯

ab f (x) cos ωx dx¯

¯ ab(f (x) − ϕ(x)) cos ωx dx +

ab ϕ(x) cos ωx dx¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Z

b

¯

¯

¯Z

b

¯

¯

¯

¯

ε

ε

≤

a

|f (x) − ϕ(x)| dx +

¯

a

ϕ(x) cos ωx dx¯

<

+

= ε,

2

2

¯

¯

¯

¯

134 Третий семестр

если только |ω| > . Это вытекает из уже доказанной части теоремы, так

как

Z

b

¯Z

b

¯

ε

¯

¯

a

ϕ(x) cos ωx dx → 0 (ω → ∞),

т. е.

¯

a

ϕ(x) cos ωx dx¯

<

2

,

¯

¯

если только

|

|

> .

¯

¯

ω

Для доказательства (20.4), не ограничивая общности, можем считать,

что a = −∞ и b = +∞. Так как мы рассматриваем несобственные интегралы в смысле Римана, то у функции f может быть лишь конечное

число особых точек x1, . . . , xN . По условию, все интегралы −∞x1 |f (x)| dx,
	xi		f (x)		dx и		+∞ f (x)		dx сходятся. Поэтому найдутся точки
R	xi−1	|		|		R	xN	|	R
							|

−∞ < α1 < β1 < x1 < α2 < β2 < x2 < · · · <

< xN−1 < αN < βN < xN < αN+1 < βN+1 < +∞,

такие, что функция f интегрируема в собственном смысле Римана на

каждом отрезке [αk, βk] (k = 1, 2, . . . , N + 1) и

	xi	βi		ε
	Zxi−1 |f (x)| dx − Zαi		|f (x)| dx ≤		(i = 1, 2, . . . , N + 1),
				2(N + 1)

где понимается x0 = −∞ и xN+1 = +∞. Это следует из определения

несобственного интеграла

x1			βi
Zxi−1	|f (x)| dx =	lim	Zαi	|f (x)| dx.
		αi → xi−1
		βi → xi

Далее, поскольку на отрезке [αi, βi] функция f интегрируема по Риману в

собственном смысле, то нижняя сумма Дарбу стремится к R βi f (x) dx при

αi

стремлении к нулю диаметра разбиения. Поэтому для заданного ε > 0

найдется такое δi, что при любом разбиении отрезка [αi, βi], диаметра

i

P

si

¯

¯

−

k=1 mki

меньшего, чем δi, нижняя сумма Дарбу

ki

отличается от инте-

грала

βi f (x) dx меньше чем на

ε

, где

обозначено

i

=

i

i

,

2(N+1)

¯

¯

¯

α

¯

¯

¯

k

xk

1, xk

i

xi

, mi

= xi

< xi

< xi

= xi

= inf

x

i

f (x), α

<

· · ·

= β ,

¯

k

¯k

R

k

− k−1

k

k

i

0

1

£

si

¢

¯

¯

i

i

< δi.

k

max