Розв’язок:
Розв’язок
цієї задачі формально є повністю подібним
до розв’язку попередньої задачі. Нехай
і
позначають потенціали електричного
поля зовні і всередині шару. Вважаємо,
що напрямок зовнішнього поля співпадає
за напрямком з полярною віссю. В цьому
випадку потенціали поля повинні бути
аксиально симетричними. Інакше кажучи,
робимо висновок, що вони не повинні
залежати від азимутального кута
:
і
.
Оскільки
зовнішні і поверхневі заряди в задачі
відсутні, то потенціали
і
повинні задовольняти рівнянням Лапласа:
,
,
(3.1)
,
,
(3.2)
а також граничним умовам:
,
(3.3)
.
(3.4)
Слід
прийняти до уваги, що потенціал
є сумою потенціалу зовнішнього поля і
внеску, обумовленого діелектричним
шаром:
.
Як
і поле
,
складова
задовольняє
рівнянню Лапласа:
(3.5)
у
всіх точках
.
Розв’язки
рівнянь (3.5) і (3.2), які мають регулярну
поведінку при
і
,
очевидно визначаються формулами:
,
(3.6)
.
(3.7)
Для
знаходження коефіцієнтів розкладу
і
скористаємось граничною умовою (3.3) і
(3.4). З умови неперервності потенціалів
на границі, знаходимо:
.
(3.8)
Оскільки
(див. ()) і потенціали Лежандра утворюють
ортонормовану систему функцій, то з
(3.8) випливає:
,
,
,
.
(3.9)
Гранична умова (3.4) приймає вигляд:
і призводить до співвідношень:
,
,
,
.
(3.10)
Порівнюючи (3.9) і (3.10), остаточно знаходимо:
,
,
,
,
.
(3.11)
В
результаті потенціальні функції
і
дорівнюють:
(3.12)
і
.
(3.13)
У векторному вигляді формули (3.12) і (3.13) приймають вигляд:
,
(3.14)
,
(3.15)
де
,
,
(3.16)
-
об’єм діелектричного шару. З (3.14)
випливає, що додаткове поле, обумовлене
внесенням діелектричного шару в зовнішнє
поле
,
є
подібним до поля диполя з дипольним
моментом
.
Це дозволяє тлумачити вектор
,
який
є постійним всередині шару,
як
вектор поляризації.
Напруженості електричного поля зовні і всередині діелектричного шару дорівнюють:
,
.
(3.17)
,
.
(3.18)
Отримані
результати можна застосовувати, зокрема,
в випадку, коли однорідність середовища,
в якому задано поле
,
порушується утворенням сферичної
порожнини. В цьому випадку в (3.17) і (3.18)
треба покласти
.