Метод зображень

Загальна ідея методу полягає в тому, щоб до реальних зарядів, які утворюють електричне поле, додати певну кількість уявних зарядів або зарядів-зображень, які б разом з реальними зарядами створювали поле, що задовольняє

1. рівнянням електростатики і

2. граничним умовам.

У згоді з теоремами матфізики, побудований у такий спосіб розв’язок задачі буде однозначним.

Задача 3. На відстані від нескінченної заземленої провідної площини розташований точковий заряд . Знайти потенціал та напруженість електричного поля у всьому просторі та поверхневу густину заряду на провідній площині.

Розв’язок:

Електричне поле, утворене зарядом , повинно задовольняти граничній умові

у всіх точках заземленої провідної площини. Цій умові легко задовольнити, якщо заряд розмістити в дзеркально симетричній точці відносно провідної площини. Більш конкретно, введемо ДСК так, щоб її площина співпадала з провідною площиною. Нехай координати заряду становлять (). Тоді координати дзеркально симетричного заряду приймають значення (). Потенціал електричного поля у довільній точці над провідною площиною утворюється сумою потенціалів реального і уявного зарядів:

, (2.1)

або

. (2.2)

Очевидно, що 1) потенціал (2.1) задовольняє рівнянню Лапласа усюди над провідною площиною, за виключенням точки розташування заряду () і 2) у всіх точках провідної площини . Таким чином, (2.1) є шуканим однозначним розв’язком поставленої задачі.

Напруженість електричного поля пов’язана з потенціалом стандартним співвідношенням: . Оскільки

,

то

. (2.3)

Під провідною площиною електричне поле заряду є повністю за екранованим, тому потрібно написати, що

і . (2.4)

Для визначення поверхневої густини індукованих зарядів використаємо граничну умову

.

Враховуючи, що , а , отримуємо

. (2.5)

Сумарний заряд , індукований на нескінченій провідній площині, дорівнює:

. (2.6)

Тобто, величина і знак заряду є такими ж, як і для заряду-зображення.

Задача 4: Знайти силу взаємодії між двома зарядами і , які знаходяться на відстані один від одного і на відстанях і від заземленої провідної площини.

Розв’язок:

Фактично, сформульована задача є узагальненням закону Кулона, який визначає силу взаємодії між зарядами і , які знаходяться в вакуумі на відстані один від одного. Згідно закону Кулона, сила, з якою заряд діє на заряд , визначається рівнянням:

, (1)

де визначається рівнянням: , - одиничній орт, направлений вздовж лінії, яка з’єднує заряди і , і направлений від заряду в бік заряду .

Якщо заряди і знаходяться поблизу заземленої провідної площини, то задача ускладнюється через необхідність враховувати додаткову дію електричних полів, утворених зарядами-зображеннями. Електричне поле над площиною утворюється самими зарядами і , а також їх зарядами-зображеннями і , які розташовані дзеркально симетрично по відношенню до провідної площини. Більш конкретно, нехай всі заряди розташовуються в площині і мають наступні координати:

, , , . (2)

Неважко впевнитись, що потенціал електричного поля, утвореного дійсними і уявними зарядами, усюди на провідній площині приймає нульові значення, як це і повинно бути для заземленої площини. Тобто, дія провідної площини на заряди і є повністю еквівалентною дії зарядів-зображень і .

З цього випливає, що сила, яка діє на заряд , складається з трьох сил:

++,

діючих з боку зарядів , і . Неважко бачити, що

,

,

,

де

, , .

Виділимо складову сили , направлену вздовж лінії, яка з’єднує заряди і :

.

Неважко впевнитись, що дорівнює:

. (3)

Другий і третій доданки в (3) як раз і визначають відмінність законів Кулону для двох зарядів в вакуумі і поблизу заземленої провідної площини.

Розглянемо тепер два граничних випадки:

1. заряди і віддаляються від провідної площини так, що буде залишатись постійним за величиною. В цьому випадку лінія, яка з’єднує заряди, зсувається паралельно собі;

2. заряди і наближаються до провідної площини, при цьому вважається що .

В першому випадку слід вважати, що . Неважко бачити, що

(4)

призводить до наступного асимптотичного розкладу:

. (5)

Цей вираз є цілком придатним, зокрема, і тоді, коли заряди і розташо-вані на лінії, перпендикулярній провідній площині. В цьому випадку потрібно покласти і формула (5) спрощується наступним чином:

. (6)

Але у випадку, коли , другий додаток прямує до нуля, і нам потрібно враховувати внески більш високого порядку. З (4) випливає, що

(7)

Як бачимо, значення сили , які визначаються формулами (6) і (7), асимптотично наближаються до значення, яке визначається стандартним законом Кулона (1).

В другому граничному випадку, коли , прямує до

(5)

Тут враховано, що розкладається в наступний ряд за степенями :

.

Приймаючи до уваги, що пари заряд і його зображення утворюють дипольні моменти і , формулу (5) можна представити у вигляді:

(6)

Цей результат можна отримати і незалежним чином. Дійсно, енергія взаємодії двох диполів і дорівнює:

.

Сила, з якою диполь діє на диполь , визначається як

Шукана нами сила - сила, з якою заряд діє на заряд - дорівнює половині від , тобто повністю співпадає з (6).

Задача 5. На відстані () від центру заземленої провідної сфери розташовано точковий заряд . Сфера і заряд знаходяться в вакуумі. Знайти потенціал і напруженість електричного поля, а також поверхневу густину індукованого заряду на поверхні сфери та силу взаємодії заряду зі сферою.