Розв’язок:

а) На першому етапі розглянемо допоміжну задачу: обчислимо потенціал поля точкового заряду , який знаходиться на полярній осі на відстані від початку координат, який співпадає з центром сфери.

Розв’язок цієї задачі у векторному представленні є загальновідомим:

.

Прийнято, що полярна вісь співпадає з віссю , напрямок якої задається одиничним вектором . У змінних ССК потенціал , очевидно, приймає вигляд:

, (5.1)

де . Якщо формулу (5.1) можна переписати у вигляді:

, . (5.2)

Як відомо (див.()), функція є твірною для поліномів Лежандра :

.

Завдяки цьому функцію можна представити у вигляді:

, . (5.3)

Якщо виконується протилежна нерівність , то формула (5.3) переходить у

, . (5.4)

б) На другому кроці розглянемо ще одну допоміжну задачу: знайдемо потенціал електричного поля на сферичній поверхні радіуса , який утворюється двома зарядами і , які розташовані на полярній осі на відстанях і відповідно. Вважається, що всі довжини задовольняють нерівності .

Враховуючи останню нерівність і вирази (5.3) і (5.4), можна написати:

. (5.5)

Потенціал (5.5) можна підкорити умові

, (5.6)

якщо параметри і прирівняти наступним значенням:

і . (5.7)

Як бачимо, положення заряду співпадає з положенням зображення у сферичному дзеркалі радіусу , якщо джерело світла знаходиться на відстані від дзеркала.

в) Допоміжні задачі а) і б) дозволяють нам легко побудувати розв’язок поставленої задачі. Для того, щоб забезпечити нульове значення потенціалу на поверхні заземленої провідної сфери, потрібно ввести додатковий уявний заряд і помістити його в точку . Значення потенціалу електричного поля в довільній точці зовні заземленої провідної сфери описується, таким чином, виразом:

, (5.8)

або

. (5.9)

Всередині сфери усюди потенціал і напруженість поля дорівнюють нулю:

і .

Густина індукованого на поверхні сфери заряду визначається стандартним чином:

. (5.10)

Спираючись на (5.9) і (5.10), а також підставляючи , знаходимо:

.

Остаточний вигляд густина індукованих зарядів отримує після підстановки :

(5.11)

Знак густини заряду, як і повинно бути, є протилежним знаку заряду . Неважко впевнитись, що сумарна величина індукованого заряду на сфері дорівнює:

. (5.12)

Тут - елемент тілесного кута, а - елемент площини на сфері.

Якщо, представити у вигляді:

,

то з (5.3) і (5.10) випливає, що

. (5.13)

Для знаходження сили взаємодії заряду зі сферою, обчислимо енергію їх взаємодії. Тоді сила, з якою сфера притягує заряд , знаходиться за стандартною формулою:

, (5.14)

в якій і вважаються фіксованими параметрами. Будемо виходити з того, що формула (5.8) описує потенціал електричного поля у всіх точках зовні сфери, окрім точки знаходження заряду . В самій цій точці заряд знаходиться в електричному полі заряду-зображення . Їх енергія взаємодії дорівнює:

. (5.15)

Підставляючи (5.15) в (5.14), остаточно знаходимо:

. (5.16)

Таким чином, сила, з якою сфера притягує заряд , дорівнює силі взаємодії заряду з його зарядом зображенням .

Задача 6. На відстані () від центру провідної сфери розташований точковий заряд . Сфера і заряд знаходяться в вакуумі. Знайти потенціал електричного поля, виходячи з рівнянь електростатики.