Практикум по математическому анализу

						dx	dx
	I		x'	x'	, I	d	d	- играет роль производной при
			y'	y'		dy	dy
						d	d

называется определитель Якоби – якобиан.

f(x, y)dxdy f(x ξ, η , y ξ, η ) Idξξd D

R	R
2		2

и

Практическая часть:

1. Вычислить двойной интеграл:

По области D, ограниченной прямыми y=2x-3, y=2x+5, у=-х+7, у=-х-1. Область D – параллелограмм ABCK (РИС. 19 а). Хотя подынтегральная

функция и область интегрирования просты, вычисления данного интеграла в прямоугольных координатах достаточно громоздко (убедитесь самостоятельно). Заметив, что уравнение прямых можно записать в виде у- 2х=-3, у-2х=5, у+х=7 и у+х=-1, перейдем к новым координатам, для чего обозначим

откуда

Имеем:

Т.е. В новой системе координат (u, v) область G ограничена

прямыми u=-3, u=5, v=-1, v=7, т. е. представляет собой прямоугольник (рис. 19 б), а подынтегральная функция равна

Отметим, что первая система формул, написанная выше, преобразует параллелограмм АВСК в прямоугольник А1В1С1К1 , вторая система – наоборот, преобразует прямоуольник А1В1С1К1 d в параллелограмм АВСКю При этом видно, сто направление охода вершин одной фигуры соответствует противоположному направлению обхода вершин другой. Именно поэтому J<0. Переходим к вычислениям:

2. Вычислить

Где D – область, ограниченная кривыми у2=4х, у2=9х, ху=1, ху=5. Область D изображена на рис. 20 а. Заметим, что расставить пределы

интегрирования в исходном интеграле не просто, однако подходящая замена переменных позволяет свести этот интеграл к интегралу по прямоугольнику.

Введем новые переменые u и v при помощи равентств Выразим отсюда переменные х и у через u и v: , y=

Находим якобиан полученного преобразования

Откуда с учетом того, что х>0 на области D, а значит , >0, имеем

Таким образом, исходный интеграл в плоскости Оuv имеет вид:

Граница области G имеет вид (т.е. представляет собой прямоугольник), а преобразованный интеграл вычисляется намного проще:

Задания для самосоятельного решения:

Вычислить

Где D – область, ограниченная кривыми

Геометрические приложения двойного интеграла

1.Вычисление площади плоской фигуры.

2.Вычисление объема тела.

Практическая часть:

.

1.Рассмотрим

Cos x y dxdy,

где D: x = 0, y = π,

										D
						y = x.
						а)			Cos x y dxdy													y
																				dx				Cos x y dy
							D						y						0			y x
																				Sin x Sin2x dx
						dx Sin x y							y	x
						0													0
									1
	Sinxdx Sin2xdx Cosx								2	Cos2x		0
	0			0
	1	1	1	1	2.
		2		2
	б)
						x y											x y
	Cos x y dxdy dy Cos x y dx dy Sin x y																					Sin2y Siny dy
																	x 0
	D				0	x 0				0														0
							1							1					1
	Sin2 ydy Sinydy Cos2 y							Cosy							1						1		2.
							2				0			2					2
	0			0
																x

2. Рассмотрим

e

y

dxdy,

где

D

D : y 1; x 0; x y

2

x

1

y 1

x

а)

e

y

dxdy

dx

e

y

dy,

D

0

y

x

но

	y 1		x
		e
			y
	y	x

через элементарные функции преобразования не выражается.

б)
	e
	D

x y2 x

e y dx

x 0

yey

								1		x y	2
x														x
	y						dy								dx
		dxdy										e		y
								0		x 0
							x y		2								1				1			y	2		1			1			y	2		1
		x	y	y						ye			y	y ye						y	y dy ye	y	dy					ye	y	e	y	dy
e
							x 0										0				0			2			0			0			2			0
			y		2	1										1		1
e	y							e e 0 1											.
				2			0									2		2

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: xy = 1; xy = 4; y = 1; y = 2.

						x	4
				2			y		2						2
											4		1			3
P		dxdy			dy			dx									dy
														dy
				1		x	1		1 y				y		1	y
							y
3ln y		2	3ln 2(кв.ед) 3 0,8 2,4кв.ед.
		1

4.Найти объём тела с основанием в виде треугольника x = 0, y = 0, x+y =1

иограниченного сверху параболическим цилиндром z x2 .

V x					1		1 x		x			1				y	y 1 x
					dxdy dx						dy dx x
				2					2						2
			D		0			0				0						y 0
	1				x		3		x	4		x 1		1			1		1
		x	2																		3
																				ед.
				1 x dx
	0					3			4			x 0		3			4		12

5. Вычислить объём тела, ограниченного координатными плоскостями z = 0;

x 0; z y2

2

и пл-ю 2x + 3y – 12 = 0.

																2 x 12
V						y	2						6				2		y	2
								dxdy dx												dy
						2
			D										0			y 0			2
	1		1					3		6				2			3			2
												4
															x			dx
	3		2					2		0				3						3
								2			4
						4			x
		1						3				6
													0		16 16куб.ед.
		4						4				0

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми у2=2х и у=х. Имеем Направление, или порядок, интегрирования

выберем так, как уазано на чертеже (рис. 24)

Сначала определим координаты точки А:

Проекция области D на ось Оу есть отрезок [0,2]. Таким образом,

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

Линии даны в полярных координатах, поэтому воспользуемся формулой площади в полярных координатах:

Первая функция			определена при			а вторая
-	при	,	так	при	прочих	значениях

Соответствующая область имеет вид, изображенный на рисунке 25. Ввиду симметрии фигуры относительно полярной оси можно ограничиться вычислением половины площади, а результат удвоить.

Имеем:

F P,Q

Задания для самосоятельного решения:

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

.

2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

3.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Криволинейные интегралы второго рода

1. Вычисление площади поверхности тела.

1. Криволинейны интеграл второго рода.

Теоретическая часть:
Определение: Если в		некоторой плоской области задан вектор

силы, лежащий в этой области, то говорят, что заданно плоское силовое поле. По аналогии можно рассмотреть и силовое пространство.

Пусть - вектор силы, где Р=Р(х,у), а Q = Q(x,y). Рассмотрим некоторую дугу ВС в области Д и найдём работу поля по перемещению точки из В в С.

Разобьём разбиении TBC

ВС : B M	M	M
0	1

можно считать,

2	... M		k
что		по

...M n C. При	достаточно
частичной	дуге M k 1M

мелком

k

точка

P K ; K Q K ; K , где

движется под действием постоянной силы FK F :

F

N

k

k

;

k

M

k 1

M

k

,

причём считается, что движение происходит не по дуге,

M

а по хорде

M k 1M k . Обозначим

S

k

k 1

M

k

.

Тогда работа

Ak

приближённа равна:

A

F

k

;

k

Q

k

;

k

S

k

k

M

x

; y

x

x

x

k 1

S

M

M

x

, y

A

F

S

M

k

k

k

y

k

y

k

x

; y

y

k

k 1

k

k

k

k

k

k

k 1

k 1

k 1

k

k

k 1

Q

y A

m

m

P

x

Q

y

k

;

k

A

k

;

k

k

;

k

k

k

k

k 1

k 1

Параметр разбиения

max M

k 1

M

k

.

1 k m

Рассмотрим предел, при λ→0

естественно считать:

m

A lim P k ; k

xk

Q k ; k yk

k 1

на дуге

P	;	k
k

M	k 1	M	k
x

Определение криволинейного интеграла по координатам для случая плоских фигур

Пусть в плоскости ХОУ дана кривая ВС и на ней определена функция

Р(х;у). Разобьём ВС в направлении от В к С. На

частичной дуге выберем

промежуточные точки. Вычислим значение Р(х;у) в этих промежуточных точках и составим интегральную сумму:

1	P k ; k xk , max M k 1M k	lim	1	P(x; y)dx
		0		BC

Аналогично определяется интеграл по второй координате у:

lim	2 Q(x; y)dy.
0		BC
P(x; y)dx Q(x; y)dydet P(x; y)dx Q(x; y)dy
BC	BC	BC

- полный

криволинейный интеграл.

A P(x; y)dx Q(x; y)dy

- криволинейный интеграл второго рода.

BC

Существование и вычисление криволинейных

Определение:		Простая кривая Жордана r:		x
	t t			y
регулярной			- непр. на [α,β]

	интегралов
	t	называется
	t

Определение: Кривая Жордана называется кусочно-регулярной её можно разбить на конечное число регулярных кривых.

Примеры:

	1)	x RCost
		y RS int

t 0;

- регулярная кривая.

	y t	1 t 1 y x
2)			0		нерегулярная кривая, но
	x t

кусочнорегулярная.

r BC ,

место

Теорема: Если f(x;y) –непрерывна на кусочно-регулярной кривой то интеграл от этой функции по любой координате существует и имеет формула:

	f x; y dx f ( t ; t ) t dt
BC
	f x; y dx f t ; t t dt.
BC

Замкнутый контур

Для замкнутого контура является принципиальным вопрос выбора направления, так как начальная и конечная (∙) совпадают. Положительным называется направление, при котором наблюдатель, идущий по контуру в этом направлении, видит контур слева от себя. Противоположное направление – отрицательное.

Практическая часть:

1. Вычислить интеграл:

Где L – верхняя половина эллипса		, пробегаемая по ходу
часовой стрелки.
Воспользуемся	параметрическими	уравнениями	эллипса:
			Подс

тавляя в интеграл и учитывая направление обхода (откуда cледует, что t меняется от

2. Вычислить:

По дуге винтовой линии			при изменении t
от 0 до 2
Сначала	найдем	дифференциалы	переменных:

Даны функции и точки А(9,4), В(9,0), С(0,4). Вычислить криволинейный интеграл

Где:

1)L – отрезок ОА;

2)L – ломанная ОВА;

3)L – ломанная ОСА;

4)L – парабола, соединяющая точки О(0,0) и А(9,4) и симметричная относительно оси Оу.

5)Проверить выполнение условия Грина.

3.Вычислить интеграл

Взятый вдоль различных путей, соединяющих точки О (0,0), А(2,1),

В(2,0), С(0,1):

4. Даны функции и точки А(3,6), В(3,0), С(0,6). Вычислить криволинейный интеграл

Где:

1) L – отрезок ОА;