Практикум по математическому анализу

																										y		'						dy								y'(t)
																												x						dx								x'(t)
																												"						d			2		y				y	"		x		'	x		"	y		'
																										y																			t			t			t			t
																												x											2										'	3
																																		dx
																																															(x t )
Найдем
							1				1						1																					1					1							2
		'	(t				2 )'																'
	x													t			2			;		y				((t 1) 3 )'																			(t 1)					3 .
		t									2												t																				3
							1				3													2														5
		"																"
	x							t			2 ;				y												(t 1)											3 .
		t					4											t						9
Тогда
				1											2
							(t 1)
															3
	dy																									2				t
					3																															.
	dx											1
								1														33 (t 1)2
									t		2
								2
								2													5		1								1						1						3			1							2
		2								(t				1)							3					t					2									t			2				(t 1)						3
	d		y
								9															2														4									3
			2																																				3
	dx																																	1
																													1					2
																															t
																													2

	8	(t
	36

Ответ:

	5			3
1)	3		t	2	4t		3(t
	3
t	2
	dy					2	t	.
	dx
				3		(t 1)		2
				3

2(t 3)

1) . 93(t 1)5

d	2	y		2(t 3)
							.
		2				5
dx				3	(t 1)
				9

3. Найти первую и вторую производные неявной функции и функции, заданной параметрически.

а) ln y 7x 7 .

Продифференцируем обе части по х : 1y y' x72 0;

Отсюда

y'

7y

.

x

2

Дифференцируем последнее равенство по х

7y '

7

7y

x

2

14xy

7y' x 2

14xy

x 2

49y 14xy

y''

.

x 2

4

x 4

x 4

x

x

Ответ:

y'

7y

. y''

7y (7 2x)

.

x

2

x

4

x 1 t 2

б) 1y

t

Первую и вторую производные найдем по формулам

y

'

dy

y'(t)

x

dx

x'(t)

"

d

2

y

y

"

x

'

x

"

y

'

y

t

t

t

t

x

2

'

3

dx

(x t )

Найдем

	xt =				1
					1 t	2
				2
	x				1 t
			"
			t
	Тогда
		dy			t 2
		dx			t

1 t

				t											1
( 2t)						t(1 t				2		)			2
				1 t
					2
2	t		t
			1 t	2		1 t		2	t		2
	1 t	2				(1 t	2		1 t					2
								)

		1 t 2		.
		t 3

2

;

	y	'			1			t			2	.
		t		t		2
								3
	(1 t			2	)			2	; y	"	2t		3	.
										t

																1														3											3
d	2	y		2t	3	( t(1			t		2	)				2		)				(1 t					2	)		2	( t	2	)		t	2	(1 t	2	)		2	(2(1 t					2	) 1)		3	2t	2
dx		2																							3																					3				t	5	.
									t				3		(1				t			2	)		2												t	3	(1 t				2	)		2
																							d			2	y				3 2t			2
							dy					1 t								2
																																		.
Ответ:							dx								t		3					.	dx				2				t	5

4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала, сохраняя два знака после запятой.

а) y 3 2x 2 5x 1 при х=1,04.

Воспользуемся приближенным равенством f(x0+ x) f(x0)+dy=f(x0)+ f (x0)· x

Положим

Тогда

f (x)	3	2x	2

5x 1 (2x	2

5x

	1)	1	,
		3

x0+ x=1,04;

x0=1.

f (x)=

1	(2x	2
3

			2
	5x 1)		3

(4x

5)

, f(x0)= f(1)=2,

		1			2		9		3
	f (x0)= f (1)=		8		3	9				,
		3					12		4

x=1,04-1=0,04.

Получим f(x0+ x) 2+3/4·0,04=2,03.

б) cos61

Возьмем f(x)=cosx, x0+ x=61 ; x0=60 . Тогда

f (x)=-sin(x), f(x0)= f(60 )=cos60 =0,5, f (x0)= f (60 )=-sin60 =-

	3	0,866.
	2

x=61 -60 =1 =

180

0,017.

Получим cos61 0,5-0,866·0,017=0,48.

в)

y	4x 3x	3

при х=0,85.

Воспользуемся приближенным равенством f(x0+ x) f(x0)+dy=f(x0)+ f (x0)· x

Положим

f (x)	4x 3x	3

(4x

		1
3x	3	) 2

,

x0+ x=0,85; x0=1. Тогда

	1					1
f (x)=		(4x 3x	3	)		2	(4 9x	2	)	, f(x0)= f(1)=1, f (x0)=f (1)=	1
	2
											2

x=0,85-1=-0,15.

Получим f(x0+ x)=f(0,85) 1-2,5·(-0,15)=1,37.

г) sin27

Возьмем f(x)=sinx, x0+ x=27 ; x0=30 . Тогда

f (x)=cos(x), f(x0)= f(30 )=sin30 =0,5, f (x0)= f (30 )=cos30 =

	x=27 -30 =-3 =-3			-0,052.
		180

Получим sin27 0,5-0,866·0,052=0,45.

1 ( 5) 2,5.

23 0,866.

,

Задания для самосоятельного решения:

1. Вычислить приближенно с помощью дифференциала, сохраняя два знака после запятой.

а) y 3 x3 7x 2 при х=1,02.

б) sin32

2. Найти производные

а)	y 5x	2

dy dx

4 x

функций, заданных в явном виде.

	3	x	7	2x	6	б) у=5	х	5
								arccos(2x )

в) y=arctg3(7x-x3) ln(x2+1). г)

7		(x 2)4		e	2x	(x 2)4 / 7 (x 1) 2 e2x x 3.
y
		(x 1)2		x3

Исследование функции методами дифференциального исчисления

1.Исследование функции на экстремумы.

2.Исследование формы кривой.

3.Асимптоты функции.

Теоретическая часть:

Исследование функции с целью построения графика

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей)на интервале (а;b), если для любых значений x1и х2 аргумента х, таких что a<x1<x2<b выполняется неравенство f(x2)>f(x1) (f(x2)<f(x1)).

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции нужно пользоваться достаточными признаками монотонности:

Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) на некотором интервале и стационарные точки (те в которых f'(x)=0) не заполняют сплошь никакого отрезка, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Если в некоторой окрестности точки х0 для всех х≠х0 выполняется неравенство f(x)<f(x0) или f(x)>f(x0), то точка х0 называется точкой экстремума функции f(x) (соответственно точкой максимума или минимума).

Необходимое условие экстремума: Если функции f(x) имеет в точке х0

экстремум и дифференцируема в этой точке, то первая производная f '(x0) равна нулю. Таким образом, экстремум может наблюдаться в точках, в которых f′ (х0)=0 или не существует.

Достаточное условие экстремума: Если х0 является точкой экстремума функции f(x), то ее первая производная f'(x) меняет знак при переходе через точку х0: с плюса на минус — при максимуме, с минуса на плюс - при минимуме.

Пусть функция f(x) удовлетворяет условию f "(x)>0. Тогда кривая у= f(x) выпукла вниз в точке с абсциссой х0. Если же f "(x)<0, то кривая у=f(x) в этой точке выпукла вверх.

Точка с абсциссой х0 называется точкой перегиба кривой y=f(x), если при переходе через точку х0 меняется направление выпуклости.

Необходимое условие точки перегиба: если х0 - точка перегиба кривой y=f(x), то вторая производная f’'(х0) либо равна нулю, либо не существует.

Достаточное условие точки перегиба: x0является точкой перегиба кривой

у=f(x), если в достаточно малой окрестности точки х0 при переходе через точку х0 вторая производная меняет знак.

Прямая уас=кх+b называется наклонной асимптотой кривой y=f(x), если расстояние от точки (x;f(x)) кривой до этой прямой стремится к нулю при

х ∞. При этом

k lim x

f ( x ) x

,

b lim( x

f (

x

)

kx )

.

При k=0 имеем горизонтальную асимптоту: у=b.

Заметим, что если не существует хотя бы один из пределов, определяющих к и b, то асимптоты нет.

Если	lim f ( x )	или	lim f ( x ) , то прямая х=а называется
	x a 0		x a 0

вертикальной асимптотой графика функции.

Общая схема исследования функции и построения ее графика.

I. Элементарное исследование: 1)найти область определения функции;

2)исследовать функцию на четность (нечетность);

3)исследовать функцию на периодичность; 4)определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика с координатными осями.

II. Исследование графика функции по первой производной: 1)найти у'(х);

2)используя необходимый признак существования экстремума найти точки, «подозрительные» на экстремум, т.е. точки в которых у'(х)=0 или у′(х) не существует; 3)нанести критические точки на область определения и найти знак про-

изводной во всех получившихся интервалах; 4)используя признаки монотонности определить характер монотонности функции на каждом интервале;

5)используя достаточный признак существования экстремума установить наличие экстремума и их характер; 6)вычислить значение функции в точках экстремума, если они есть.

III.Исследование графика функции по второй производной:

1)найти у" (х);

2)используя необходимый признак существования точек перегиба, найти точки «подозрительные» на перегиб, т.е. точки в которых у"(х)=0 или у"(х) не существует;

3)нанести полученные точки на область определения и найти знак второй производной в каждом из получившихся интервалов;

4)используя теорему о форме кривой установить характер выпуклости

(вогнутости) графика функции на каждом промежутке;

5)используя достаточный признак существования точек перегиба установить их наличие; 6)вычислить значения функции в абсциссах точек перегиба.

IV.Исследовать поведение функции на границах области определения.

V. Исследовать кривую y=f(x)на наличие асимптот и указать область значений функции.

VI.Построить график функции.

Если исследование произведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласовываться друг с другом. Если же согласование отсутствует, необходимо проверить правильность результатов отдельных этапов и исправить ошибки.

Практическая часть:

1.Провести полное исследование функции и построить ее график

а)

	x	3	4
y				.
			2
		x

Решение 1)Область определения функции х(-,0) (0,+).Функция

непрерывна в области определения, х=0–точка разрыва. Найдем односторонние пределы

	x	3	4			x	3	4
lim				. ,	lim				.
			2					2
x 0 0		x			x 0 0		x

Следовательно, х=0–вертикальная асимптота.

х=

3

2) y( x)	( x)3	4	.	4 x3	y(x) .
	( x)2			x 2
Следовательно, функция общего вида.
3) Точек пересечения с осью Оу нет.
Точка пересечения с				осью Ох определяется				из уравнения х3+4=0;
4 1,59 , т. е. точка пересечения с осью Ох-(						3	4	; 0)
у
-			+		+

3 4	x
	0

Винтервале (-; 34 ) у<0;

Винтервале ( 34 ; 0) у>0;

Винтервале (0;+ ) у>0;

4)Исследуем функцию на возрастание, убывание, точки экстремума.

	3x	2	x	2	(x		3	4)	2x		x	3	8
y'														.
						4							3
					x							x

y =0 при х=2, у не существует при х=0.

у

+

-

+

0 2

Таким образом (- ,) у >0, функция возрастает;

(0,2) у 0, функция убывает.

(2,+ ) у >0, функция возрастает.

В точке х=2 функция имеет минимум ymin=12/4=3.

5)Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, точки перегиба

	3x	2	x	3	(x		3	8) 3x	2	24
y"												.
						6					4
					x					x

у в ноль не обращается, у не существует при х=0.

у

+ +

0 (- ,0) у >0, функция вогнута; (0,+ ) у 0, функция вогнута.

Точек перегиба нет (так как при х=0 функция не определена). 6) Найдем наклонную асимптоту.

y

x

3

4

4

k lim

lim

lim (1

) 1;

3

3

x x

x

x

x

x

x

3

4

4

b lim (y kx) lim (

x) lim

0

2

2

x

x

x

x x

Следовательно, у=х–наклонная асимптота. 7) Сделаем чертеж

				20
				19
				18
				17
				16
				15
				14
				13
				12
				11
				10
				9
				8
				7
				6
				5
				4
				3
				2
				1
5	4	3	2	1	0 1	2	3	4	5
				1
				2
				3
				4
				5

у

х

б) y x 2x 1.

Решение 1)Область определения функции х (- ,-1) (-1,1) (1, ).Функция

непрерывна в области определения, х=-1 и х=1–точки разрыва. Найдем односторонние пределы

lim		x		. , lim				x			. ,	lim		x		. ,	lim	x		. .
		2						2						2				2
x 1 0 x			1			x 1 0	x			1		x 1 0 x			1		x 1 0 x		1
Следовательно х=-1 и х=1–вертикальные асимптоты.
2)	y( x)			x		.			x		y(x)		.
					2			2
				( x)		1	x			1
Следовательно функция нечетная.
3) Точка пересечения с осями (0,0).
			-	y		+				-		+
				-1		0					1						x

Винтервале (- ;-1) у<0;

Винтервале (-1;0) у>0;

Винтервале (0;1) у<0;

Винтервале (1;+ ) у>0;

4)Исследуем функцию на возрастание, убывание, точки экстремума.

	x	2	1		x 2x			x		2	1
y'													.
			(x	2	1)	2		(x	2		1)	2
y <0 во всей области определения.
		у
					-							-		-
							-1					0		1
Таким образом

(-,-1) у 0, функция убывает;

(-1,1) у 0, функция убывает; (1,+) у 0, функция убывает. Экстремумов нет.

5)Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, точки перегиба

	2x(x	2	1)		2	(x			2	1) 2(x			2	1) 2x			2x(x			2		1)							x(x		2	3)
y"																								(x	2	1 2x	2	2) 2						.
						(x		2		1)		4					(x	2	1)				4						(x	2	1)		3
у =0 при х=0, у не существует при х=1.
	у
	-		-									+		-			+
						-1							0		1
(-,-1) у 0, функция выпукла;
(-1, 0) у 0, функция вогнута;
(0, 1) у 0, функция выпукла;
(1,+) у 0, функция вогнута.
При х=0 имеем точку перегиба упер=у(0)=0.
			lim				x
6) Так как							2		1			=0, то у=0–горизонтальная асимптота (частный
			x x
случай наклонной).
Найдем несколько дополнительных точек и сделаем чертеж
						x					0,9			1,1		2						4
						f(x)					-4,74			5,24		0,67						0,27

у 6

5

4

3

2

1

5	4	3	2	1	0	1	2	3	4	5
					1					х

2

3

4

5

6

в)

		x	3
	y			.
		x
	3
			2

Решение 1)Область определения функции х(- ,- 3 ) (- 3 , 3 )

( 3 , ).Функция непрерывна в области определения, х=- 3 и х= 3 –точки разрыва. Найдем односторонние пределы

		x			3																	x	3															x	3				x	3
lim								. ,					lim												. ,								lim								. ,	lim				. .
							2																	2																2					2
x	3 0 3 x												x			3 0 3 x																x			3 0 3 x							x 3 0 3 x
	Следовательно х=-																		3 и х=							3 –вертикальные асимптоты.
	2) y( x)										( x)3							.						x 3					y(x) .
											3 ( x)2												3	x 2
	Следовательно функция нечетная.
	3) Точка пересечения с осями (0,0).
							у
									+					-									+										-
										-			3					0											3														x
	В интервале (- ;-															3 ) у>0;
	В интервале (-												3 ;0) у<0;
	В интервале (0;														3 ) у>0;
	В интервале (												3	;+ ) у<0;
	4)Исследуем функцию на возрастание, убывание, точки экстремума.
				3x				2	(3	x		2	) x			3		( 2x)									x		2		(9 x				2	)
	y'																																				.
											(3 x			2	)	2											(3 x						2	)	2
	y =0 при х=0, 3, у не существует при х=																																							3	1,7.
							у
							-								+			+													+					+					-
										-3						-									0										3
																		3											3
	Таким образом
	(- ,-3) у0, функция убывает;
	(-3,-							) у>0, функция возрастает;
						3
	(-	3			,0) у>0, функция возрастает;
	(0,		3 ) у>0, функция возрастает;
	(	3	,3) у>0, функция возрастает;
	(3,+ ) у0, функция убывает.

Вточке х=-3 функция имеет минимум ymin=4,5.

Вточке х=3 функция имеет максимум ymax=-4,5.

5)Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, точки перегиба