Практикум по математическому анализу

Рассматриваемая функция является четной. Ее график – дуга параболы, заключенная между точками (-1;1) и (1;1). Так как l = 1, то

Здесь нужно дважды проинтегрировать по частям:

Так как рассматриваемая функция – четная, то bm

=0. Следовательно,

3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную на

полупериоде [0;2] уравнением	f (x) x x	2	/ 2.

Функция может быть разложена в ряд Фурье бесчисленным количеством способов. Рассмотрим два наиболее важных варианта разложения.

1) Доопределим функцию f(x) на сегменте [-2;0] четным образом (рис. 31). Имеем l = 2,

Интегрируем по частям:

Еще раз интегрируем по частям:

Итак,

2) Доопределим функцию f(x) на сегменте [-2;0] нечетным образом:

Итак,

4. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 2l, заданную на сегменте [-l;l] следующим образом:

Находим

К первому интегралу применяем интегрирование по частям:

Откуда

Определяем коэффициенты bm :

К первому интегралу применяем интегрирование по частям:

Имеем

Если

Следовательно,

Задания для самосоятельного решения:

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x) с периодом Т, заданную на указанном сегменте:

1.f(x)=x; T=2π; [-π; π].

2.f(x)= x3 ; T= 2π; [-π; π].

3.f(x)= x2 ; T=2π; [0; π]. Продолжить f(x) на сегмент [-π; 0] нечетным

образом.