Практикум по математическому анализу
.pdfТаким образом:
2) Этот интеграл вычислим аналогично предыдущемую
А) ОС: т.е. dx=0), откуда
Б) СА:
Окончательно
3)Подставив координаты точки А(3;6) в равенство найдем уравнение данной параболы . При этом
Имеем:
Т.е. условие Грина не выполняется. Этот факт, а также вычисления в пунктах 1)-4) этой задачи показывают, что данный криволинейный интеграл второго рода зависит от пути интегрирования.
2) (ВО): рассуждая аналогично, находим
3) (OA): |
. |
4) Окончательно:
2. Вычислить криволинейный интеграл
Где L – окружность х2+у2=ах (а>0). |
|
|
|
||
Введем |
полярные |
координаты |
|
. |
Тогда, |
поскольку |
х2+у2=r2, |
уравнение |
окружности |
примет |
вид |
|
|
а дифферинциал дуги |
|
|
|
При этом |
Следовательно, |
|
|
|
3. Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции с тремя переменными
Где |
L |
– |
дуга |
кривой, |
заданной |
параметрически |
|
|
|
|
. |
|
|
Перейдем в подынтегральном выражении к переменной t. Имеем для подынтегральной функции:
Теперь выразим через t дифферинциал dl:
Таким образом:
4. Показать, что интеграл
Не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки (0,0) и
(10,10), и вычислить его. |
|
Проверим условие Грина. Положим |
Тогда |
И значит, данный интеграл действительно не зависит от пути интегрирования. Для вычисления данного интеграла в качестве пути интегрирования возьмем простейший, т.е. отрезок, соединяющий точки О (0,0) и В (10,10). Отрезок ОВ можно задать так: При этом dy=dx, и интеграл легко сводится к определенному интегралу:
5. Проверить, является ли выражение
Полным дифферинциалом некоторой функции U(x,y) и если да, то
найти эту функцию. |
|
Обозначим |
Тогда |
Таим образом, условие |
Грина |
имеет место при |
|
Следовательно, данное выражение есть полный дифферинциал некоторой функции U(x,y), которая может быть найдена как криволинейный интеграл
Где (x0,y0) – произвольная фиксированная точка плоскости Оху, не лежащаяна оси Ох (так как ). П оложим (x0,y0)=(0,1), а в качестве пути интегрирования выберем путь L=ABC, изображенный на рис. 47. Тогда сокращенно можно написать:
Имеем:
1)(АВ):
2)(BC): х – фиксировано, следовательно, dx=0, откуда
3)Таким образом,
Проверка показывает, что действительно,
Задания для самосоятельного решения:
1. Вычислить
2.Вычислить
3.Вычислить
4.Проверить, что данный криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить его:
5.Найти функции по данным полным дифферинциалам:
,
Положительные числовые ряды, признаки их сходимости
1.Числовые ряды, общий член ряда.
2.Положительные числовые ряды, достаточные признаки сходимости положительных рядов.
Теоретическая часть:
1. Числовые ряды. Основные понятия
Определение: пусть имеем {аn}- действительные числа
∞
Тогда выражение вида а1+а2+а3+….аn+…. – числовой ряд ∑ аn
n=1
а1, а2, а3,…., аn,…. – члены ряда; аn - общий член ряда.
S1= a1; S2 = a1+a2; S3 = a1+a2+a3; Sn = a1+a2+....+an = Sn-1 + аn .
Каждый ряд порождает последовательность частичных сумм. Определение: S = limSn (конечный или бесконечный ) называется
суммой ряда.
Определение: если S (-∞;+∞) , то ∑ аn- сходящийся; в противном случае расходящийся.
Свойства сходящихся числовых рядов
Определение: ряд, членами которого являются члены ряда (*)
а1+а2+а3+…+an+ ... an+k...+... , начиная с (n+1), взятые в том же порядке, что и в (*), называются n-ным остатком ряда (*). Обозначается Rn.
|
∞ |
|
|
Теорема 1: ∑ an– сходится =>Rn – сходится, Ұ n. |
|||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
Теорема 2: |
|
|
Rn – сходящийся =>∑an – cходится |
|
|
||
|
|
||
|
|
|
n=1 |
|
∞ |
∞ |
|
Теорема 3: |
∑an - сходится и ∑bn –сходится тогда: |
||
∞n=1 |
|
|
n=1 |
∑( αan + βbn) –сходится
n=1
∞
Теорема 4:∑an - сходится => lim Rn= 0.
n=1
Теорема 5: ∑an - сходится => lim (Sn – Sn-1) = 0 <=> lim an = 0.
Ряды с положительными членами
Рассмотрим достаточные признаки сходимости положительных рядов:
Теорема 1:
∑an : аn≥0 и ∑bn : bn≥0; все an≤ bn
=> имеем: если
1). ∑bn - сходится => ∑аn - сходится.
2). ∑аn - расходится => ∑bn - расходится. Теорема 2: Предельная теорема сравнений.
∑аn и аn ≥0
Иlim(an/bn) = k =>
∑bn и bn≥0;
=>k |
(0;+∞) и ∑аn- сходится |
=> ∑bn- сходится |
k |
(0;+∞) и ∑bn- paсходится |
∑аn- paсходится |
То есть если k (0;+∞), то оба ряда ведут себя одинаково.
Таблица сходящихся и расходящихся положительных рядов.
Сходящиеся ряды |
Расходящиеся ряды |