Практикум по математическому анализу

Пусть z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки Р0(х0,у0). Зафиксируем у=у0. Тогда z=f(x,y) – функция одной переменной х. Если существует ее производная в точке х, то она называется частной производной функции z=f(x,y), по х в точке (х0,у0) и обозначается:

f '	x	(x	0	y	0	) z'	x	z
									x
f 'x		(x0 y			0 ) lim				f (x	0 x, y0 ) f (x0 y0 )
											x
						x	0
f ' y		(x0 y			0 ) lim				f (x0 , y		0 y) f (x0 y0 )
											y
						y	0

Механическое толкование частной производной

Частную производную fx’(х0,у0) функции z=f(x,y) можно толковать как скорость изменения функции в точке Р0(х0,у0) относительно переменной х.

Например, если сила тока I=U/R, то Iu’=1/R – скорость изменения силы тока в зависимости от изменения напряжения при постоянном сопротивлении.

IR’=-U/R² - скорость изменения силы тока в зависимости от изменения сопротивления при постоянном напряжении.

Геометрическое толкование частной производной 2-х переменных

Частная производная fx’(х0,у0)( fy’(х0,у0)) – угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности z=f(x,y) и плоскости y=у0 (x=х0) в соответствующей точке.

Дифференцируемые функции и их свойства

Определение: Функция z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке Р0(х0,у0), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

z=A x+B y+ ( x, y) x+ ( x, y) y,

где А и В – числа, независящие от х и у, а (х,у) 0 и (х,у) 0 при х0 и у0.

Теорема1: Если функция дифференцируема в ( )Р0(х0,у0), то она непрерывна в этой точке.

Замечание: обратное утверждение неверно, т.е из непрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке.

Теорема2: функция дифференцируема в ( )Р0(х0,у0),то она имеет частные производные в этой точке.

Теоремы 1,2 явлляются необходимыми условиями дифференцируемости функции.

Теорема 3: (достаточное условие дифференцируемости функции)

Если z=f(x,y) имеет частные производные в некоторой окрестности точки Р0(х0,у0) и они непрерывны в самой точке Р0, то функция дифференцируема в точке Р0.

Полный дифференциал функции

Пусть z=f(x,y) дифференцируема в точке Р0(х0,у0), тогда ее приращение в этой точке можно определить в виде:

z= fx’(х0,у0) x+ fy’(х0,у0) y+ ( x, y) x+ ( x, y) y,

где (х,у) 0 и (х,у) 0 при х0 и у0.

Если fх’(х0,у0) 0 и fy’(х0,у0) 0, то выражение fх’(х0,у0)х+ fy’(х0,у0)у линейно относительно х и у, а выражение (х,у)х+ (х,у)у

бесконечно малая функция более высокого порядка, чем

	x	2	y	2

Определение: Главная часть приращения дифференцируемой в точке Р0(х0,у0) функции z=f(x,y), линейная относительно приращений независимых переменных х и у, называется полным дифференциалом функции двух переменных в точке Р0.

dz= fх’(х0,у0)х+ fy’(х0,у0)у

Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях

При достаточно малых |х| и | y| полагают z dz. Так какz=f(х0 + x,у0+ y)-f(х0,у0) dz(х0,у0) , то

f(х0 + x,у0+ y) f(х0,у0) +dz(х0,у0).

Практическая часть:

1. Найти область определения функции:

1)	z

2) z

3)	z

2. Дана

ln( x2 y 2 R2 ), R 0

x 2 4 4 y 2

log x	2	y	2	1	16 x	2	y	2

функция z=ln(3x2+2y3). Найдите

z

z

2

z

2

z

2

z

2

z

x

;

y

;

x

2

;

y

2

;

x y

;

y x

.

Убедитесь, что

2 z 2 z .x y y x

Решение

Найдем частные производные

z

1

(3х

2

2у

3

)

'

6х

;

z

1

(3х

2

2у

3

)

'

6у

;

x

3х

2

2у

3

x

3х

2

2у

3

y

3х

2

2у

3

у

3х

2

2у

3

2

z

6х

'

6(3х

2

2у

3

) 6x 6x

6(2у

3

3x

2

)

;

2

2

3

2

3

2

2

3

2

x

2у

(3х

2у

)

(3х

2у

)

3х

x

2

z

6у

'

6(3х

2

2у

3

)

6у 6у

6(3x

2

4у

3

)

;

2

2

3

2

3

2

2

3

2

у

3х

2у

(3х

2у

)

(3х

2у

)

у

2

z

6х

'

0(3х

2

2у

3

) 6х 6у

36xу

;

2

2

3

2

2

3

2

х у

3х

2у

3

(3х

2у

)

(3х

2у

)

у

2

z

6у

'

0(3х

2

2у

3

)

6у 6х

36xу

;

2

2

3

2

2

3

2

у х

3х

2у

3

(3х

2у

)

(3х

2у

)

х

2

z

2

z

Следовательно,

x y

y x

.

z

z

z

z

z

z

2

2

2

2

Дана функция z=ln(x2+y2). Найдите

x

;

y

;

x

2

;

y

2

;

x y

;

y x

.

z

z

2

2

Убедитесь, что

x y

y x

.

3.Дана функция

z

y

. Показать, что

2

y

2

5

(x

)

z

z

2

z

2

z

2

z

F(x, y, z,

,

,

,

,

) 0.

x

y

x

2

y

2

x y

F

1

z

1

z

z

.

2

x

x

y

y

y

Решение

Найдем частные производные

z

0 (x 2

y2 )5

y 5(x 2

y2 )4

2x

10xy

;

x

(x 2 y2 )10

(x

2 y2 )6

z

1 (x 2

y2 )5

y 5(x 2

y2 )4 ( 2y)

x 2

9y

2

.

y

(x 2 y2 )10

(x 2

y2 )6

Тогда

		1						10xy										1		x 2				9y		2							y
F
		x					2					2		6				y				2			2		6			2		2		2		5
						(x			y				)							(x				y		)			y		(x		y		)
	10y			2		x		2		9y			2				(x	2	y		2		)
																								0.
										2	y			2		6
						y(x									)

Что и требовалось доказать.

	Дана функция z=							y2				arcsin( xy) . Показать, что
								3x
		z		z			2		z				2	z			2	z
	F(x, y, z,		,		,					,					,				) 0.
		x		y		x			2			y		2		x y

F x	2		z	xy	z	y	2	.
			x		y

Решение Найдем частные производные

z

y2

1

(xy)'x

y2

y

,

x

3x 2

3x 2

1 (xy)2

1 x 2 y2

z

2y

1

(xy)'y

2y

x

.

y

3x

1 (xy)2

3x

1 x 2 y2

F x

2 (

y2

y

) xy (

2y

x

) y2

y2

x 2 y

2y2

3x 2

1 x 2 y2

3x

1 x 2 y2

3

1 x 2 y2

3

x 2 y

y2

0.

1 x 2 y2

Что и требовалось доказать.

Задания для самосоятельного решения:

1. Найти область определения функции:

z1 y x 2 1 y x 2

2.Найти частные производные функций:

z xy	x	2	y	2	z xe	xy

z ln x	2	y	2

3. Дана функция

z=

ln( x	2	y	2

F(x, y, z, xz

2x 1)

. Показать, что

,

z

,

2 z

,

2 z

,

2 z

) 0.

y

x 2

y2

x y

F

2 z

2 z

.

x 2

y2

Дифференцирование функции двух переменных, дифференциал функции двух переменных

1.Дифференцируемость сложно заданных функций.

2.Дифференциал функции двух переменных, приближенные вычисления.

Теоретическая часть:

Дифференцирование сложной функции

Ι.Пусть z=f(x,y) , где х= (t), y= (t). Тогда z = f( (t), (t)) = F(t)-

сложная функция, где t –независимая переменная, а х,у – промежуточные переменные.

Если функции x= (t) y= (t) дифференцируемы в ( )t, а функция z=f(x,y) дифференцируема в соответствующей точке (х,у), то сложная функция z=F(t) дифференцируема в ( )t, причем

	dz		z dx		z	dy	(*)
	dt		x dt		y dt

. Пусть z=f(u,v), где u=u(x,y), v=v(x,y). Тогда z=f(u(x,y), v(x,y))=F(x,y)

– сложная функция, где х, у – независимые переменные, а u,v-

промежуточные.

Пусть функции u(x,y) и v(x,y) дифференцируемымы в точке (х,у), а

функция z=f(u,v)- точке (u,v), тогда сложная функция z=F(x,y)-

дифференцируема в точке (х,у).

Найдем ее частные производные. Для этого сначала зафиксируем у,

тогда функции u и v будут функциями одной переменной х. В этом случае применяя формулу (*), получим

dz z du z dv dx u dx v dx

Аналогично, зафиксировав х, получим

dz z du z dv dy u dy v dy

Дифференциал сложной функции

1. Пусть z=f(x,y), где х и у –независимые переменные, тогда

	dz	z	dx	z	dy
		x		y

2. Пусть z=f(x,y), где х и у –зависимые переменные т.е x=x(u,v) y=y(u,v). Тогда z=f(x(u,v),y(u,v))=F(u,v) – сложная функция, где u,v –

независимые переменные.

По 1-му случаю

	dz			z
			u
	dz			z
	du			x

Где х и у

	du		z	dv
			v
							z dx		z dy
	dx		z	dy	dz
	du		y du		dv		x dv		y dv

–промежуточные переменные.

dz (

z dx

z dy

)du (

z dx

z dy

)dv

z

(

dx

du

dx

dv)

z

(

dy

du

dy

dv)

x du

y du

x dv

y dv

x

du

dv

y

du

dv

z dx z dy

x y

Практическая часть:

1. Найти полные дифференциалы функций:

y

1).

z e

xy

x y ,

z ln 1 e

x

y

2

,

z x

y

x

z ln x

x

y

z 3

sin 2 x 3 y

z

3x

3

2).

2

2

2

;

;

4

2 y

;

3).

z 2x y cos 3x 2y

;

z 3arcsin 2 xy ;

z 3ln 2x

3

3x

y

4).

z xy

2

arcsin

;

z x

3

y cos x

2

y

3

;

z x ln 3x

2

2

xy ;

x

2y

;

x2
z 3arcsin
		2
			.
y

2. Дана функция z=f(x,y) и точка М0(х0,у0). С помощью дифференциала вычислить приближенное значение функции в данной точке. Оценить относительную погрешность вычисления.

z=x2+y2-2х+2у, M0(1,08;1,94).

Решение Найдем частные производные и дифференциал в любой точке

	z	2x	2;	z	2y	2
	x			y
	dz (2x 2)dx (2y 2)dy

Вычислим его в точке М(1,2) при приращениях dx= x=1,08-1=0,08; dy= y=1,94-2=-0,06. dz=0·0,08+6·(-0,06)=-0,36.

Найдем z(M)=z(1,2)=1+4-2+4=7.

Тогда

z z(M	0	) z(M) dz 7 0,36 6,64.

Вычислим точное значение функции z в точке М0 z=1,082+1,942-2 1,08+2 1,94=6,65.

Найдем относительную погрешность

		z z	100%		| 6,65 6,64 |	100%	0,15%
		z			6,65

Ответ: Приближенное значение	z 6,64.
Относительная погрешность		0,15%.

3. Дана функция z=f(x,y) и точка М0(х0,у0). С помощью дифференциала вычислить приближенное знчение функции в данной точке. Оценить относительную погрешность вычисления.

z=2xy+3y2-5x, M0(3,04;3,95).

Решение Найдем частные производные и дифференциал в любой точке

	z	2y	5	z	2x	6y
	x			y
	dz (2y 5)dx (2x 6y)dy

Вычислим его в точке М(3,4) при приращениях dx= x=3,04-3=0,04; dy= y=3,95-4=-0,05. dz=(2·4-5)·0,04+(2·3+6·4)·(-0,05)=-1,38.

Найдем z(M)=2·3 4+3·42-5 3=57.

Тогда	z z(M	0	) z(M) dz 57	1,38	55,62.

Вычислим точное значение функции z в точке М0 z=2·3,04 3,95+3·3,952-5 3,04=55,624.

Найдем относительную погрешность

		z z	100%	55,624 55,62	100% 0,007%
		z		55,624

z

Ответ: Приближенное значение Относительная погрешность

55,62.

0,007%.

Задания для самосоятельного решения:

1. Найти полный дифференциал функции z=3sin(2x+3y) ; z=(2x-y)cos(3x+2y); z= 4(3x 2 y)3

2. Дана функция z=f(x,y) и точка М0(х0,у0). С помощью дифференциала вычислить приближенное знчение функции в данной точке. Оценить относительную погрешность вычисления.

z=x2+y2-4x+2y, M0(2,98;2,05).

Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных

1.Экстремум функции дух переменных. Критерий Сильвестра.

2.Наибольшее и наименьшее значении функции двух переменных на области.

Теоретическая часть:

Экстремум функции дух переменных. Критерий Сильвестра
Определение: Если в некоторой окрестности				x		0	, x			0	; y	0	, y	0
точки М0(х0,У0) выполняется неравенство
f (x	, y	0	) f (x, y)( f (x		, y			0	) f (x, y))			,
0				0

то говорят, что функция z=f(x,y)имеет максимум (минимум) в точке М0 Теорема: (необходимые условия экстремума). Если дифференцируемая

функция z=f(x,y) имеет экстремум в точке М0,то обе частные производные функции f(х,у) в этой точке равны нулю.

Замечание 1. Необходимые условия экстремума могут быть сформулированы в следующем виде: если в точкеМ0(х0,у0)функция z=f(х,у) имеет экстремум, то полный дифференциал функции f(х,у), вычисленный в точке М0, равен нулю.

Замечание. Точки, в которых обе частные производные функции z=f(x,у) обращаются в 0, называются (так же, как и в случае функций одной переменной) стационарными точками.

Однако дифференцируемая функция может и не иметь экстремума в стационарной точке (так же, как и в случае функций одной переменной). Иначе говоря, необходимые условия экстремума не являются условиями, достаточными для наличия экстремума у функции в точке М0.

Условия, достаточные для наличия экстремума у дифференцируемой функции двух переменных в стационарной точке, формулируются следующим образом (Критерий Сильвестра).

Если в стационарной точке М0(х0;у0) выполняется неравенство

f 2

(x

, y

)

f 2

(x

, y

) f

(x

, y

) 2 0 ,

(78)

x

0

0

y

0

0

xy

0

0

то функция z=f(х,у) имеет в М0 экстремум: минимум в случае,

когда

(x0 , y0 ) 0

, и максимум, когда

f

2

f

2 (x0 , y0 ) 0 .

x

x

Наибольшее и наименьшее значении функции двух

переменных на области

Пусть

в

некоторой

ограниченной

замкнутой

области (D) задана

дифференцируемая функция z=f(х,у)и требуется найти наибольшее и наименьшее значение этой функции в области (D).

Очевидно, что наибольшее или наименьшее значение функции во внутренних точках области могут достигаться только в точках экстремума.

Поэтому нужно найти все точки, подозрительные на экстремум внутри области, и, не занимаясь вопросом о том, есть ли в этих точках экстремумы и если есть, то какие, вычислить значения функции во всех найденных стационарных точках. Но функция может принимать наибольшее или наименьшее значение и на границе области (D). Поэтому надо еще отдельно искать наибольшее и наименьшее значения функции на границе области. При этом можно использовать уравнения границы области для уменьшения числа независимых переменных у функции и свести дело к исследованию функции одной переменной. Сравнивая все полученные таким образом значения функции, выбираем из них самое большое и самое маленькое.

Практическая часть:

1.Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x,y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

z=x2+y2-9xy+27, 0 x 3, 0 y 3.

Решение Сделаем чертеж

	4
	3
	2
	1
1	0	1	2	3	4
	1

Найдем стационарные точки функции, лежащие внутри области D.

	z		0
		x		2x 9y 0			x 0
		z			9x	0
			0	2y			y 0
		y

Точка O(0;0) принадлежит границе области D. Исследуем значения функции на границе области.

1)Отрезок OA. Его уравнение х=0, 0у3. Подставим х=0 в функцию z=у2+27. z =2y=0. y=0. Найдем значения функции при у=0, у=3.

z1=z(0)=z(O)=27. z2=z(3)=z(A)=36.

2)Отрезок AВ. Его уравнение у=3, 0х3

z=х2-27х+36. z =2х-27=0,х=27/2 [0,3]. Найдем значения в точке х=3 (при х=0 получится точка А, в которой значение посчитано). z3=z(3)=z(B)=9-81+36=-36.

3) Отрезок BС. Его уравнение х=3, 0у3. Подставим х=3 в функцию z=у2-27y+36. z =2y-27=0,y=27/2 [0,3].Найдем значение функции при у=0.

z4=z(0)=z(C)=36

4) Отрезок OC. Его уравнение у=0, 0 х3

z=х2+27. z=2х=0,х=0.Значения в точках О и С посчитаны. Среди найденных значений выберем наименьшее и наибольшее Ответ: zнаим=z(3,3)=-36.

zнаиб=z(0,3)=z(3,0)=36.

2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x,y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

z=x2+2y2+1, x 0, y 0,x+y 1.

Решение Сделаем чертеж

1

0.5

0

0.5

1

Найдем стационарные точки функции, лежащие внутри области D.

		z	0
		x			0		x 0
				2x
		z			0		y 0
			0	4y
		y

Внутри области стационарных точек нет (найденная точка лежит на границе).

Исследуем значения функции на границе области.

5) Отрезок OВ. Его уравнение у=0, 0 х 1. Подставим у=0 в функцию z=x2+1. z =2x=0,x=0. Найдем значения функции при х=0,x=1. z1=z(0)=z(O)=1.

z2=z(1)=z(B)=2.

6) . Отрезок OA. Его уравнение x=0, 0y1. Подставим x=0 в функцию z=2y2+1. z =4y=0,y=0. Найдем значения функции при y=1 (при у=0 получается точка О, в которой значение уже посчитано). z3=z(1)=z(A)=3.

7) Отрезок АВ. Его уравнение х+у=1 или y=1-x, 0х 1. Подставим z=x2+2(1-x)2+1=3x2-4x+3, z =6x-4=0, x=2/3. Вычислим z при этом значении х (при х=0 и х=1 получатся точки А и В). z4=z(2/3)=3 4/9-4 2/3+3=5/3

Среди найденных значений выберем наименьшее и наибольшее