Практикум по математическому анализу

1). Геометрическая прогрессия	1). Геометрическая прогрессия
(|q|<1)	(q≥1)
∑bqn = b + b*q + ... = b/1-q	∑bqn = b + b*q + ...
2). ∑(1/ns ) = 1 + 1/2s + 1/3s...=	2). ∑(1/ns ), S≤1
(при S>1)

ПризнакДаламбера.

Теорема: ∑an : аn ≥0, и lim(an+1/an) = d => d<1 =>рядсходится

d>1 => ряд расходится

Определение: Положительный ряд, члены которого больше, либо равны соответствующих членов данного ряда, называется мажорантой.

Практическая часть:

1.Исследуйте числовой ряд на сходимость.

	5	n	(n 1)!
				.
			(2n)!
n 1

Решение:

Применим признак Даламбера.

Пусть	P lim	a	n 1		, тогда если P<1, то ряд сходится; если P>1,
	n	a		n

расходится; если P=1, то требуется дополнительное исследование.

Найдем:

2

a n 1

5n 1 (n 2)!

(2n)!

5(n 2)

5n(1

)

n

a n

(2n 2)!

5n (n 1)!

(2n

1)(2n 2)

2

1

n

(2

)(2

n

то ряд

.

n2 )

		5(1			2	)
					n
P lim
			1				2
n	n(2			)(2				)
			n				n

0

1

, Следовательно, ряд сходится.

2. Исследуйте числовой ряд на сходимость.

	n 2 3n
		.
	(n 2)!
n 1

Решение:

Применим признак Даламбера.

Пусть P lim	a	n 1		, тогда если P<1, то ряд сходится; если P>1,
n	a		n
расходится; если P=1, то требуется дополнительное исследование.
Найдем:

																					3n	2	(1			2		1		)
a				(n 1)			2	3	n 1			(n	2)!				3(n	2	2n	1)						n		n	2
	n 1
a					(n 3)!							n	2	2	n		(n 3)n			2							3
																								3	(1
		n																				n						)
																											n
					3(1	2				1		)
						n				n	2
P lim												0 1
																, Следовательно, ряд сходится.
									3
			n		n(1					)
									n

3. Исследуйте числовой ряд на сходимость.

то ряд

.

		sin
		n
	n 1

2 2

n	.

Решение:

sin

2

n

1

a

;

b

Применим признак сравнения. Пусть

n

n

2

n

n

2 .

Очевидно,

что

n

s

а

b

. Ряд

1

- это обобщенный гармонический ряд

1

. Так как

n

2

n

n 1 n

n 1

s=2>1,

то ряд

bn сходится. По признаку сравнения

ряд

а n

тоже

n 1

n 1

сходится.

Ответ: Ряд сходится.

4. Исследуйте числовой ряд на сходимость.

		sin
		n
	n 1

2 2

n	.

Решение:

			sin	2	n			1
Применим признак сравнения. Пусть	a n					;	bn		.
			n	2				2
								n
Очевидно,								что

аn bn . Ряд
	n 1

s=2>1, то ряд

1
n	2
n 1

- это обобщенный гармонический ряд
		n 1
b	сходится. По признаку сравнения ряд
n

	1		.
	n	s
			а
	n 1

Так как

n

тоже

сходится.

Ответ: Ряд сходится.

5. Исследуйте числовой ряд на сходимость.

		1		5n 1		n
	n						.
	n 1	3		2n 1

Решение:

Применим признак Коши.

Пусть	l	lim	n a	n	, тогда если l<1, то ряд сходится; если l>1, то
		n

расходится; если l=1, то требуется дополнительное исследование. Найдем:

ряд

1

5n 1

n

1

5n 1

l

lim

n a

lim

n

lim

n

n

n

n

3

2n 1

n 3 2n 1

1

)

n(5

n

5

lim

1.

1 )

6

n n(6

n

Следовательно, ряд сходится

1.Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравнения. Указать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.

2.Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Даламбера:

3.Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Коши:

Задания для самосоятельного решения:

1. Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравнения. Указать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.

2.Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Даламбера:

3.Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Коши:

Произвольные ряды. Абсолютно сходящиеся ряды. Знакочередующиеся ряды, их свойства и приложения

1. Положительные числовые ряды, достаточные признаки сходимости положительных рядов.

2. Знакочередующиеся ряды и их свойства.

3. Приближенные вычисления с помощью рядов.

4. Исследование произвольных рядов на сходимость.

Теоретическая часть:

Признак Коши

Теорема: ∑an : аn≥0, и limn√an = с => c<1 – ряд сходится c>1 – ряд расходится

Интегральный признак сходимости Коши.

∞∞

Теорема: ∑an = ∑ f(n); f(n)>0, и f(x)≥0 – убывающая

n=1 n=1

и непрерывная на [1;+∞) =>

+ ∞

1). Если ∫ f(x)dx – сходится => ряд сходится;

1+ ∞

2). Если ∫ f(x)dx – расходится => ряд расходится.

1

Свойства абсолютно сходящихся рядов

Определение: ∑an, называется условно сходящимся <=> ∑an – сходится, а ∑|an| - расходится.

Теорема 1: ∑an – сходится и ∑an = А, то члены этого ряда можно произвольно объединять в скобки, и от этого сумма ряда не изменится.

Обратная теорема неверна:

Теорема 2: ∑an = А и an>0 => ∑| a|n = A (теорема Дирихле):

Знакочередующиеся ряды.
Рассмотрим: C1-C2+C3-C4+....+(-1)n+1Cn + ...,	Cn>0,
1). Cn>Cn+1>0,		∞
Теорема Лейбница: ∑(-1)n+1Cn и		=>S =∑(-1)n+1Cn
2). limCn=0		n=1

Следствие: 1) сумма знакочередующегося ряда не превосходит модуля первого слагаемого.

2)модуль остатка знакочередующегося ряда не превосходит модуля первого оставшегося члена.

Ряды с произвольными членами

Теорема: ∑an, и ∑|an| - сходится =>∑an – сходится.

Определение: ∑an, называется абсолютно сходящимся рядом <=> ∑|an| - сходится.

|

Практическая часть:

1. Исследуйте числовой ряд на сходимость.

1

.

n ln

2

n 2

n

Решение:

Применим интегральный признак. Рассмотрим несобственный

интеграл

b

b

1

dx

d(ln x)

1

1

1

lim

lim

lim

.

2

2

b

b

ln x 2

b ln 2

ln b

ln 2

x ln x

ln x

2

2

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и числовой ряд.

Ответ: ряд сходится.

2. Исследуйте числовой ряд на сходимость.

1

n 1

n

2

n

n

.

n 1

Решение:

Применим признак Коши.

l lim

Пусть

n a

n , тогда если l<1, то ряд сходится; если l>1, то ряд

n

расходится; если l=1, то требуется дополнительное исследование.

Найдем:

n

n 1

n

1

l

lim

n a

lim

n

2n

n

n

n

lim

n 1

1

1

1

n

n

2

2

Следовательно, ряд сходится.

Ответ: Ряд сходится.

3. Исследуем на сходимость ряд:

n

n

. ( 1)

n

0,1

( 10)

.

n 1

n 1

Ряд расходится, так как общий член не стремится к 0.

4. Исследуем на сходимость ряд:

					n					n
		( 4)						( 1)
										.
		2n		3				3
	2					n			n
n 1							n 1

Ряд знакочередующийся. Так как абсолютные величины членов этого ряда монотонно убывают и стремятся к нулю, то по признаку Лейбница ряд сходится.

5. Исследуем на сходимость ряд:

	0,5n	n		( 1)n
		. 2			.
	n			n
n 1			n 1

Ряд знакочередующийся. Так как абсолютные величины членов этого ряда монотонно убывают и стремятся к нулю, то по признаку Лейбница ряд сходится.

		( 1)	n
			.
		n
	n 1

Абсолютный ряд расходится как обобщенногармонический при s=0,5, но

исходный ряд сходится по признаку Лейбница. Следовательно данный

ряд является условно сходящимся.

Задания для самосоятельного решения:

1. Исследовать на сходимость ряд

применяя интегральный признак. Указать первообразную для функции и

2.Исследовать на сходимость ряд

3.Исследовать на сходимость ряд

Степенные ряды, область сходимости

1.Степенные ряды, область их сходимости.

2.Разложение элементарных функций в степенные ряды.

Теоретическая часть:

Степенные ряды.

Определение: ∑ an(x-x0)n, {an,x0} R, n N – степенной ряд по степеням

(x-x0).

∞

∑anxn – степенной ряд по степеням х: a0+a1x+a2x2+ ... + anxn + ...

n=0

∞

1). x=0 => ∑anxn = a0 => точка x=0 Ocx.

n=0

∞

2). ∑n!xn = 0! + 1!x + 2!x2 + ...+n!xn+ ...

n=0

∞

0! = def = 1; Г(-1) = 1 = ∫x-2e-xdx.

0

Теорема Абеля 1: Область сходимости степенного ряда (по степеням х) всегда является промежутком с центром в (.) ноль.

Теорема Абеля 2: ∑anxn – сходится абсолютно в (.) x0 ≠ 0 => => ∑anxn – сходится для любого x: |x|<|x0|.

Заметим, что ∑anxn – расходится в (.) x0 ≠ 0 => ∑anxn –расходится для любого x: |x|>|x0|.

Разложение элементарных функций в степенные ряды

1) sinx =

	(sin x)	n
	n!

х	n

= 0 +

1	x	0	x	2		1	x	3		0	x	4		1	x	5	0		1	x	7	...
1!		2!				3!				4!				5!					7!

sinx =

x

3

x

5

x

7

n 1

x

2n 1

x (- , )

х

... ( 1)

...

3!

5!

7!

(2n 1)!

I =

(- , ) : ряд абсолютно сходится.

x

2

x 4

x 6

( 1) n 1 x 2n 2

2). cosx = 1

...

...

2!

4!

6!

(2n 2)!

x (- , ) I = (- , ) : ряд абсолютно сходится.

3). ex =

ex

xn

= 1 x

x 2

x3

...

x n

...,

n!

2!

3!

n!

x (- , )

I = (- , ) : ряд абсолютно сходится.

e 1 1

1

1

...

1

1

1

...

2!

3!

n!

(n

1)!

(n 2)!

x2

x3

x4

... ( 1)n

xn 1

4). ln(1+x) = x

...

I =(-1;1).

2

3

4

n 1

5). у = arctg x

arctgx =

6).

		x	3
	x
		3
	(1 x)				m

x	5
5

... I = (-1; 1); X = [-1; 1].

1 mx	m(m 1)	x	2	...	m(m 1)...(m n 1)		x	n	...
	2				.	. . .
					1 2	3 ... n

а) |x| < 1- ряд абсолютно сходится.
б) |x| >1 – ряд расходится.
в) |x| = 1: x=1		x = -1 для любого m отдельно.
Сумма ряда: в тех случаях, когда бином сходится, его сумма = f(х), для
которой он составлен.
(1 x)	m		m(m 1)(m 2)...(m n 1)	x	n	, x X .
			n!

Практическая часть:

1. Найти область сходимости степенного ряда.

	n 1			n	2	x	n
							.
		n				2
					n		1
n 1

Решение:

Радиус сходимости найдем по формуле

	n	n	2		1
R	lim
							n
	n			1
	1
				n

1
R						.
	n
		| a	n	|

. Предел знаменателяэто второй замечательный

предел, равный е. Найдем предел числителя. Для этого рассмотрим функцию

		1		ln( x	2	1)
	2
f (x) (x		1) x ,	ln f (x)				,
					x

Лопиталя)

	ln( x	2
lim
		x
x

1)

(по правилу

		1			2x
		x 2	1					2x					2
lim							lim					lim				0 .
			1						1					1
x							x x 2 (1			)		x x(1			)
									x 2					x 2

lim	n	2
n

1

Следовательно функция стремится к 1. Таким образом

1	Следовательно искомый предел равен 1/е.Таким образом

радиус сходимости

R

1 e

. Интервал сходимости

		1	;	1
				.
		e		e

Исследуем сходимость степенного ряда в концах интервала сходимости.

1. х=1/е. Подставим в ряд.

1

n

2

n 1

e

2

n

n

1

n 1

n

n 1

1

n

n

n

n

Пусть

сn

.

Покажем,

e

отличный от

нуля

предел

cn

при

n 1

1

ln cn

n 2 ln

ln en

n 2 ln 1

n .

n

n

разложением в ряд Маклорена.

	n 1			n	n
		n				1
		e				2	1
					n

что существует конечный,

n . Прологарифмируем Воспользуемся табличным

									x	2			x	3		x	4
				ln(1 x) x														...( 1	x 1).
									2				3			4
Подставим х=1/n Получим
ln(1	1	)	1		1		1		1			...Следовательно
					2n 2		3n3		4n 4
	n		n