Практикум по математическому анализу

Ответ: zнаим=z(0,0)=1.

zнаиб=z(0,1)=3.

3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x,y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

z=3-2x2-xy-y2, x 1, y 0,y x.

Решение Сделаем чертеж

2

1

0

1

2

Найдем стационарные точки функции, лежащие внутри области D.

		z	0
		x		4x y 0			x 0
		z			x 2y	0		y 0
			0
		y

Внутри области стационарных точек нет (найденная точка лежит на границе).

Исследуем значения функции на границе области.

8)Отрезок OВ. Его уравнение у=0, 0х1. Подставим у=0 в функцию z=3-2x2. z =-4x=0,x=0. Найдем значения функции при х=0,x=1.

z1=z(0)=z(O)=3. z2=z(1)=z(B)=1.

9). Отрезок AB. Его уравнение x=1, 0 y 1. Подставим x=1 в функцию z=1-y-y2. z =-1-2y=0,y=-½ [0,1]. Найдем значения функции при y=1 (при у=0 получается точка B, в которой значение уже посчитано). z3=z(1)=z(A)=-1.

10)Отрезок OА. Его уравнение у=x , 0х1. Подставим

z=3-2x2-x2-x2=3-4x2, z =-8x=0, x=0.При х=0 и х=1 получатся точки О и В, в которых значения посчитаны.

Среди найденных значений выберем наименьшее и наибольшее Ответ: zнаим=z(1,1)=-1, zнаиб=z(0,0)=3.

Задания для самосоятельного решения:

1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x,y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

z=x2+3y2+x-y, x 1, y -1,x+y 2.

2.Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x,y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

z=x2+xy, -1 x 1,0 y 2.

Производная функции по направлению

1.Производная функции по направлению.

2.Градиент скалярного поля, его свойства.

Теоретическая часть:

Скалярное поле. Производная функции по направлению Определение: Пусть (D) – область в 3-мерном пр-ве. Говорят, что в

области (D) задано скалярное поле, если каждой точке М (D) поставлено в соответствие некоторое число U(M).

Таким образом, задать скалярное поле – это значит задать скалярную функцию u=u(M), называемую функцией поля.

Если величина u=u(M) не зависит от времени t, то скалярное поле называется стационарным. Мы будем рассматривать только стационарные скалярные поля.

Примеры скалярных полей: поле температуры внутри нагретого тела, поле плотности массы, поле распределения потенциала в электрическом поле.

Если в пространстве ввести прямоугольную систему координат Оxyz, то задание точки М будет равносильно заданию ее координат x,y,z и тогда функция поля u(M) превращается в обычную функцию 3-х переменных u(x,y,z).

Значение функции в точке называется потенциалом поля в этой (). Скалярное поле изображается геометрически с помощью

эквипотенциальных поверхностей.

Определение: Эквипотенциальной поверхностью (поверхностями уровня) скалярного поля u=u(x,y,z) называется множество точек пространства, в которых потенциал поля имеет постоянные значения, т.е u(x,y,z)=c, где c=const.

Производная по направлению

Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения функции поля при переходе от одной точке к другой.

Пусть задано скалярное поле в области D, т.е задана функция u=u(M) в

области (D). Возьмем ( )М0 (D) и проведем из нее вектор Ī. Пусть ( )М лежит на векторе Ī на расстоянии от ( )М.

Определение: Если существует конечный

	lim	u(M ) u(M 0 )
	0

то он наз производной u(M) (или ф-ции u(M)) в точке М0 по направлению вектора Ī

Кратко:

u(M	)	lim	u(M ) u(M	)
0			0
l
		0

Производная по направлению есть скорость изменения ф-ции u(M) по

u(M 0 )

l

направлению Ī в точке М0.

Найдем формулу для вычисления производной по направлению.

Пусть в прямоугольной системе координат задана ф-ция u=u(x,y,z),

которая имеет непрерывные частные производные в ( )М0(x0,y0,z0), рассмотрим ( )М(x0+x,y0+y,z0+z), М0М= и пусть вектор Ī образует с

осями координат углы , , .

Тогда x= cos y= cos z= cos В силу непрерывности частных производных в ( )М0 функция u(M) дифференцируема в ( )М0 и ее приращение в этой точке можно представить в виде:

u u(M ) u(M							)	u(M	0	)	x	u(M	0	)	y	u(M		0	)	z		x				y				z
						0		x				y					z					1			2				3
где	,		,		0 при x 0, y 0, z 0 или														x		2	y	2	z			2	0
1		2		3

заменив x, y, z получим:

найдем:

u	u(M	)	cos	u(M	)	cos	u(M	)	cos ( 1	cos 2 cos 3	cos )
	0			0			0
	x			y			z
										0 при 0

lim

u

lim

u(M ) u(M

0

)

lim (

u(M

0

)

cos

u(M

0

)

cos

u(M

0

)

cos )

x

y

z

0

0

0

u(M

0

)

cos

u(M

0

)

cos

u(M

0

)

cos

x

y

z

u(M

0

)

u(M

0

)

cos

u(M

0

)

cos

u(M

0

)

cos

l

x

y

z

Градиент

Пусть задано скалярное поле u=u(M)=u(x,y,z).

Определение:

Градиентом скалярного поля

u=u(M)

в точке М0 наз

вектор с координатами

u(M

0 )

;

u(M 0 )

;

u(M 0 )

x

y

z

u(M 0 )

u(M 0 )

u(M 0 )

(grad u)M

0

i

j

k

x

y

z

Свойства градиента

Обозначим Ī 0=(cosα;cosβ;cosγ) единичный вектор направления Ī. Тогда:

1. Производная скалярного поля u(M) в точке М0 в данном направлении

u(M	0	)		u(M			0 )		cos	u(M	0 )	cos		u(M 0 )	cos ((grad u)M		* l		)
l					x					y				z		0		0
| (grad u)M					0	| * | l		0	| cos Пр(grad u)M				0

Отсюда следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда cos=1, т.е =0. Это наибольшее значение равно |(gradu) М0|.

(	u(M 0 )	)		| (grad u)M		|	( u )2	( u )2	( u )2
			наиб		0
	l						x	y	z

2 Таким образом, градиент |(gradu) М0| есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания скалярного поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания. В этом физический смысл градиента.

3. (gradu) М0 направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности, проходящей через точку М0.

Практическая часть:

1. Даны функция z=f(x,y), точка А(х0,у0) и вектор

а(а

х

1)gradz в точке А;

2)производную в точке А по направлению вектора

а

.

z=x2+xy+y2),

A(1,1),

а

(2,-1).

Решение

1) Градиент функции найдем по формуле

z

z

grad z

i

j.

x

y

Найдем частные производные

z

2x

y;

z

x 2y.

x

y

Вычислим их в точке А(1,1)

z

3;

z

3.

x 0

y

0

Таким образом

grad z 3 i 3 j.

, а	у

).

Найти:

2)Производную в точке А по направлению вектора а найдем по формуле

	z		z	cos	z	cos .
	a		x		y

Найдем направляющие косинусы

cos		a	x			2			2	;	cos		a y			1		1	.
							1									4 1
	a	2	a	2		4			5			a	2	a	2			5
		x		y									x		y

Таким образом

z	3		2	3		1		3		3	5	.
a			5			5		5			5

Ответ:

grad z 3 i 3 j.

z 35 .a 5

2. Даны функция z=f(x,y), точка А(х0,у0) и вектор					а(а			х
1)gradz в точке А;
2)производную в точке А по направлению вектора						а	.
z=2x2+3xy+y2, A(2,1),			а	(3,-4).
Решение
1) Градиент функции найдем по формуле
grad z	z	i	z	j.
	x		y

, а

у

).

Найти:

Найдем частные производные

	z	4x	3y;	z	3x	2y
	x			y

Вычислим их в точке А(2,1)

	z	4 2 3 1 11;		z	3 2 2 1 8.
x 0
				y	0
Таким образом
		grad z 11 i 8 j.

1)Производную в точке А по направлению вектора формуле

	z		z	cos	z	cos .
	a		x		y

Найдем направляющие косинусы

а

найдем по

cos	a	x			3		3	;	cos		a y				4		4
a				9	16		5			a		a			9 16		5
	2	a	2								2		2
	x		y								x		y

Таким образом

	z	11		3		8		4		1	.
	a			5				5		5
	Ответ:
	grad z 11 i 8 j.
		z				1	.
		a				5

3. Даны функция z=f(x,y), точка А(х0,у0) и вектор а (ах , а у ). Найти:

1)gradz в точке А;

2)производную в точке А по направлению вектора										а	.
z=ln(5x2+3y2),	A(1,1), а (3,2).
Решение
1) Градиент функции найдем по формуле
grad z		z				z
				i				j.
						y
		x

Найдем частные производные

z

10x

;

z

6y

x

2

3y

2

y

2

3y

2

5x

5x

Вычислим их в точке А(1,1)

	z			10			5			z			6		3
								;								.
	x 0			8 4						y		0	8		4
Таким образом
			grad z					5	i		3	j.
								4			4

2)Производную в точке А по направлению вектора формуле

	z		z cos	z cos .
	a
			x	y

а

найдем по

Найдем направляющие косинусы

cos	a	x		3		3	;	cos		a y				2			2
a				9 4		13			a		a			9	4		13
	2	a	2							2		2
	x		y							x		y

Таким образом

	z		5		3		3		2			21	.
	a		4		13		4		13		4	13

Ответ:

	grad z		5	i	3	j.
			4		4
	z			21	.
	a		4	13

4. Даны функция z=f(x,y), точка М0(х0,у0) и вектор градиент функции и производную по направлению

z=-5x2+xy+2y2-x+4y+1; M0(2; 1);

Решение 1) Градиент функции найдем по формуле

	grad z	z	i	z	j.
		x		y

s x i y j. Найти

вектора	а	в точке М0.

s i j .

Найдем частные производные

	z	10x	y 1;	z	x 4y	4
	x			y

Вычислим их в точке М0 (2,1)

		z				z
				20 1 1 20;				2 4 4 10.
		x		0		y		0

Таким образом

grad z 20i 10 j.

Производную в точке А по направлению вектора а найдем по формуле

	z		z	cos	z	cos .
	a		x		y

Найдем направляющие косинусы

cos	a	x			1		1	;	cos		a y			1		1
														1 1
a	2	a	2	2	2		2			a	2	a	2			2
	x		y	1	1						x		y

Таким образом

z

20

1

10

1

10

5

2.

a

2

2

2

Ответ: grad z 20 i 10 j.

Задания для самосоятельного решения:

1. Даны функция z=f(x,y), точка А(х0,у0) и вектор

а(а

х

, а

у

).

Найти:

1)gradz в точке А;

2)производную в точке А по направлению вектора

а

.

z=3x2y3+5xy2,

A(1,1),

а (2,1).

2.Даны функция z=f(x,y), точка А(х0,у0) и вектор

а(а

х

, а

у

).

Найти:

1)gradz в точке А;

2)производную в точке А по направлению вектора

а

.

z=3x4+2x2y2),

A(-1,2),

а (4,-3).

Неопределенный интеграл

1.Первообразная функции, неопределенный интеграл.

2.Свойства неопределенного интеграла, метод непосредственного интегрирования.

3.Метод подстановки.

Теоретическая часть:

Первообразная функции, неопределенный интеграл Определение: Первообразной функцией для данной функции f(x) на

данном промежутке называется такая функция F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx на рассматриваемом промежутке.

Теорема: Две различные первообразные одной и той же функции, определенной в некотором промежутке, отличаются друг от друга в этом промежутке на постоянное слагаемое.

Определение: Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) или от дифференциального выражения f(x)dx и обозначается символом

f(x)dx

.

При этом функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx называется подынтегральным выражением.

Основные свойства неопределенного интеграла

I. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

II. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

III. Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е. если постоянная А ≠ 0, то

Аf (x)dx A

f

(x)dx

.

IV. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций, т.е. если, например, функция f(x), g(x), h(x) непрерывны в интервале (a,b), то

f (x) g(x) h(x) dx f (x)dx g(x)dx h(x)dx

при х (a,b).

Зная формулы для производных основных элементарных функций, можно составить таблицу неопределенных интегралов (первообразных), которую мы дополним еще несколькими часто встречающимися интегралами.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

Таблица основных интегралов (ТОИ)

1 dx

dx

x

C

а

х

а 1

dx

х

dx

С

, а

-1

х С

а 1

2

х

dx

ln

|x|+C

х

а

х

х

а

dx

С

е

dx e

х

С

х

ln a

cos xdx sin x C

(т.к. (sin+C)'=соsx)

sin dx cos x C

sin axdx

cos ax

С

а

1

dx

dx

tgx C

соs

2

cos

2

х

х

1

dx

dx

сtgх С

sin 2 х

sin 2

х

9.

	dx	arcsin x C
	1
		х
		2

10.

dx	arcsin x C
1 х
2

11.
12.
13.
14.

	dx		arcsin	х		С
a		х		а
	2		2
dx			ln х	х	2	а С, а R
х	2	а

dx

1

arctg

х

С

а

2

х

2

а

а

dx

ln tg

х

С

sin x

2

Методы непосредственного интегрирования и подстановки

Метод интегрирования с помощью этой таблицы и свойств неопределенных интегралов обычно называют методом «непосредственного» интегрирования.

Одним из самых сильных методов интегрирования является метод подстановки. В его основе лежит легко проверяемая формула:

g( (x)) (x) t (x)																		g(t)dt G(t) C G( (x)) C
												dt (x)dx
		Эту формулу надо применять тогда, когда первообразная для g(t)
известна или легко находится.
Практическая часть:
1. Найдите неопределенные интегралы.
												а) (2x5						3
																					x 3)dx
																		Решение:
																	1							5 1	1	3	1
			5				3						5										x		x
(2x								x 3)dx 2 x						dx x				3	dx		3 dx 2							3x C
																							5	1	1	1
																									3
x	6			3			4
3				4		x		3 3x C.
									5		3				x	6		3x		3	x
Ответ:								(2x				x 3)dx										3x C.
															3				4

b) ln 6 x dx x

Решение:

Применим замену переменной.