Практикум по математическому анализу

ln

6

x

ln x t

7

7

t

ln

x

dx dx

t

6

dt

C

C.

x

dt

7

7

x

		ln	6	x			7
					dx	ln		x
Ответ:
						7
			x

с)

Выделим в подкоренном

C.

x1

x 2 4x 8 dx

Решение:

выражении полный квадрат.

				x 1						dx								x 1
	x		2	4x 8											( x		2 )				2
x 2 t										t 3										tdt
dx dt														dt
										t	2	4							t	2
x t 2
												t	2		4		z
							tdt															1
1)	I	1										2tdt dz
						t	2		4													2
												tdt				1		dz
																2
2)	I2								dt			ln( t							t	2
								2
							t			4

Таким образом

		dx							x 1						dx
4 8							( x 2 )				2		4
	3				dt				I1	3I2 .
4			t		2	4
													1
	dz		1	z			1	2	dz	1			z	2		z	t	2	4 .
	z		2							2			1	2
4 ).

			x 1
						t 2 4 3ln( t		t 2 4 ) C
					dx
		x 2
			4x 8

( x 2 )2 4 3ln( x 2 ( x 2 )2 4 ) C

x2 4 x 8 3ln( x 2 x2 4 x 8 ) C.

2

x 1

2

2

Ответ:

dx

x

4 x

8 3ln( x 2

x

4x 8 ) C.

x

4x 8

2. Найдите неопределенные интегралы.

3x 2 5х 2

dx

а)

3

2

x

Решение:

							2	3				2																									2			2						2															2																			4											1								2
		(3x																2)
											5x												dx												3x											5x															2						dx 3											x			3 dx 5								x				3 dx 2				x			3 dx
										x																								x						3				x					3									x				3
		x	4		3		1									x		1		3			1											x	2				3		1													9x							7	3										4			3										1
3													5															2															C																										15x									6x
		4														1																			2						1														7																	4														3 C
			3					1										3								1											3
		3		х			36х						2			105х 168 С.
		28
															(3x					2					5x								2)						dx							3			х					36х									2			105х 168 С.
Ответ:
																							3						2																	28
																											x
																																																													х		2
																																																																					dx
																																														b)										1 х								3
																																																										Решение:
Применим замену переменной.
																			1 x										3			t
							2
				х					3																		2																1						dt												1																			1										3
											dx									3x								dx					dt																														ln					| t |				C											ln			| 1 х						| C.
		1																																									3								t										3																			3
							х																	2										1
																					x						dx									dt
																																		3
																х		2				3												1														3
Ответ:																											dx									ln				| 1 х											|		C.
														1																				3
																			х
																																																								3x 4																		dx
																																								с)
																																																					2
																																																		x									6x 10
																																																										Решение:
Выделим в подкоренном выражении полный квадрат.
							3x 4																			dx																	3x 4																							dx															3x 4										dx
				x 2				6x 10																													(x 3)2													9 10																													(x 3)2								1
	x 3 t																		3t 13																											tdt																									dt
	dx dt																															dt 3																										13																					3I							13I					.
																																																																																					1				2
																						t 2 1																								t 2 1																									t 2 1
	x t 3
																													t 2 1 z																																											1														1
1) I1																tdt																														1						dz											1			z															1					z 2
																																																																																												z t 2
																										2tdt dz																																														2 dz																								1.
																																														2																	2																			2				1
															t 2			1																																					z
																													tdt							1		dz																																																2
																																				2
2) I2																			dt
																														ln( t														t 2 1).
																			2
																	t						1

Таким образом

		2		4
		3x			dx 3	t	2	1	13ln( t	t	2	1)	C
	x		6x 10

3(x 3)2 1 13ln( x 3 (x 3)2 1) C

3x 2 6x 10 13ln( x 3 x 2 6x 10) C.

Ответ:

		2		4
		3x			dx 3
	x		6x 10
							1
					d)

x	2	6x	10	13ln( x 3	x	2	6x	10) C.

x	3	5х	3	х
		х			dx

Решение:

		(1 x					3				5x					3			х )										1			x		3						5x		4		3
																					dx																													dx							1		2		dx					5	dx 5			5	6	dx
																														1			1								1														x										x	2			x
												х
																											x				2	x			2					x			2
	x		1			1							x		5				1					x	5			1										1				2x					7				30x			11
				2													2				5					6				C		2x																2								6		C
																																							2
1						1							5	2				1					5				1																		7						11
			2																					6
2					х						2		х	3					х			30		х		6		х	5		С.
											7											11
												(1 x								3		5x		3		х )														2											30
Ответ:																													dx 2						х						х			3				х					х			6		х		5		С.
																					х																			7											11
																																		arctg							5		x
																																															dx
																															e)				1 x							2
																																					Решение:
Применим замену переменной.
		arctg						5			x										arctgx t																							t		6									arctg							6	x
																															t
													dx									dx														5		dt											C															C.
									2
			1 x																		1	x			2			dt																	6														6

Ответ:

arctg

5

x

arctg

6

x

dx

C.

1

x

2

6

k)

3x 2

dx

x 2

4x 3

Решение: Преобразуем знаменатель, выделив полный квадрат.

x 2 4x 3 x 2 2 2 x 22 22 3 x 2 2 1

3x 2

3x 2

x 2 t

dx

dx dx dt

x

2

4x

3

2

1

x 2

x t 2

3t 8

dt 3

tdt

8

dt

3I

8I

.

1

2

t 2 1

t 2 1

t 2 1

t

2

1 z

I1

tdt

2tdt dz

1

dz

1

ln | z |

t

2

2

z

2

1)

1

1

tdt

dz

2

1 ln | x 2 4x 3 | . 2

2)	I2				dt					dt			1	ln	1 t			1	ln
				t	2	1			2	t	2		2 1		1	t		2
									1

1	ln | t	2	1 |	1	ln x 2	2	1
2				2

	1 t		1	ln	1 x 2)			1	ln	3 x	.
	1 t		2		1	x 2)		2		x 1

Таким образом

3x 2

dx

3

ln

| x

2

4x 3 | 4 ln

3 x

C.

x

2

4x 3

2

x 1

Ответ:

3x 2

dx

3

ln

| x

2

4x

3 | 4 ln

3 x

C.

2

x 1

x

4x

3

2

3. Найти неопределенные интегралы.

3

3

x

2

2x

а)

dx

x

б)

sin x

dx

3

cos

x

c)

cos2 2x sin 2 2xdx

Задания для самосоятельного решения:

Найти неопределенные интегралы.

		x	3
а)

г) 4x3

3x	4	2
			dx
x

x 4 dx

x2

б)			ln x		dx в) cos5 x sin 2 xdx
			x
д)	ecos x sin xdx е) cos4 x sin 2 xdx

Основные методы интегрирования

1.Метод интегрирования «по частям».

2.Интегрирование рациональных дробей

Теоретическая часть:

Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям основан на применении следующей формулы:

udv uv vdu,

где u(x),v(x)- непрерывно дифференцируемы на промежутке Х. Эта формула обычно бывает, полезна при интегрировании функций вида:

(ax b)	k		sin x
(ax b)	k		cos x
(ax b)	k		ln x
(ax b)		k x
			e

(u=(ax+b)k) (u=(ax+b)k) (u=lnx)

(u=(ax+b)k)

x	k	arctgx

(u=arctgx)

x	k	arcsin x

(u=arcsinx)

P	(x)
n
Q		(x)
m

,

где

Способы интегрирования дробей вида

P	(x) - многочлен n-ой степени от х,	Q (
n		m

P	(x)
n			,
Q		(x)
m

x) - многочлен m-

ой степени от х.

1.n≥m. В этом случае дробь называется неправильной. Разделив числитель на знаменатель, выделим целую часть (многочлен степени n- m- Rn-m(x)), получим:

P

(x)

*

k (x)

R

(x)

P

P

*

(

n

,

где k<m

k

Q

(x)

n m

Q

(x)

Q

(

m

m

m

2. n<m- имеем правильную дробь.

интегрировании «простых» дробей, их четыре

	x)	- правильная дробь.
	x)

Остановимся сначала на типа.

	.	А	.
		х
			а

.	А		, k=2,3,…	.
	(х а)	k

.	Mx N	.		Mx N	,
	x2 px q	V .	(x2	px q)m		m=2,3,….

При этом x2 px q не имеет действительных корней,

4q<0.

	А	dx A		dx	d (x a) 1	dx A		d (x a)
.	х			x a				x a
		а

ТОИ)= Aln x a C.

.	А	dx A	dx	A (x a) k d (x a)
	(х а)k		(x a)k

т.е. D=p2-

(формула 3

		(x a)	k 1		C	A				C.
= (формула 2 ТОИ) =	A
		k							k 1
			1		(1 k)(x a)
. Для интегрирования дробей третьего типа поступаем
следующим образом (покажем на примере).
		J=			3х 1	dx
			х	2	4х 9
а) находим производную от				знаменателя: (х			2				2х 4 и
								4х 9)

числитель представляем так:

3х+1=

	3	2х 1		3	(2х 4	4)	1	3	(2х 4)	6 1	3	(2х 4)	5.
	2			2				2			2

								3		(2х 4) 5
								2
J=											2	4х									dx					(по свойству 3 получаем)=
									х									9
3							(2х 4)dx											5										dx								3			J1 5J				2 .
2							х		2	4х 9													х		2	4х 9										2
		В первом интеграле делаем подстановку:
t=			х				2		4х 9 dt (2x 4)dx,																									которая приводит его к виду:
3							dt					3	ln t				C (формула 3 ТОИ)=																										3	ln x			2		4x 9 C.
2								t				2																															2
		Во втором интеграле выделяем полный квадрат в знаменателе
дроби:				х				2	4х 9								=		х		2	2 2х 2									2		2				2			9 (x 2)								2	5		и делаем
подстановку
t=x+2										dt=dx. Получаем:
										dx															dx									t x 2												dt				(формула 13 ТОИ)=
					2																						2							dt dx											2
		х						4х 9												(х 2)									5															t				5
1							arctg						1				C								1			arctg				x					2			C.
			5										5													5										5
																																				3					2		4x 9)										x 2			C.
Окончательный результат: J=																																						ln( x													5arctg
																																				2
																																																					5

V. Дроби четвертого типа интегрируются в той же последовательности, что и дроби третьего типа, кроме того, применяется рекуррентная формула:

J

1

x

2n 1

J

,

dx

n 1

2

2

a

2

n

2

n

где обозначено

J

n

(x2

a2 )n

.

2na

(x

)

2na

Зная, что

J

dx

1

arctg

x

C,

находим:

1

x2 a2

a

a

J

1

x

1

1

arctg

x

x

1

arctg

x

C.

2

2

2

a

2

2

C

2

2

a

2

3

2a

x

2a

a

a

2a

(x

)

2a

a

По этой же формуле при n=2 находим:

J				1						x								3			1				x			1		arctg	x
	3				2				2	a			2		2				2			2		2	a	2			3			C
			4a					(x						)			4a				2a		x					2a			a
		1						x								3					x
			2				2	a		2		2					4			2	a	2
		4a		(x							)					8a		x

	3		arctg	x
	8a	5		a

C

и т.д.

Таким образом, можно вычислить Jn для любого натурального n.

2. Пусть теперь

P(x)

Q(x)

- правильная дробь. Не теряя общности,

можно считать, что старший коэффициент Q(x) равен 1 (иначе его можно вынести за скобки и за знак интеграла).

Тогда Q(x)= x a k ... (x b)l (x2 px q)m ... (x2 rx s)n , (1) где а,.., b - действительные корни многочлена, а квадратные трехчлены не имеют действительных корней.

Теорема: Если знаменатель дроби Q(x) имеет разложение (1), то дробь разлагается на сумму простых дробей:

P (x)			A1
Q (x)			(x a)k
	M1x N1
	(x2	px q)m

	A2	...
	(x a)k 1

... M m x Nm

x2 px q

Ak

B1

B2

Bl

...

...

...

x a

(x b)l

(x b)l 1

x b

i

E1x F1

...

En x Fn

, где А , А ,..., Е , Е

(x2 rx s)n

x2 rx s

1 2

1

n

Практическая часть:

1. Найдите интеграл:

a)

	xcos	2	xdx
		3

Решение: Применим формулу интегрирования по частям.

														udv uv vdu.
									u x;			dv cos			2	xdx;
			2										3
xcos					xdx																			2
																							sin			x
	3																2											3		2
									du dx; v cos															3
																			xdx										sin		x.
																	3						2	3				2		3
	3	x sin			2	x	3		sin	2	xdx		3	x sin				2		x	9	cos		2	x C.
	2				3		2		3				2				3				4			3

Ответ: xcos 23 xdx 32 x sin 23 x 94 cos 23 x C.

b)

Разложим подынтегральную

	7x 2
		2	dx
	(x -1)(x		4)

Решение:

дробь на простейшие дроби.

7 x		x	2	4		x 1
	2
				A		Bx C
	2			x 1			2
( x 1 )( x		4 )				x		4

Приравнивая числители, получим

7x-2=A(x2+4)+(x-1)(Bx+C), приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.

x	2
x
1

A B 0B C 7 4 A C 2

. Складывая все уравнения, получим 5А=5; А=1; В=-

А=-1; С=4А+2=6.

Следовательно													7 x 2														1					x 6										.
											( x 1 )( x					2									x 7									2
																		4 )															x				4
			7 x 2									dx			dx										xdx					6									dx						I1 I2 6 I3 .
	( x 1 )( x						2		4 )					x									x		2													x	2
																		1									4															4
																			c)				xsin						4		xdx
																													5
																								Решение:
Применим формулу интегрирования по частям.
																			udv uv vdu.
										u x; dv sin										4		xdx;
xsin			4																	5
					xdx																																				4
																																				cos							x
				5
										du dx; v sin													4																	5							5			4
																										xdx																						cos			x.
																								5														4		5							4			5
		5	x cos					4		x		5	cos		4		xdx										5	x cos						4				x						25		sin	4		x C.
		4						5				4			5												4							5										16			5
Ответ:						xsin				4	xdx				5		х cos						4		x					25			sin					4				x		C.
										5					4								5							16								5
																	d)				4х 2						3х 3
																																				dx
																									x 3					х

Решение: Разложим знаменатель на множители

х3-х=х(х-1)(х+1)

Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби.

x

2

1

x

2

х

x

2

х

4х

2

3х 3

A

В

C

х(x 1)(x 1)

x

x 1

1

x

Приравнивая числители, получим

4х2+3х-3=A(x2-1)+В(x2+х)+C(х2-х), приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.

x	2
x
1

A B С B C 3A 3

4

.

Отсюда А=3, В=2, С=-1

												4х	2		3х 3									3					2					1
Следовательно
												х(x 1)(x 1)												x					x 1				x 1
	4х		2	3х 3											dx						dx								dx
																	2															3ln | x					| 2 ln | x 1 | ln | x 1 | C.
	х(x 1)(x 1)									dx 3					x					x		1						x		1
						4х		2	3х 3
Ответ:														dx 3ln						| x			| 2 ln						| x 1 |				ln		| x 1 | C.
					х(x 1)(x 1)
																					xcos							5	xdx
																	e)											4
																						Решение:
Применим формулу интегрирования по частям.
																				udv				uv								vdu.
										u x;					dv cos							5	xdx;
																						4
				5
xcos					xdx																												5
																														sin				x
				4						du dx; v cos													5										4				4		5
																									xdx													sin		x.
																							4									5					5		4
																																	4
	4	x sin			5		x			4		sin		5		xdx				4		x sin					5		x			16	cos			5	x	C.
	5				4					5				4						5							4					25				4
Ответ:				xcos					5		xdx				4	х sin			5		x			16			cos			5	x C.
									4					5				4						25						4

х2 dx

f)(x 2 1)(x 1)

Решение:

Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби.

x 2 2х 1

x 2 1

x 1

x

2

x

2

A

B

С

Приравнивая

(x 2 1)(x 1)

(x 1)(x 1)2

x 1

x 1

(x 1)2

числители, получим

x2=A(x2+2х+1)+В(x2-1)+C(х-1), приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.

x	2
x
1

A B 1 2А C 0 A В C 0

. Складывая все уравнения, получим 4А=1; А=1/4; В=1-

А=3/4; С=А-В=-1/2.

																		x	2						1/ 4			3 / 4				1/ 2
			Следовательно																																	.
															2																				2
														(x			1)(x 1)								x 1			x 1				(х	1)
			x	2	dx						1		dx		3			dx				1			dx				1					3			1
																														ln	| x 1 |					ln | x 1 |			С.
	(x	2	1)(x								4		x		4			x		1		2		(x 1)		2			4					4			2(x	1)
							1)							1
									x	2	dx				1									3								1
Ответ:																ln | x				1 |					ln | x 1 |								С
								2
						(x			1)(x				1)		4									4						2(x 1)

Найдите интеграл

1)
2)

	ln	xdx		1	ln xdx;
				2
		2x 22				dx
	(x 2)(x		2	2x 10)

Задания для самосоятельного решения:

а)	arctgxdx	б)			2x 2 3x 13				dx
					2)(x	2	2x	5)
				(x
г)		4	xdx
	(x 1)sin	5

в)

			2
	3x		7	dx
	(x 4)(x			4)

Определенный интеграл. Интегрирование непрерывных функций

1.Формула Ньютона - Лейбница.

2.Непосредственное вычисление определенного интеграла.

3.Вычисление определенного интеграла методом подстановки.

4.Вычисление определенного интеграла методом «по частям».