Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

292	ГЛ. VII. ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

сумма равна

но dLjdXi = triiXi, и поэтому первый интеграл (69) имеет вид

N
ф = ^ тА = 0.x = const.	(81)

Равенство (81) есть не что иное, как закон сохранения количества движения в проекции на ось х.

Совершенно аналогично, используя преобразования типа (80) для сдвига не вдоль оси х, а вдоль осей у я г, устанавливаем сохранение проекций количества движения на оси у и z соответственно. Таким образом, закон сохранения количества движения при движении замкнутой системы в потенциальном поле полностью доказан.

З а к о н с о х р а н е н и я		к и н е т и ч е с к о г о момента дл я
з а м к н у т о й	системы. Вновь рассмотрим замкнутую систему,
движущуюся	в потенциальном поле, которое получается в резуль-
тате взаимодействия точек		системы. Как и ранее, в качестве

обобщенных координат примем декартовы координаты точек и рассмотрим преобразование поворота системы координат вокруг, например, оси г:

х*—Xicosос + yi sin а,
у*—— X(Sina-f-f/(<:osa,		(82)
zf = z (i = \, 2 , . . . ,	N),	t* = t.

Непосредственно видно, что преобразование (82) удовлетворяет условию 1°, т. е. при а = 0 превращается в тождественное преобразование. Легко проверить, что оноудовлетворяет и условию 2°, т. е. что система уравнений (82) разрешима относительно «старых» координат, ибо определитель этой системы равен cos2a-f- sin2 a =

= 1=^0. При повороте		системы координат взаимное расположе-
ние и расстояние между		точками системы не меняются, и следо-
вательно, не меняется	потенциальное поле, а значит, не меняется
и L. Таким образом,	в силу теоремы Нётер и в этом случае

имеет место первый интеграл (69). В случае преобразования (82) для координат xt всех точек системы имеет место соотношение

f]»-о = [~Х' 5[па +У' c o s a ]«-o = У1-

Аналогично для всех координат yt

§ 7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

293

С другой стороны, dLjdxi = ml}ci и dL/di/г = т(г/г и поэтому в данном случае

Ф = V (tniXiyt — lUiyiXi) = Кг = COnst,

т.е. проекция кинетического момента на ось z сохраняется. Совершенно аналогично, рассматривая поворот системы коор-

динат вокруг осей х и у, устанавливаем сохранение во время движения проекций кинетического момента на оси х и у соответственно, т. е. полностью доказываем закон сохранения кинетического момента для замкнутой системы, движущейся в потенциальном поле.

Таким образом, для случая движения в потенциальных полях мы получили из теоремы Нётер все законы сохранения, которые были рассмотрены выше. Теорема Нётер вскрыла природу их возникновения, связанную с инвариантностью уравнений движения при различных преобразованиях координат и времени. Закон сохранения энергии является следствием инвариантности уравнений консервативной системы при сдвиге вдоль оси времени, закон

сохранения	количества движения — результат	инвариантности
уравнений	замкнутой системы по отношению к	сдвигам вдоль

осей координат, а закон сохранения кинетического момента — результат инвариантности уравнений замкнутой системы по отношению к поворотам вокруг осей координат.

Теорема Нётер может быть использована и в тех частных случаях, когда удается найти иные преобразования, сохраняющие лагранжиан.

§7. Интегральные инварианты

В§ 5 были рассмотрены некоторые общие свойства прямого пути, отличающие его от прочих путей. В развитии такого подхода в этом параграфе будут рассматриваться некоторые общие свойства множества прямых путей. Все прямые пути этого множества принадлежат одной и той же динамической системе и отличаются один от другого выбором начальных данных.

Интегральным инвариантом называется интегральное выражение, зависящее от координат и импульсов и сохраняющееся неизменным на некоторым образом выделенных множествах прямых путей. Различные интегральные инварианты отличаются один от другого тем, какие множества прямых путей рассматриваются и как формулируются интегральные свойства, неизменные на этих множествах. Из интегральных инвариантов классической механики в этом параграфе будут рассмотрены лишь три: интегральный инвариант Пуанкаре —Картана, универсальный интегральный инвариант Пуанкаре и инвариант «фазовый объем».

294ГЛ VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

1.Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана. Рассмотрим динамическую систему, движущуюся в потенциальном поле и

имеющую гамильтониан Н. В (2п -'г1)-мерном расширенном фазовом пространстве q, р, t этой системы выберем произвольный замкнутый несамопересекающийся контур С„ и выберем какуюлибо точку на этом контуре, скажем, точку А. Эта точка пол-

ностью	определяет	систему	гамильтоновых	переменных t^, qA,	рл
и может быть принята за начальную. Тогда при заданной функ-
ции Н	движение	определяется однозначно и, следсвательно,
однозначно определяется			соответствующий	прямой путь в	рас-

сматриваемом расширенном фазовом пространстве. Теперь возьмем

за начальную точку другую точку контура Со и тоже «выпустим» из нее прямой путь. Выполнив это построение для всех точек контура Со, получим множество прямых путей. Это множество образует трубку, составленную из прямых путей (рис. VII.6), короче гово-

>

.—1*-

ря, трубку прямых путей.

/

Р

Введем

теперь

параметр а

таким

образом, чтобы выбором

Рис. VII.6.

этого

параметра

однозначно

определялась точка контура Со,

а значит, и один из прямых

путей, образующих трубку. Распо-

рядимся

выбором параметра а

так, чтобы при обходе контура Со

он менялся от 0 до 1, 0=s^a«Sl. Можно, например, длину кон-

тура Со

положить

равной

единице, выбрать

какую-либо

точку

контура

за исходную

и в качестве параметра а взять длину дуги

контура от исходной

точки

до рассматриваемой. Ясно, что при

этом значениям а = 0

и а = 1

ссответствует

одна и та же

точка

контура

Со

и, следовательно,

один и тот же

выпущенный из этой

точки прямой путь.

Помимо

расширенного

фазового пространства

введем

в рас-

смотрение для этой же

системы (я + 1)-мерное расширенное коор-

динатное

пространство

q, t.

Так как задание

любой точки в рас-

ширенном

фазовом

пространстве

определяет, в частности, q и t,

каждой

точке расширенного фазового пространства

соответствует

точка в расширенном координатном пространстве. Разумеется, это преобразование не взаимно однозначно — различным точкам расширенного фазового пространства, которые отличаются лишь значениями импульсов р, будет соответствовать одна и та же точка расширенного координатного пространства.

Итак, контур Со и построенная выше трубка прямых путей отображаются из расширенного фазового пространства в расши-

§ 7 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

295

ренное координатное пространство неоднозначно. В связи с неоднозначностью этого отображения прямые пути в расширенном координатном пространстве могут пересекаться (рис. VI 1.7), однако для нас это обстоятельство несущественно; важно лишь то, что каждое значение параметра а й в расширенном координатном пространстве определяет совершенно конкретную точку отображенного контура Со и совершенно конкретный прямой путь, проходящий через эту точку.

Вернемся к расширенному фа-
зовому	пространству и проведем
на трубке прямых		путей	какой-
либо произвольный контур С1 ;
охватывающий эту		трубку (рис.
VI 1.6).	Построенный	так	контур
перенесем в расширенное коорди-				Рис. VII 7.
натное	пространство	(рис. VI 1.7).

В результате в расширенном координатном пространстве получится однопараметрическое семейство кривых, начала которых лежат на кривой Со, а концы на кривой С\, причем значениям параметра а = О и а = 1 будут заведомо соответствовать одни и те же кривые этого семейства (рис. VI 1.7).

Для построенного таким образом семейства можно рассмотреть действие по Гамильтону и вариацию действия. Для вариации действия по Гамильтону воспользуемся формулой (60). Особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что все кривые однопараметрического семейства являются прямыми путями и, следовательно, на них тождественно выполняются уравнения Лагранжа. Поэтому интеграл, стоящий в правой части формулы (60), в данном случае тождественно обращается в нуль, и формулы для приращения функционала содержат только проинтегрированную часть:

67	=			(83)
Проинтегрируем левую и правую		части равенства (83)		по а от
а = 0 до а = 1:
	а = 1	а =1		(84)
а, — 0	а = 0	а=0	М-НЩ

Но

296	ГЛ. VII. ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

поскольку значениям а = 0 и а = 1, как уже было указано, соответствует одна и та же кривая семейства, а значит, одно и то же значение функционала /. Интегралы в правой части равенства (84) представляют собой контурные интегралы по контурам Со и Сх соответственно. Поэтому равенства (84) можно переписать так:

С,

Вспомним теперь, что исходный контур Со и контур на трубке прямых путей С1 были выбраны совершенно произвольно. Отсюда сразу получаем, что контурный интеграл

(85)

взятый по любому контуру С, охватывающему трубку прямых путей, не зависит от выбора этого контура.

Интеграл (85) называют интегральным инвариантом Пуанкаре — Картана.

Обратим теперь внимание на следующую особенность интегрального инварианта Пуанкаре —Картана. Если вдифференциаль-

ных	уравнениях движения —все		равно в	уравнениях	Лагранжа
или	Гамильтона —время t было		выделено	и входило	иначе, чем
координаты, так как по времени			велось	дифференцирование, то
в контурный интеграл		(85) дифференциал At входит			совершенно
так	же, как дифференциалы dqj.		Если бы мы рассматривали время
как дополнительную координату qn+1, а				в качестве	импульса,
соответствующего этой		координате, взяли		гамильтониан с обрат-
ным	знакомх), то контурный интеграл (85) можно было бы пере-
писать так:

Ф	2 P/d<7/=const.
с	/=i
Итак, положим
	qn; ръ	рп;

и разрешим второе из этих равенств относительно какого-либо импульса, например рг:

Р\ — — Л ( < 7 l >

• • • >

^ я + l i P i t • • • >

Pn+V-

х) Для консервативных систем, когда гамильтониан совпадает с полной энергией, это означало бы, что в качестве «импульса, соответствующего координате U, берется полная энергия с обратным знаком.

§ 7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

2 9 7

Тогда интегральный инвариант (85) может быть представлен в форме

•] Pi dqf — К dqA = comi,

которая внешне совпадает с формой интегрального инварианта Пуанкаре — Картана (85), только здесь выбранная координата qx и время «поменялись местами». Роль гамильтониана в этом случае играет функция К. Таким образом, и в пределах классической механики можно устранить исключительность времени и записать уравнения движения так, что роль времени играет любая из координат. Это представление уравнения движения оказывается иногда удобным (например, для консервативных систем) и будет использовано в последнем параграфе этой главы.

2. Универсальный			ин-	Рис. VI1.8.
тегральный		инвариант
Пуанкаре. Рассмотрим те-
перь	интегральный		инвариант	Пуанкаре — Картана		(85),
взяв в качестве		контуров, охватывающих трубку			прямых	путей,
только	«одновременные» контуры,			т. е. контуры,	которые	полу-

чаются сечением этой трубки гиперплоскостями £=const (рис. VI 1.8).

Чтобы отличить		«одновременные»		контуры от контуров, произ-
вольно проведенных на трубке прямых					путей, будем	обозначать
их через С.	Для	всех точек такого контура t имеет одно и то же
значение и,	следовательно,		для	таких	контуров дифференциал
времени dt	равен	нулю. В	силу	этого	интегральный	инвариант

Пуанкаре—Картана, рассматриваемый только на «одновременных» контурах, имеет вид

$i>/ty

(86)

Особенность интегрального инварианта, взятого в такой форме, состоит в том, что в подынтегральное выражение уже не входит гамильтониан, и следовательно, этот интегральный инвариант оказывается одинаковым для всех динамических систем, движущихся в произвольных потенциальных полях. Последнее утверждение имеет следующий смысл. Рассмотрим какой-либо контур, лежащий

298	Г Л	vil ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ
в плоскости		?= const	(рис. VII.9), и «выпустим» из этого		контура
трхбку	прямых путей		некоторой	системы с гамильтонианом Hv
Введем теперь в рассмотрение какую-либо другую динамическую
систему	с гамильтонианом Я2 и «выпустим» из этого же контура
;	.1 i	»		трубку прямых	путей
'.	1\\	\н	У*	э т о и системы. Разумеет-

/ \1 W X.

~~ZZ7*~~?

7 ся> эт о ^УДУТ

Р а з н ы е >

/

Н—V \>ч У^~/_~~7^'/ несовпадающие

трубки

/

Г\ \ \^\^~^5%s*^/

прямых путей, хотя и

4

I \ \^5<£^?*^5^н,

«выпускаются» они из

Ы*" к^.r\~j£

~7

одного и того

же кон-

— '

г^

/

тура.

Выберем

теперь

£j

/

произвольный

момент

'

^з,

времени

t = tL и прове-

дем плоскость t1 = const,

пересекающую

эти две

Рис. VII.9

трубки прямых путей; в

сечениях получатся два

охватывающих

этитрубки

«одновременных»

контура. Контурный

интеграл (86), взятый по этим

различным контурам, будет оди-

наков и будет в точности

равен

контурному

интегралу,

взятому

по начальному

контуру;

это утверждение

остается в силе для

любой

плоскости t = const.

В

этом смысле контурный интеграл (86) является универсаль-

ным, не зависящим от того, каково потенциальное поле, в кото-

ром

движется

система1), и поэтому

называется универсальным

интегральным инвариантом Пуанкаре2).

3.

Обратные теоремы

теории

интегральных инвариантов. Для

интегральных инвариантов Пуанкаре и Пуанкаре — Картана верно

обратное утверждение.

Т е о р е м а .

Если

контурный

интеграл

(86) не

зависит от

выбора контура

С, охватывающего при t = const

трубку

решений

системы уравнений

4/*=Qj(q, p,t),

Pj = Pj(q,p,t)

(j = l,

...,n),

(87)

J) Благодаря

тому, что гамильтониан Н вообще

не входит в выражение

для инварианта

Пуанкаре,

этот инвариант

не зависит от Н, какова бы ни

была

эта функция от q, p и /. В частности, она может не удовлетворять

условию

«Jet

д'Н

"

ФО

dpjdpk

/ , A = I

гарантирующему возможность перехода отгамильтоновых переменных к лагран-

жевым.

2) Пуанкаре установил интегральный инвариант именно в такой универсальной форме, и лишь затем Картан, рассмотрев контуры, нерасположенные в плоскости / = const, добавил член, содержащий гамильтониан. Поэтому интегральный инвариант (85) и носит название инварианта Пуанкаре —Картана.

§ 7 ИНТЕГР\ЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ		294
то эта система гамильтонова, т. е. существует		такая функция
Я* (q, р, t),что
Если, кроме того, существует такая	функцияF(q, p, t),что
на трубке решенийсистемы (87) контурный интеграл
$(y]pj dqj— F (q, p,	t) dt)
с	'

имеет одно и то же значение при произвольном выборе контура С, охватывающего трубку, то гамильтониан Н* системы (87) равен H* = F(q, p, t)-\-f(t), где f(t) = dty(l)/dt, a ty (t)— произвольная функция t.

Доказательство. В силу	условий теоремы dJjdt = 0, т. е.
(dp,	d8

Взяв интеграл от р, (dbq}ldt) по частям и опустив равные нулю (интеграл берется по замкнутому контуру1) проинтегрированные члены, получим

) =§ 2

В силу произвольности контура С это равенство возможно только в том случае, когда подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции, которую мы обозначим через — H*(q, p, t). Тогда

или

п дН* п	дН* ,. ,	.
^ = Ф 7 -	р> = —щ;	(/= 1« •••• ")•

Первое утверждение теоремы доказано — система (87) гамильтонова Но тогда длянее имеет место интегральный инвариант Пуанкаре — Картана

<*\ ( 2 PJ dclj ~ H* dt) =c o n s t -

(8 9 )

с

Пусть теперь для уравнений (87) выполнено второе условие теоремы, т. е. при произвольном выборе контура С, охватывающего трубку ее решений, имеет место равенство

Pi dfy—Fdt^} = const.

300	ГЛ VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

Последние два равенства верны для любых контуров С, охватывающих трубку решений системы (87), в частности для контуров С, лежащих в плоскости t = const; поэтому

-Я* d*)=§

с

с

£

Вычитая первое равенство из второго, получаем

Это равенство возможно только тогда, когда подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции

Из этого равенства следует, что
	O,	d\p/dpf	= O,	/ = 1	я,
т. е. что	функция г|э не	зависит	от q и р, а зависит только			от t,
и что
Теорема	доказана полностью.
В силу этой теоремы интегральный				инвариант Пуанкаре —
Картана	(так же, как и принцип Гамильтона) может быть					поло-

жен в основу механики. Действительно, если бы мы в качестве исходного постулата приняли существование интегрального инварианта Пуанкаре — Картана, то отсюда сразу следовало бы, что движение описывается уравнениями Гамильтона, а при условии

— и уравнениями Лагранжа.

4. Инвариантность фазового объема. Теорема Лиувилля. Выберем в фазовом пространстве q, p произвольную замкнутую область So и рассмотрим какую-либо точку А этой области. Выбор точки фазового пространства предопределяет значения всех обобщенных

координат		и импульсов,		и поэтому можно	предположить,		что
начальные данные системы в некоторый момент времени /0						задаются
точкой	А.	Применим	это	рассуждение ко всем точкам А{			обла-
сти So,	т. е. будем считать все точки этой области «начальными»
в момент времени t0.
Проведем из каждой точки Л,- области So					фазовую траекторию
и отметим		на каждой	из	этих траекторий	точку Bh	соответст-

		§ 7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ						301
вующую некоторому			фиксированному моменту			времени t — to-{-%.
Точки	Bi	образуют	в фазовом		пространстве	новую	область Sx
(рис.	VII.10).
Таким		образом,	исходя	из	заданной в момент t0		области So
с объемом		Уо> можно построить область ST				с объемом Vx для
любого момента t —to-\-x, и в					этом смысле объем Vx			является
функцией t. Возникает вопрос о том, какой вид имеет эта функ-
ция VX = V (t), т. е. как изменяется фазовый объем							V	во время
движения системы. Ответ на этот вопрос дает
Теорема Л и у в и л л я .				Фазовый объем V не зависит от t,
т. е. является инвариантом движения.
Далее		мы докажем эту теорему, имеющую важное						приложе-

ние в статистической физике в связи с исследованием некоторых

свойств

статистических

ансамблей.

Статистическим

ансамблем назы-

вается множество одинаковых дина-

мических

систем,

т. е. систем, опи-

сываемых

одинаковыми уравнениями

движения и отличающихся одна от

другой

лишь

благодаря

случайному

«разбросу» начальных данных.

Рассмотрим

теперь

некоторый

у

статистический

ансамбль. Поскольку

У

in

он состоит из

одинаковых

систем,

Ч<

фазовое пространство будет одним и

Р и с

V I j ] 0

тем же

для

всех

систем ансамбля.

В каждый момент

времени

каждая

система

ансамбля

определяет некоторую точку

этого

фазового

пространства, а все системы, принадлежащие

статистическому

ансамблю,— множество точек, т. е. некоторую область.

В раз-

личные

моменты

времени

состояния

всех систем ансамбля оп-

ределяют

различные области, и в этом смысле область,

характе-

ризующая

статистический

ансамбль, перемещается

в

фазовом

пространстве

во

время движения систем, образующих

ансамбль.

Выберем

в

фазовом

пространстве

элементарную область AS

и обозначим через Аг число систем рассматриваемого ансамбля, которые в данный момент определяют точки, расположенные в AS. Если AS мало, то отношение

где АУ —объем AS, является, вообще говоря, функцией фазовых координат q, p и времени t. При надлежащем нормировании р характеризует долю систем ансамбля, которые в момент t представляются точками области AS. Это отношение р для достаточно малых AV называется плотностью статистического ансамбля.