Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

142 ГЛ IV. КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ

Лагранжа. В общем случае кинетическая энергия является функцией q и q, а если преобразование (9) нестационарно, то также и /:

			T = T(q,			q,	t).
Подсчитаем		производную
		dT	_ V (дТ		• и д Т		- \	л.дТ
или
dT _дТ	удТ	. ,d	удТ		. __у .		d< дТ_ _
dt ~~dt+Z.	dq,q> + dt Zi dq)qi				~~ ZdQj		di Щ	~
			dT	XfddT			dT\.	, d\\dT .
		= W -		2 [dt djj - dq])^ + dl					Ш,Ц1
Рассмотрим теперь порознь суммы, входящие									в правую	часть
этого выражения. В			первой сумме
					дТ	дТ
выражение	в скобках		совпадает с левой					частью	уравнений	Лаг-

ранжа. Рассматривая значения производной dT/dt на траекто-

риях	движения, эту		сумму		в силу (31) можно			заменить суммой
£] (—dV/dqj		-\-Q**) CJJ, где			Q** —непотенциальная часть				обобщен-
ных	сил. Таким образом,
	дТ	дТ\ ,	XV	d v	\ О
				dqf
где	сумма	iV** = 2Q**9/		называется			мощностью непотенциаль-
ных	сил х ) .
Вторую сумму из правой части						выражения		(46) можно пере-
писать так:
	Wi			q,		q'-dt	[Ldj,	qi~rLwiQi	r

Используя теперь формулу Эйлера для однородных функций

Удр x,-kF

г) Название введено по аналогии с обычным понятием мощности силы F, а именно N = F-v —

§ 3. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ЛЛГРЛНЖА

143

где У7—произвольная однородная функция k-и степени, и вспоминая, что Т2 — квадратичная, а 7\ —линейная форма от qf, получаем

~ г		It	dT~ldt~l				di	dt
Подставляя (47) и (48) в (46),				получаем
dJ	_	£ 1 _udV	_ д 1 _	л/** J		9dT	_
или
d£	~	d(T+V)_	„	dT		dV		dt
dt		dt	~~'	dt ^	^	dt	r
			~~'	dt

В частном случае, когда преобразование (9) стационарно,

Если предположить далее, что потенциальное поле	стационарно,
то dV/dt=r-0 и
dEdt _ = N*	(49)

Система, у которой все силы потенциальны, а потенциальное поле стационарно, была названа выше консервативной. На точки консервативной системы непотенциальные силы не действуют, ЛГ**=О и поэтому

-я- = 0» т. е. Е = const.

at

Таким образом, мы установили, что закон сохранения механической энергии для консервативных систем имеет место в любых координатах qu ... , qn, если преобразование (9) стационарно.

Покажем теперь, что Е = const во время движения и для некоторых неконсервативных систем. Действительно, равенство

ф = О

(50)

может иметь место, несмотря на то, что все (или некоторые) QJ* отличны от нуля. В таких случаях вновь Е = const, хотя и существуют непотенциальные силы. Системы такого рода называют

144	ГЛ. IV. КОВАРИЛНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

гироскопическими, а непотенциальные обобщенные силы Q**, для которых выполняется условие (50), —гироскопическими силами 1).

Если непотенциальные части обобщенных сил таковы, что во время движения выполняется неравенство

(51)

то в процессе движения dE/dt^O и полная энергия Е не увеличивается, а может лишь рассеиваться на отдельных этапах движения. Если неравенство (51) выполняется строго (конечно, тогда хотя бы одна из производных fy отлична от нуля), то движение все время сопровождается рассеиванием энергии. Системы такого рода называются диссипативными(соответственно —строго диссипативными), а силы, удовлетворяющие неравенству (51),—

диссипативными силами.

§ 4. Использование уравнений Лагранжа для описания движения систем с механическими связями

До сих пор мы рассматривали систему материальных точек в предположении, что ничто не ограничивает движения точек и

что это движение предопределяется действующими на	точки
силами, в частности, силовыми полями. При этом наличие	иных
материальных объектов в пространстве, не принадлежащих	к рас-

сматриваемой системе, было существенно лишь в том отношении, что эти объекты могли создавать силовые поля (например, поле всемирного тяготения, магнитное поле и т. д.), но сами по себе не препятствовали движению рассматриваемой системы. Иначе говоря, до сих пор мы пренебрегали тем фактом, что «посторонняя»

для изучаемой	системы материя сама занимает некоторое	место
в пространстве	и, следовательно, точки нашей системы	уже

не могут занимать того же самого места. Такая идеализация приемлема для многих задач физики. В технике приходится считаться с кардинально иной постановкой задачи; например, придвижении частей машин место, занятое какой-либо деталью, уже не может быть занято в тот же момент другой деталью, и это накладывает ограничения на свободу движения изучаемой системы.

Любые ограничения, накладываемые на движение исследуемой системы тем фактом, что материя занимает место в пространстве и поэтому в той или иной мере препятствует движению исследуемых материальных точек, называются механическими связями.

х) Название это исторически связано с тем, что силы, удовлетворяющие

условию (50), возникают, в частности, при движении гироскопов.

§ 4. УРАВНЕНИЯ ЛЛГРАНЖЛ ДЛЯ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ

145

Классификация механических связей. Начнем с простейших примеров механических связей. В качестве первого примера рассмотрим движение материальной точки т в плоскости х, у при условии, что на этой плоскости существует препятствие, имеющее

У	У
	о/77

х0х

6)

Рис. IV.3.

форму параболы у —ах2 и не позволяющее материальной точке оказаться справа от него (т. е. в заштрихованной на рис. IV.3, a области). Таким образом, во время движения материальная

точка т может находится лишь в тех точках		плоскости, которые
находятся слева от параболы или на ней (рис. IV.3, а).				Другим
примером может служить механическая связь,		определяемая тем
условием, что материальная точка	во время	движения		должна
все время находиться на указанной	выше параболе		(рис. IV.3, б).
В первом случае безотносительно к	действующим		силам,	только

	за счет		рассматриваемого				ограниче-
	ния, координаты точки должны							удо- у
	влетворять			условиям
				у 5э	ах2.
	Во	втором		случае	условие имеет
	уже	форму		не неравенства, а равен-
	ства
				у — ах .				(oz)
	Теперь			усложним		механическую
	связь: предположим, что						рассматри-		Рис.	IV.4.
	ваемая точка должна					все время		на-
	ходиться		на той		же	параболе,		но

сама парабола поступательно движется с постоянной скоростью v, параллельной оси х (рис. IV.4). В этом случае возможные положения точки в плоскости также ограничены, но условия, накладываемые такой механической связью на координаты х и у, имеют вид

у — и ул — vij •

\уд)

146 ГЛ IV. КОП\РИ\МТНЛЯ ФОРЛ'И УР\ПППШП ДВПЖРНИЯ

В качестве следующего примера рассмотрим ограничение несколько иного типа. Представим себе плоское движение двух точек тг и тг, стесненное следующим условием: во время движения расстояние между этими двумя точками должно все время оставаться постоянным и равным / (рис. IV.5). Легко видеть, что при этом координаты точек хи у± и х2, у2 должны удовлетворять

равенству

to-jOM-to-ifc)8-*". (

Рассмотрим теперь более сложный случай: пусть в предыдущем примере вводится еще одно ограничение-скорость середины

У\

и

	0			*-
Рис. IV.5.		Рис. IV.6.
отрезка, соединяющего	точки, должна	быгь всегда	направлена
вдоль этого отрезка (рис. IV.б)1). Это условие			накладывает
дополнительное ограничение не только		на координаты		точек, но
и на скорость середины	отрезка, соединяющего точки,			а значит,

и на скорости самих точек. Проекции скорости середины отрезка на оси х и у равны

у, = х,-\-х2

У1

и поэтому условие, что скорость середины отрезка всегда направлена вдоль отрезка, выражается равенством

л+ {к	(56)

Последний пример отличается от ранее рассмотренных в двух отношениях: во-первых, ограничения обусловили не одно, а Два равенства ((54) и (56)) одновременно; во-вторых, условие' (56) накладывает ограничения не только на координаты, но и на скорости, и выражается поэтому не конечным равенством, а дифференциальным уравнением по отношению к координатам точек.

*) Идеализированная модель полоза санок или конька.

§ 4. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ

147

Этих примеров достаточно, чтобы иллюстрировать следующую классификацию механических связей (рис. IV.7).

Механические связи подразделяются на два основных класса: на связи удерживающие и неудерживающие.

Связь называется удерживающей, если накладываемые ею ограничения выражаются в форме равенства, как это имело

Удерживающие

				Дифференци-
		Диауререщиальнт - г *альные интез-
			•"I
		Дифференци-
		альные
		неинтегрируе-
		мые
		Рис.	IV.7.
место	во всех	рассмотренных	выше	примерах, кроме первого.
Обычно удерживающие связи вводятся				условием, что точки дол-
жны	находиться	на некоторых кривых или на некоторых поверх-

ностях в пространстве, либо что не должны меняться расстояния между точками и т. д.

Механическая связь называется неудерживающей, если накладываемые ею на координаты точек ограничения выражаются неравенствами, как это имело место в первом из рассмотренных примеров. Такого рода механические связи имеют место обычно в тех случаях, когда запрещается пребывание точки в некоторой части пространства. Далее мы будем интересоваться лишь удерживающими связями, и поэтому дальнейшая классификация неудерживающих связей на рис.. IV.7 опущена.

Удерживающие механические связи подразделяются на конечные и дифференциальные в зависимости от того, является ли равенство, выражающее их, конечным соотношением или диф-

148 ГЛ. IV. КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

ференциальным уравнением. В рассмотренных выше примерах все связи были конечными, за исключением связи, выраженной равенством (56) в последнем примере. Эта связь — дифференциальная, так как равенство (56) представляет собой дифференциальное уравнение.

В тех случаях, когда связи накладываются не только на координаты, но и на скорости, и поэтому приводят к дифферен-

циальным		уравнениям,		возможны два варианта в зависимости
от того,	можно		ли проинтегрировать эти уравнения. Если диф-
ференциальные			уравнения связи могут быть проинтегрированы,
то они	записываются в конечном итоге в виде конечных соотно-
шений,	но	эти	конечные соотношения содержат также		и произ-
вольные	постоянные,			которые естественным образом	вводятся
при интегрировании дифференциальных уравнений. В тех случаях,

когда дифференциальное уравнение механической связи не может быть проинтегрировано, необходимо учитывать уравнения связи в исходной форме дифференциального уравнения. В связи с этим механические дифференциальные связи подразделяются на диф-

ференциальные интегрируемые и на дифференциальные неинтегрируемые х ).

Конечные связи и дифференциальные интегрируемые связи составляют класс голономных механических связей, а дифференциальные неинтегрируемые связи —класс неголономных связей. Соответственно системы, содержащие лишь конечные или дифференциальные интегрируемые связи, относятся к классу голономных систем, а системы, содержащие дифференциальные неинтегрируемые связи, —к классу неголономных систем. Далее мы не будем заниматься неголономными связями, и поэтому опускаем их классификацию (рис. IV.7). Что же касается голономных связей,

то	их можно подразделить далее в зависимости от того, содержат
ли	равенства, выражающие эти связи, в явной форме время.

В	тех случаях, когда эти равенства не содержат время явно,
механическая связь		называется стационарной или склерономной.
В	тех случаях, когда	время явно входит в эти равенства, связь

называется нестационарной или реономной. Обычно стационарные связи имеют место в тех случаях, когда поверхности или кривые, на которых должны находиться материальные точки, либо расстояния между этими точками не меняются со временем. Наоборот,

в	тех случаях, когда материальные точки должны находиться
на	кривых или поверхностях, которые сами меняются со вре-

менем, связи оказываются реономными.

1) В тех случаях, когда уравнения дифференциальных связей линейны относительно скоростей, известны условия, при которых соответствующие дифференциальные уравнения могут быть проинтегрированы.

§ 4 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ

149

Всюду далее,

говоря

о механических связях, мы будем иметь

в виду голономные связи, стационарные

либо нестационарные.

Соответствующие

соотношения мы

будем записывать для конеч-

ных связей, имея в виду, что наличие произвольных

постоянных

в выражениях

для

связей

не меняет

последующих

рассуждений.

Возможные

и виртуальные перемещения и скорости. Рассмот-

рим теперь голономную систему. Для содержащихся

в ней связей

могут быть выписаны уравнения

вида

Fs(x,

у,

г,

0 = 0

(s = l,

...,

г).

(57)

Во

время

движения

системы

все координаты х,

у, г —функ-

ции времени и уравнения голономных

связей — определяют

г

тождеств

Fs(x(t),

y(t),

z(t), t)^0

(s = l,

.... r).

(58)

Координаты точек

xt, yt,

zt

должны

удовлетворять

этим г соот-

ношениям. Они содержат t явно лишь в том случае,

когда меха-

нические связи реономны.

Дифференцируя

тождества

(58) по времени, получаем

N

dFs

.

. dFs

.

, 8FS

£ — 1

Этим

соотношениям должны

удовлетворять

скорости точек

х{,

iji, zt. В случае склерономных связей уравнения (59) не содержат

частной производной по явно входящему

времени, dFs/dt = O.

Любые скорости

точек,

которые

удовлетворяют соотношениям

(59), называются возможнымискоростями, а любые бесконечно малые перемещения в направлении возможных скоростей, удовлетворяющие, следовательно, соотношениям (57), называются возможными перемещениями. Таким образом, возможные скорости

и	перемещения — это соответственно			скорости и перемещения,
допускаемые		наложенными на систему голономными связями.
	В случае реономных связей введем понятие «замороженной»
связи. Связь		называется	«застывшей»	или «замороженной», если
в	некоторое	мгновение	считается, что она перестает зависеть

явно от времени, т. е. как бы застывает, перестает перемещаться или деформироваться. Так, например, для реономной связи, представленной на рис. IV.4, замораживание означает, что в некоторое мгновение парабола останавливается и в это мгновение перемещениями, удовлетворяющими связи, являются перемещения,

не выводящие	точку	с неподвижной (остановленной)					параболы.
Аналитически	«замораживание»		связей	проявляется		в	том, что
в уравнениях	связи	вида (57)	явно входящее		время	t	считается
константой и	при дифференцировании			частная	производная по

150

ГЛ. IV. КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

явно

входящему

времени

оказывается

поэтому

равной

нулю.

В силу этого для «замороженных»

реономных

связей в соотно-

шениях (59)

исчезает

первый

член — частная

производная по

явно входящему

времени.

В

случае реономных

связей скорости, удовлетворяющие

урав-

нениям «замороженных»

реономных связей (т. е. уравнениям (59),

из которых

выброшен

первый член), называются виртуальными

скоростями, а перемещения

вдоль

виртуальных

скоростей, т. е.

малые

перемещения,

удовлетворяющие

уравнениям (57), в которых предположе-

но,

что явно

входящее

время

более

не изменяется, назызаются виртуальны-

ми

перемещениями.

На рис. IV.8 повторен пример, иред-

^_

ставленный ранее на рис.

IV.4, в двух

О

х

случаях: а) реономная связь считается

«замороженной», т. е. остановленной,

Рис. IV.8.

и

ф реономная связь рассматривается

без каких-либо

изменений в том виде, в

каком она действительно наложена на систему. Сплошными стрелка-

ми	показаны		возможные перемещения			точки	в	случае		б).
Виртуальные перемещения совпадают					с касательной			к	параболе
в	той ее точке, где в данное мгновение находится						материальная
точка,		а возможные перемещения зависят				также	и	от	скорости
движения параболы				и по направлению, вообще говоря,					не	сов-
падают		с касательной.
	Для систем со склерономными механическими связями возмож-
ные и		виртуальные		скорости (и соответственно —возможные и
виртуальные перемещения), естественно, совпадают.
	Число степеней свободы и обобщенные координаты. Для того
чтобы		полностью описать движение материальной системы, содер-
жащей N точек и лишенной каких-либо механических связей,
нужно		задать	3N	величин —этими	величинами		являются			3/V

координат точек. Иначе обстоит дело в системах с механическими связями.

Обратимся к рис. IV.3, б. В этом случае рассматривается плоское движение одной материальной точки. При отсутствии связей нужно было бы задать две ее координаты, например

декартовы	координаты х и у. При		наличии связи — в данном
случае ею служит парабола у = ахг —достаточно				знать		только
одну координату точки х, потому		что	координата	у	сразу	опре-
деляется	из уравнения параболы.	Положение точки			в этом слу-

чае можно определить каким-либо иным способом, например договориться о начале и направлении отсчета дуг вдоль параболы, и тогда положение точки на параболе будет полностью задано одним числом —длиной дуги. Совершенно так же обстоит

§ 4. УРАВНЕНИЯ ЛЛГРАНЖЛ ДЛЯ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ

151

дело в случае, когда точка должна находиться на движущейся параболе (рис. IV.4), если известна скорость движения параболы.

В случае, представленном на рис. IV.5, рассматривается плоское движение двух материальных точек, и при отсутствии связей требовалось бы задать четыре координаты. Однако благодаря наличию одной механической связи для полного определения положения двух точек в данном случае нужно задать не четыре, а только три величины. Ими могут быть, например, координаты х и у одной из точек и угол <р, который образует отрезок /, соединяющий точки, с горизонталью, проходящей через первую точку. Действительно, зная положение первой точки, этот угол и значение /, которое по условию фиксировано, сразу определяем координаты второй точки: х2 —xt + 1 cos ф и у2=-

- #1-1-Ып(р.

Вернемся теперь	к случаю,	когда задано	г связей, т. е. зада-
но г соотношений	вида (57).	Если якобиан	этих функций отли-

чен от нуля (а далее это всегда предполагается), то условия (57)

могут быть использованы для того, чтобы			выразить г ®	декар-
товых	координат точек через остальные. Поэтому для того, чтобы
чадать	положение	N точек, нужно знать не ЗА/, a ЗА/ —г		коор-
динат;	остальные	г координат найдутся	из соотношений (57).

Для того чтобы определить положение системы в этом случае,

разумеется, не	обязательно	использовать ЗА/ — г декартовых
координат —как	в приведенных	примерах, так и в общем случае

можно подобрать иные независимые величины, определяющие положение всех точек системы.

Наименьшее число независимых величин, которое надо знать для того, чтобы полностью определить положение всех точек голономной системы, называется числом степенейсвободы системы.

Условимся число степеней свободы обозначать буквой п. Если точка не стеснена механическими связями, то положение ее определяется тремя величинами — ее координатами, и поэтому число степеней свободы точки равно трем. Соответственно число степеней свободы системы, содержащей А/ точек, не стесненных механическими связями, равно ЗА/. При плоском движении одна

точка имеет две степени свободы, а	система, состоящая из А/
точек, имеет число степеней свободы,	равное. 2А/. В примере,
представленном на рис. IV.3, б и IV.4,	сис!ема состоит из одной

точки и имеет одну степень свободы. В примере, представленном па рис. IV.5, число степеней свободы равно 3. В общем случае системы, содержащей А/ точек и стесненной г механическими связями, как уже было указано выше, число степеней свободы равно ЗА/ — г.

Любой набор из п величин, независимых одна от другой и полностью определяющих положение системы, называется системой обобщенныхкоординат, сами эти величины — обобщенными