Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

152 ГЛ. IV. КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

координатами, а их производные по времени —обобщенными скоростями. В соответствии с этой терминологией для системы материальных точек, не стесненных какими-либо связями, обобщенными координатами служат 3N величин, заданных в любой из рассмотренных ранее систем координат: декартовой, цилиндрической, сферической и т. д. В этом смысле «новые координаты»

<7/(/' = 1,	..., я), о которых шла речь	в § 1 и 2 этой главы,
являются	обобщенными координатами.	Подобным же образом

а)	б)
Рис.	IV.9.

при рассмотрении голономных систем, движение которых стеснено механическими связями, возможен самый разнообразный выбор обобщенных координат. Так, в примере, представленном на рис. IV. 3, б, обобщенной координатой (как уже было указано) может служить либо координата у точки, либо ее координата х, либо дуга вдоль параболы (отсчитанная с учетом знака от какойлибо начальной точки, например от начала координат), либо

угол, образованный лучом,		проведенным	из начала координат
к материальной	точке, и осью абсцисс,		и т. д. Для примера,
представленного	на рис. IV.5, различный		выбор возможных сис-
тем обобщенных	координат	определяется	тем, каким образом

фиксируется, во-первых, положение одной точки и, во-вторых, положение второй точки относительно первой. На рис. IV.9 приведены примеры различных способов введения обобщенных координат. На рис. IV.9, а в качестве обобщенных координат

выбраны декартовы			координаты хг и ух первой точки и угол ч|),
образованный прямой, соединяющей две точки системы, и гори-
зонталью (g1 = xl,		q2= ylt		q-4 = ty); на рис. IV.9,	б обобщенными
координатами служат полярные координаты первой точки и угол
для	определения	положения второй точки (<7Х = г1?			<72= <р, ^з —1*!5);
на	рис. IV.9, в —декартовы координаты второй				точки и угол,
образованный прямой, соединяющей две точки системы, с						верти-
калью, проведенной			через	вторую точку (Qi = xz,	q2 —y2,	q3 = b).

Разумеется, в этом примере возможен и иной выбор обобщенных координат.

На рис. IV. 10 изображен так называемый двойной плоский маятник, а на рис. IV.11—система, состоящая из плоского

§ 4. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ

153

маятника, к которому на пружине подвешен грузик. Изображен-

ная на рис. IV. 10			система имеет две степени свободы, и в качест-
ве	обобщенных координат можно взять, например, либо углы а
и	р, либо величины xt и хг,			либо величину хх	и угол р и т. д.
Число степеней свободы системы, показанной на рис. IV.11,
зависит от		предположения		о движении грузика, подвешенного
к	пружине.	Если	грузик	может занимать	любое положение

О	У	V///,
х,		а,

Рис. IV. 10.

Рис. IV.11.

вплоскости и от его положения зависит только упругая сила пружины, то пружина лишь предопределяет силовое взаимодействие между грузиком и маятником, т. е. характер возникающих

всистеме потенциальных сил, и не накладывает каких-либо ограничений на движение системы. Поэтому в данном случае система имеет три степени свободы, и соответственно обобщенны-

ми координатами могут быть величина а или хх — ею фиксируется положение маятника —и какие-либо две величины, например декартовы координаты, фиксирующие положение грузика. Иначе обстоит дело, если пружина может растягиваться лишь вдоль вертикали, т. е. если грузик вынужден всегда находиться на одной вертикали с маятником (например, движется по вертикальной направляющей, закрепленной на маятнике). В этом случае система имеет две степени свободы и обобщенными координатами

могут служить, например, угол	а и расстояние 1= х2 — х1 от
маятника до грузика, т. е. длина	пружины.

По самому определению понятия «обобщенная координата» ясно, что декартовы координаты всех точек системы однозначно определяются, коль скоро заданы обобщенные координаты, несмотря на то, что число обобщенных координат может быть значительно меньше утроенного числа материальных точек."Более того, число материальных точек может быть бесконечным, например, если система содержит тела, а число обобщенных координат конечно и даже мало. Но в любом случае декартовы координаты полностью определяются через обобщенные, и при этом функции,

154 ГЛ. IV. КОВАРИАНТНЛЯ ФОРМЛ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

выражающие декартовы координаты материальных точек через обобщенные координаты, не зависят явно от времени, если все механические связи склерономны, и зависят явно от времени, если среди механических связей системы имеются реономные. Имея в виду этот общий случай, представим зависимости между декартовыми координатами точек и обобщенными координатами в виде

xi = h (q,		t),	щ = Ф / (q, t),		zi = % (q,	t)	(i = 1,	2, . . . , N). (60)
Переходя		в	этих	выражениях к		виртуальным		перемещениям,
т.	е. дифференцируя их				при предположении, что явно входящее
в	выражения		(60)	время	является константой, получаем

	1		$>	щ
				(61)
Соотношения (60)			и (61) формально совпадают с соотношени-
ями	(8) и (12) этой		главы, хотя	к ним приходят из иных сооб-
ражений. Отсюда сразу вытекают следующие результаты.
1. Механические голономные связи предопределяют зависи-
мости (60)		между декартовыми		и «новыми» координатами, если
в качестве		«новых»	координат выбрана любая система обобщен-
ных	координат.
2. Для		системы	с механическими голономными связями раз-

личие между операторами d и б имеет простой механический смысл, соответствующий различию между возможными и виртуальными скоростями, а число п новых координат равно числу степеней свободы системы. Имея в виду это обстоятельство, мы при выводе уравнений Лагранжа считали, что п удовлетворяет неравенству n^SN, хотя при отсутствии механических связей оснований для такого обобщения не было.

Идеальные связи. Для того чтобы записать второй закон Ньютона для материальной точки, движение которой стеснено механической удерживающей связью, надо к действующим на точку силам добавить реакции связи. Эти реакции сами заЬисят от характера движения точки, т. е. являются функциями ее скоростей и ускорений. Используя лагранжев формализм для систем, содержащих механические связи, часто удается описать движения системы, не вводя в рассмотрение эти функции — реакции связи.

Для того чтобы пояснить это последнее обстоятельство, введем новое понятие. Условимся механические связи называть идеальными, если сумма элементарных работ реакций этих связей на любом виртуальном перемещении системы равна нулю. Обычно идеальными являются связи, при которых движение материаль-

§ 4 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ	155
пой точки вдоль кривой или поверхности, определяющей	связь,

происходит без трения. Действительно, в этом случае реакции связей направлены по нормалям к кривым или поверхностям, стесняющим движение, а виртуальные скорости — по касательным к ним, и поэтому виртуальная работа реакций связей в таких случаях равна нулю. Если из-за учета трения связь оказывается не идеальной, т. е. ее реакция не ортогональна к виртуальной скорости, то эту реакцию можно разложить на «идеальную составляющую», направленную по нормали, и на «неидеальную составляющую», направленную вдоль виртуальной скорости.

Использование уравнений Лагранжа для систем, содержащих

механические голономные связи. Если система содержит механические связи, но все они голономны, то можно в качестве «новых»

координат использовать	обобщенные	координаты		qu	..., qn	(их
число п = ЗМ— гs^3N	равно числу	степеней свободы системы),
а формулы (8) получаются так, как		это	было	пояснено		выше
(см. рассуждения, приводящие к формулам			(60)).

При выводе уравнений Лагранжа мы исходим из записи второго закона Ньютона. Для систем, содержащих голономные механические связи, этот закон имеет вид

mfi^Fi		+ Rt,	/ = 1,	.... N,	(62)
где /?( —реакция	связи, действующая на			t'-ю точку системы.
Дословно повторяя		вывод уравнений Лагранжа			из § 2 этой
главы, приходим	к уравнениям		Лагранжа (22) с той		лишь раз-
ницей, что теперь	Q, в них означает

Выше было показано, что обобщенная сила Q'/'= Л-^'ТГ1 Р а в н а

множителю при 6<7у в выражении для виртуальной работы приложенных сил F{. Аналогично Qf = \ Rt • -—- —такой же множи-

i

тель в выражении для виртуальной работы реакций связей. Таким образом, уравнения Лагранжа пригодны для описания системы, содержащей голономные механические связи.

В том случае, когда связи идеальные, сумма	работ их реак-
ций на виртуальном перемещении равна нулю.	В связи с тем,
что bqj —независимые приращения, множители Qf	в выражении

для виртуальной работы реакций идеальных связей Rt порознь равны нулю:

N
ч , - ^Ki	dq/ - и .

1 1

156 ГЛ. IV. КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

Поэтому реакции идеальных связей могут не учитываться при подсчете обобщенных сил Q/. Если же система содержит неидеальные связи, то соответствующие «неидеальные составляющие» их реакций должны быть отнесены к приложенным силам и учтены при подсчете обобщенных сил Q/. Зависимость «неидеальных составляющих» реакций связей от обобщенных координат, скоро* стей или от времени определяется, исходя из физической природы этих сил так же, как и для приложенных сил F{.

При наличии механических связей, как и при отсутствии их, уравнения Лагранжа имеют одинаковый вид при любом выборе обобщенных координат. Число уравнений Лагранжа равно числу

степеней	свободы		п	исследуемой			системы,		а порядок		системы
уравнений	Лагранжа			равен 2п.
Применительно к системе без механических										связей уравнения
Лагранжа	имеют		одно		основное преимущество: они ковариантны
по отношению к точечным преобразованиям									координат. В случае
же, когда	система		стеснена механическими						идеальными связями,
применение		лагранжева				формализма		имеет дополнительные пре-
имущества	по сравнению с непосредственным									применением урав-
нений Ньютона.			Оно		позволяет		уменьшить			порядок	системы
уравнений, описывающих						движение,		до 2п, где п — число степе-
ней свободы,		и избежать				определения		реакций идеальных			связей.
Возможность		выписать			уравнения		движения, не интересуясь нор-

мальными реакциями и вообще подсчетом реакций в случае, когда трение отсутствует, является одним из важных преимуществ применения лагранжева формализма к механическим системам со связями.

В том случае, когда исследуемая система не содержит механических связей, нестационарность преобразований (8) возникает

лишь при условии, что «новая» система					отсчета	(координаты <jy)
движется	относительно		«старой»	системы	(координаты		х, у, г).
В случае же наличия			механических конечных			связей	причиной
нестационарности		преобразований		(60) является		также	учет осо-
бенностей	связей, если		они реономны.
Первоначально лагранжев формализм былразработан, главным
образом, для того,		чтобы обойти затруднения, связанные с иссле-
дованием	систем с механическими			связями. Позже с			развитием

физики выяснилось удобство этого формализма в связи с ковариантной формой уравнений Лагранжа для описания движений и в тех случаях, когда связи отсутствуют.

§ 5. Некоторые обобщения

В этом параграфе рассматриваются два обобщения, связанные с использованием лагранжева формализма. Первое обобщение получается введением понятия «обобщенный потенциал» и позво-

§ 5. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ		157
ляет расширить круг	задач, для которых уравнения	Лагранжа
имеют вид (29).
Второе обобщение	связано с понятием натуральных	и ненату-

ральных динамических систем и с возможностью при построении новых (неклассических) механик аксиоматически вводить в рассмотрение уравнения Лагранжа в форме (29) с лагранжианом L, уже не обязательно равным разности кинетической и потенциальной энергии.

1. Обобщенный потенциал. Напомним читателю, что обобщенные силы Qj называются потенциальными, если существует функция от обобщенных координат и времени V (q, t) такая, что

.-,	dv (q, t)	i -	\		\	/co\
Qj =	щ^	0 =		1	«)•	(63)
Было показано, что если силы		Ft		(i = I, ..., N) имеют		потен-
циал в декартовых координатах, то			обобщенные силы Qj,			каковы

бы ни были новые (обобщенные) координаты, тоже потенциальны. При таком определении потенциальных сил обобщенные силы, зависящие от обобщенных скоростей, уже не могли бы быть потенциальными и при их наличии нельзя было бы использовать уравнения Лагранжа в форме (29). Между тем можно определить понятие потенциальной обобщенной силы так, чтобы уравнения Лагранжа в форме (29) оказались пригодными для описания движений некоторых важных систем при наличии сил, зависящих

от скоростей.

Условимся теперь называть обобщенные силы обобщенно потенциальными в том случае, когда существует функция V* от обобщенных скоростей q, обобщенных координат q и времени / такая, что

п	d dV*	dV*	, . ,	.	. . . .
Ъ			0 = 1. •••,«).		(64)

Функция V* (q, q, t) называется обобщенным потенциалом. В том случае, когда функция V* не зависит явно от q, так что dV*/dcji = O, формула (64), очевидно, сводится к (63), обобщенный потенциал обращается в обычный, а обобщенно потенциальные силы —в обычные потенциальные.

Из равенства (64) следует, что

-2

где (*) —совокупность членов, не содержащих q'. Будем предполагать, как и ранее, что приложенные силы не зависят от ускорений материальных точек, так что и обобщенные силы Q/ не зависят от обобщенных ускорений q. Отсюда сразу следует, что

158	ГЛ IV КОВЛРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

Qf — (*).т- е. что d2V*/dq, dqk — O, а это означает, что обобщенный потенциал представляет собой линейную функцию относительно обобщенных скоростей, т. е. имеет вид

п
V* = 2lA,cj/ + V0,	(65)

где Vo и Ац ..., Ап —функции только от q и t. Подставляя это выражение в формулу (64), получаем

dA,

dV0

Если обобщенный потенциал V* стационарен, т. е. не зависит явно от t, то все dAj/dt — 0 и Q,- представимы в виде

где Q;-j= — dV0/dqj —потенциальные силы, соответствующие потенциальной энергии Vo, a

и непосредственно видно, чтоY//				и ч т о	Y/*™""?*/	Д л я
Поэтому мощность сил Q/2		равна
	iV.=			,= 0,
и следовательно, Q; 2—гироскопические силы.
Таким образом, если обобщенные силы являются						обобщенно
потенциальными	и не зависят		явно от /, то они складываются
из обычных потенциальных		и гироскопических сил; в таком слу-
чае придвижении системы Е = T-f- V —const (ноT+V*						=?£const!).
Предположим	теперь,	что	все	обобщенные силы		являются
обобщенно потенциальными, и подставим					выражения	(64) в пра-

вую часть уравнений Лагранжа (22). Тогда уравнения Лагранжа примут вид

	d	dL*	dL* _ „	= l, . . . ,	n),	(66)
	di	dfy	dq,

где

(67)-

Функцию L* естественно назвать обобщенным лагранжианом.

§ 5 НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ

159

Если в обобщенных

силах можно выделить

обобщенно потен-

циальную

часть

Qj и непотенциальную

часть Qj, так

что

( / = 1 ,

.... л),

то уравнения

Лагранжа

принимают

вид

d

3L*

3L*

_ л

. _ .

(68)

и аналогичны уравнениям (32).

Вспоминая

структуру

функции

Т и учитывая

формулу

(65),

устанавливаем

структуру

обобщенного

лагранжиана

Ь*= Ц + Ц + Ц,

(69)

где L*= T2 — квадратичная

форма относительно

обобщенных

ско-

ростей 4 с коэффициентами ai} (q, t), L\ = 7\— £

А,Ц,—линейная

функция

относительно

q, а Ц = Г0

— Vo

—функция

только

от q

и ^, не зависящая от q. Поэтому уравнения Лагранжа

(66) и (68)

сводится

к вилу

и в силу

основной теоремы лагранжева

формализма

разрешимы

относительно

старших производных.

Рассмотрим

теперь

два

важных

примера обобщенно потен-

циальных

сил.

П р и м е р

1.

На движущийся в электромагнитном поле точеч-

ный заряд действует лоренцева сила.

Проекции

этой

силы на

оси х, у,

г декартовой

системы

координат равны х)

р

е

dAx

dV*

1

X

с

dt

dx

р

е

dAy

dV*

ГУ

с

dt

dy

'

е

dAz

dV*

г г

с

dt

dz

'

!) Вывод этих соотношений см., например,

Г а н т м а х е р

Ф. Р. Лекции

по аналитической механике.— 2-е

изд., исправл.—М.: Наука,

1966,

с. 80—81;

см. также Л а н д а у

Л . Д. и Л и ф ш и ц

Е. М. Теория

поля. —6-е

изд.—М.:

Наука, 1973, с.

70.

160 ГЛ IV КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

где е — заряд, с —скорость света, V* — скалярная функция, определяемая формулой

В этом выражении скалярная функция qp(x, у, г) и вектор-функ- ция А (х, у, г) — характеристики поля (так называемые скалярный и векторный потенциалы).

Непосредственно видно, что

F	— d	dV*	dV*
	х~dt	дх	дх

и что аналогичные выражения		могут быть выписаны для Fy и
Fz, т. е. что V*— обобщенный		потенциал для лоренцевой силы.
Обобщенный лагранжиан для материальной точки (массы т),
несущей заряд е и движущейся		в поле со скалярным потенциалом
Ф и векторным потенциалом А,		равен
L*= - 2	еФ + - (v-A).

Пример 2. Покажем теперь, что сумма переносных и корио-

лисовых сил инерции всех точек системы всегда имеет обобщенный потенциал.

	Простоты		ради	покажем		это на примере	системы, состоящей
из	одной материальной				точки'), движущейся		под действием за-
данной силы			F{t).
	Сделаем		предварительно			следующее замечание об использова-
нии	уравнений Лагранжа					для описания относительного		движе-
ния	в	неинерциальной			системе отсчета. В гл. III было			установ-
лено,		что второй		закон Ньютона (а значит,			и основные теоремы

динамики) может быть использован и в неинерциальной системе

отсчета,		если	к i'-й точке			системы (/ — 1, .... N) помимо дейст-
вующих		сил	приложить			силы	инерции —переносную, У,пср =
== — m,w, „ер, и кориолисову, У,-к о р = — 2mt									(ю х о,-0Тн).
	Уравнения		движения,		записанные в ковариантной форме (урав-
нения Лагранжа),				имеют	одинаковый			вид в любой системе отсчета
и	поэтому в		равной мере			пригодны		для	описания движения
в	инерциальных			и в неинерциальных системах. Для того чтобы
описать		движение		материальной			точки по отношению к неинер-
циальной		системе		отсчета, надо лишь				в качестве «НОЕЫХ» коорди-

нат принять относительные («греческие») координаты неинерциальной системы. Заданное переносное движение определяет тогда все функции /,-, ф,- и %, т. е. преобразование (8) «новых» («гре-

1 ) Для системы, состоящей из N материальных точек, все проводимые далее выкладки усложняются лишь суммированием по всем точкам системы.

§ 5. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ

161

ческих»)

координат

в «старые»

(«латинские»).

Далее

обычная

схема

лагранжева

формализма приводит к уравнениям движения,

записанным в неинерциальной системе отсчета.

Разумеется, при

использовании

этой

схемы

уже

не

требуется

заранее

вводить

в рассмотрение

силы инерции. Наоборот, применение

схемы лаг-

ранжева

формализма

само в конечном итоге приводит

к

уравне-

ниям

движения,

записанным

в

неинерциальной

системе

отсчета

и содержащим

члены, соответствующие

переносным

и кориолисо-

вым силам инерции.

Рассмотрим

движение точки

т по отношению к инерциаль-

ной

(латинской)

и

неинерциальной

(греческой)

системам как

абсолютное и относительное движение соответственно; переносным

является

движение греческой системы отсчета относительно латин-

ской. Переносное

движение

задано, т. е. скорость vA

точки А

(начала

координат

греческой системы) и угловая

скорость

ю пере-

носного

движения

заданы как функции времени: vA

(t)

и

(a(t).

Если ©абс —скорость точки т по отношению к латинской системе

(абсолютная

скорость), то кинетическая энергия равна

Г.ве = f

Va6c • ©абе = -f (i 2 + f + Z2).

В

качестве

«новых»

выберем

греческие

координаты

| ,

т], £.

В

соответствии

с

последовательностью

действий,

определяемых

лагранжевым

формализмом, необходимо теперь выразить 7\б с

через

«новые» координаты | ,

т), £ и скорости

| ,

т), £. Действуя

в соот-

ветствии

с общей

схемой, следовало бы, зная vA(t)

и &(t), найти

функции

/ ( | , т],

t; t), ф(£, т|, %\ t)

и т|з(|,

, £;

0>

входящие

в

формулы преобразования

(8), и выразить затем

jt,

у,

z

через

| ,

ц, t,

и t.

В данном

случае,

однако,

можно

выразить

кинети-

ческую

энергию

Td 6 c

через

«новые»

(относительные)

скорости,

и не выписывая

явно преобразования (8). Действительно,

ипоэтому

*абс= = ~2" (®пер "Г ®отн) ("пер "Г ®тв) = а

тL m

о^пср' ^пор ~ ~п^^огц * ^о

ИЛИ

Fa6c = 7V,,-V*,

(70)

где Г0ТН = (т/2) (|2-гТ12 +С2 ) —кинетическая энергия в относительном движении, а

6 М.A.