Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

222 ГЛ VI. ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

К р и т е р и й Г у р в и ц а ( в форме Льенара —Шипара). Составим из коэффициентов характеристического полинома (24) определитель, носящий название старшего определителя Гурвица:

Ai	Аг	Аъ
Л о	Аг	At
О	Ау	А3
О	0	0

...	О
...	О	(26)
...	О
...	А,

Старший определитель Гурвица Affl имеет порядок т. Первая строка определителя образована всеми коэффициентами с нечетными индексами, вторая —с четными, а каждая следующая пара строк представляет собой предыдущую пару, сдвинутую на один столбец вправо. Освобождающиеся при этом места, а также

места определителя, куда	следовало бы вписать коэффициенты Аг
с индексом, большим т,	заполняются нулями.

Рассмотрим кроме определителя Ат последовательность его главных диагональных миноров, т. е. определителей, которые получаются из Дт последовательным вычеркиванием последнего столбца и последней строки:

Аи Дг =

				л з	Лб >.	О
	Ао	Аг	At	А2	Ai ..	О	(27)
				Ах	А3 ..	О
	О	А^.	Aa
						Ащ-i
Критерий	Гурвица1)			(в форме Льенара —Шипара) утверждает
следующее:	для	того		чтобы характеристический		полином (24)

со всемиотличными от нуляи положительными коэффициентами был гурвицевым, необходимо и достаточно, чтобыв последователь-

ности определителей

(27)

все определители с четными

индексами

J )

Мы

не

доказываем

здесь

критерия

Гурвица.

Алгебраическое

доказа-

тельство сравнительно

сложно

(см.,

например,

К у р о ш

А. Г. Курс

высшей

алгебры. —11-е

изд.,

стереотип. —М.:

Наука,

1975,

и

Г а н т м а х е р Ф .

Р.

Теория

матриц. —3-е

изд.,

исправл.—М.:

Наука,

1967,

где

критериям Рауса

и Гурвица

посвящена

специальная

глава). Значительно проще доказательство,

основанное

на

редукции,

которая,

не

переводя

корней

характеристического

уравнения

через мнимую ось, удаляет один из них в бесконечность слева от

мнимой

оси. Такое доказательство сравнительно

несложно, но проведение

его

требует знания деталей характера отображений мнимой оси плоскости

корней

на пространство коэффициентов

характеристического уравнения (см.

А й з е р -

м а н М.

А.

Теория

автоматического

регулирования. —М.:

Наука,

1966,

с. 171-173).

§ 5. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ

223

(либо все определителис нечетными индексами) былистрого положительными ').

К р и т е р и й М и х а й л о в а . Вернемся теперь к характеристическому полиному (24) и заменим в нем переменное Я, мнимым переменным /со:

	Ао (/со)™ + А, (/со)'»-1 + ... + Ат.				(28)
Собрав действительные			и	мнимые члены, получим	комплексную
функцию действительного				переменного со
		/(/со) = i7 (со)+ /У (со).			(29)
Рассмотрим теперь			комплексную плоскость, по осям которой
отложены	значения	U	и V. Подставляя в функцию (29) после-
довательно значения		со от 0 до + о о , можно по точкам построить
годограф	этой комплексной функции (см. рис. VI.5, на котором
стрелкой	указано направление роста со). Если менять со от О

до —оо, то построенный таким образом годограф будет зеркальным отображением относительно действительной оси годографа,

построенного для					положительных	значений со. В самом деле,
при	замене		со	на — со значе-
ние функции tV(co),					содержащей
только четные				степени со, не
меняется,		а функция У (со), со-
держащая		только			нечетные сте-
пени со, меняет				знак. Часть го-
дографа, соответствующая отри-
цательным			значениям со, пока-
зана	на	рис. VI.5			штриховой
кривой.
Построенный				таким образом		Рис. VI.5.
годограф		(для		положительных

значений со) называется годографом характеристического полинома

(24) или годографом Михайлова. Определяемый формулой (29) вектор, конец которого при изменении со от 0 до + о о описывает

годограф Михайлова		(этот вектор	показан на рис. VI.5), назы-
вается характеристическим вектором.
г) При	практическом	использовании критерия Гурвица рекомендуется не
развертывать	определители	по элементам	строки или столбца, а свести	стар-
ший определитель Гурвица		к треугольной	форме, т. е. к такой форме,	чтобы
все элементы, расположенные слева от главной диагонали, были равны				нулю.

При этом должны использоваться лишь преобразования, не меняющие знаков ни самого определителя, ни его диагональных миноров. После того как старший определитель Гурвица представлен в треугольной форме, критерий Гурвица сводится к требованию положительности всех элементов этого определителя, расположенных на главной диагонали (подробнее см. книгу М. А. Айзер-

мана, упомянутую а предыдущем примечании).

224		ГЛ VI ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Критерий			Михайлова утверждает следующее: для того чтобы
характеристический				полином был гурвицевым, необходимо и					доста-
точно,	чтобы		годограф Михайлова начинался			при	со= 0		на дей-
ствительной			положительной		полуоси и чтобы	при	изменении со
от О	до	-|-оо аргумент характеристического				вектора		монотонно
возрастал		от	нуля до тп/2.
При		выполнении		условий	этого критерия годограф			Михайлова

последовательно проходит первый, второй, третий, четвертый,

пятый		(т.	е.	вновь первый)			и т. д. квадранты плоскости О, V,
уходя		в бесконечность в				т-м	квадранте.
	Д о к а з а т е л ь с т в о					к р и т е р и я М и х а й л о в а 1 ) .		Заменив
в	формуле		(25) К на /со, получим уравнение годографа Михайлова
в	виде
						т
						А»П (/ f f l -M-		(3°)
Рассмотрим			один		сомножитель /со — Xj и выясним, как			меняется
его аргумент				при	изменении со от — оо до -|-оо. На			плоскости

комплексного переменного корень Я, представляется фиксирован-

ной

точкой, а

/со —точкой,

расположенной на

мнимой

оси

и при

изменении

со

от — оо

до

+ оо

«пробегающей» эту ось. Сомно-

житель

/со — Я/

представляется

вектором, отложенным

из

точки

ReA

%] к

точке,

«пробегающей» мни-

*"

мую

ось

(рис. VI.6).

Сразу вид-

но, что

если

точка

Я/

располо-

ш

жена

слева

от

мнимой оси, то

при изменении соот — оо до + оо

аргумент

этого вектора меняется

Рис

VI6.

монотонно на + я. Если же точка

Я, расположена

справа

от

мни-

мой

оси,

то

аргумент

вектора меняется

на

— я. Обращаясь

к формуле

(30)

и учитывая, что

изменение аргумента

произведе-

ния равно сумме изменений аргументов сомножителей, заключаем, что общее изменение аргумента характеристического вектора, «вычерчивающего» годограф Михайлова, будет равно тп/2, если все корни Я* характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси, и будет заведомо меньше, чем тп/2, если хотя бы один корень расположен справа от мнимой оси. Отсюда следует, что годограф Михайлова будет протекать так, как это

*) Критерий Михайлова является прямым следствием применения к функции комплексного переменного (29) принципа аргумента Коши. Однако критерий Михайлова можно доказать и непосредственно, без обращения к принципу аргумента, именно такое доказательство будет проведено здесь

§ 5. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ	225
предписывается критерием, тогда и только тогда,	когда иссле-

дуемый характеристический полином является гурвицевым, т. е. когда все его корни расположены слева от мнимой оси.

Пример .		Рассмотрим характеристический полином степени
т = 8	и различное возможное протекание годографа		Михайлова
в этом	случае	(рис. VI.7). Из критерия Михайлова	следует, что

характеристические полиномы, для которых годограф Михайлова

Рис. VI.7.

протекает так, как показано в верхней части рисунка, — гурви-

цевы, а характеристические полиномы, годограф которых								проте-
кает так, как это показано в нижней части рисунка, заведомо
не являются			гурвицевыми.
	4.	Устойчивость			равновесия консервативной системы. Потен-
циальные ямы и				барьеры. Рассмотрим теперь условия устойчи-
вости		равновесия		консервативной системы. Критерии устойчиво-
сти, приведенные выше, непригодны для этой цели. Дело								в том,
что у характеристического уравнения линейного приближения
для	консервативной				системы все корни чисто мнимые *) и асимп-
тотическая устойчивость						не может иметь места. Выделить		устой-
чивые		положения равновесия в консервативной системе позволяет
	Теорема		(Лагранжа— Дирихле2)). Если в некотором поло-
жении консервативной системы потенциальная энергия,								являю-
щаяся непрерывной функциейs)							q, имеет строгий изолированный
	1) Это утверждение				будет	доказано	ниже.
	2 )	Применительно		к частному случаю поля сил тяжести эту теорему знал
еще	Торричелли		(1644 г.). Для потенциальных полей в общем случае ее выска-
зал	Лагранж (1788 г.),				но лишь Дирихле (1846 г.) строго доказал			теорему.
	3 )	Формально для доказательства теоремы требуется лишь непрерывность
функции V (q).			В механике,			однако, предполагается существование производ-
ных	dV/dq, так как			только		тогда имеют смысл понятия «обобщенная сила»,
«уравнения Лагранжа» и т. д.
	8	М. А. Айэермаи

226 ГЛ VI ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

минимум, то это положение является положением устойчивого равновесия системы.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим положение равновесия <7ь ..., q"n, в котором потенциальная энергия V (q) имеет строгий минимум. Поместим в точку q\, ..., q"n начало координат, т. е. будем считать, что

^= ... = ^ = 0.

Всвязи с тем, что потенциальная энергия V определена с точностью до аддитивной постоянной, распорядимся выбором этой постоянной так, чтобы в данном положении потенциальная энергия обращалась в нуль:

УЮ = 0.

(31)

Тогда из определения строгого минимума следует, что в п-мер- ном координатном пространстве существует такая Д-окрестность начала координат, что если

то

|<7/К А

(/ = 1

п),

(32)

V(<7)>0

(33)

в любой точке окрестности (кроме начала

координат, где

V (0) =

= 0).

Перейдем теперь к 2я-мерному фазовому

пространству

qu ...

..., qn\ qlt

...,

qn. Здесь началу

координат также

соответствует

исследуемое состояние равновесия. Рассмотрим в этом простран-

стве

2п-мерную

окрестность

начала

координат, в

которой <7/

( / = 1 ,

...,

п)

удовлетворяют

условию

(32).

Во

всех

точках

этой окрестности полная энергия системы

E = T-\-V

положи-

тельна,

кроме начала

координат, где £ = 0. Это следует из усло-

вия

(33) и

из того

факта,

что

кинетическая

энергия

Т = Т2

обращается

в

нуль

лишь

тогда, когда

все

ty

равны

нулю, и

Т > 0 ,

когда

хотя бы одна

из ц}

отлична

от

нуля.

Выберем

теперь

в

фазовом пространстве

произвольную е-ок-

рестность,

целиком

лежащую

внутри

Д-окрестности и содержа-

щую

начало координат в качестве внутренней точки. На границе

этой е-окрестности функция Е непрерывна и ограничена, а сама граница представляет собой замкнутое ограниченное множество точек. Поэтому в силу теоремы Вейерштрасса существует принадлежащая границе s-окрестности точка, где Е достигает мини-

мума	на границе. Пусть	этот минимум равен Е = Е*. В связи
с тем,	что всюду на границе е-окрестности Е~>0, во всех точках
этой границы		£ 5 э Я * > 0 .	(34)
Выберем £ * * < £ * и		определим такую	б-окрестность, что

всюду в ней £ < £ * * . Она заведомо лежит внутри е-окрестности

§ 5. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ	227
(рис. VI.8) и всегда существует в силу непрерывности	функ-

ции Е итого, что £ =0 в начале координат и £ > 0 в е-окре- стности.

Рассмотрим	произвольную точку А, принадлежащую этой
б-окрестности,	и примем соответствующие ей значения	<7/л и
^ ( / = 1, ..., п) заначальные:
	=|<//л|<6 .	(35)

Обозначим через £дэнергию Е системы в этой точке. Всилу того, что точка А лежит в б-окрестности,

£д<£**<£*.

Начальным данным (35) соответствует некоторое движение изучаемой системы. Но система консервативна, ипоэтому во время движения ее энергия не меняется:

£(0 = £д<£*.

(36)

Из неравенства (36) сразу следует, что фазовая траектория, начинающаяся внутри б-окрестности, недостигает границ е-окре-

стности,	так как награнице
е-окрестности £:==£*. Поэтому
для любой е-окрестности мож-
но указать такую б-окрестность,
что если		начальные		данные
удовлетворяют			неравенствам
(35), то при всех			<SsO	удовле-
творяются		неравенства
\qj(t)\<B,			lqj(t)l<*
	(/=1, ..., л).
Теорема	доказана.
Из доказательства видно, что					Рис. VI.8,
теорема	остается		справедливой
и в том случае,			когда	система	отличается отконсервативной

наличием гироскопических сил. Действительно, добавление гироскопических сил неменяет ни положения равновесия г), ни того

факта, что энергия	системы	сохраняется	во время движения2).
При доказательстве	теоремы	использовался	лишь этот факт без-

относительно к тому, покаким причинам онимеет место. Теорема Лагранжа определяет лишь достаточный признак

устойчивости равновесия консервативной системы: если положе-

1) Это следует из принципа возможных перемещений — работа гироскопических сил на возможных перемещениях равна нулю.

») См. § 3 гл, IV.

8*

228 ГЛ. VI. ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

нию равновесия соответствует строгий минимум функции V (q), то оно устойчиво; однако устойчивыми могут быть положения равновесия, которые не совпадают с точками строгого минимума

функции		V (q). Необходимые и достаточные						условия устойчивости
равновесия			консервативной			системы	до сих пор не найдены.
В	связи	с	этим предлагались различные достаточные признаки
неустойчивости				консервативных систем. Ниже					приводятся		без
доказательства				три	теоремы, устанавливающие признаки					такого
рода.
	П е р в а я		т е о р е м а Л я п у н о в а .				Если потенциальная			энер-
гия	V (q)	консервативной				системы в	положении равновесия				не
имеет минимума и если это обстоятельство								устанавливается			из
рассмотрения			членов второй			степени в разложении			V (q) в ряд		по
степеням		q, то		это	положение равновесия неустойчиво.
	В т о р а я		т е о р е м а Л я п у н о в а . Если в положении равнове-

сия консервативной системы функция У (q) имеет строгий макси-

мум	и это обстоятельство				устанавливается		из	рассмотрения	чле-
нов	наименьшей степени т S=2 в разложении							V (q) в ряд по	сте-
пеням q,		то это положение равновесия неустойчиво.
	Т е о р е м а		Ч е т а е в а .		Если потенциальная			энергия V (q) явля-
ется однородной функцией q и						если в положении равновесия она
не имеет		минимума,		то	это	положение равновесия неустойчиво.
	Рассмотрим		теперь	вопрос о «потенциальных ямах» и «потен-
циальных		барьерах»,		которые		могут иметь	место при движении

системы в потенциальном поле. Эти понятия тесно связаны с тем фактом, что положения равновесия таких систем могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми. Связь эту удобно продемонстрировать на простейшем примере, представленном на рис. VI. 1.

Рассмотрим положение А (рис. VI. 1). Это положение соответствует минимуму потенциальной энергии, и любое движение,

начавшееся вблизи		точки А, происходит вблизи			нее. Если мате-
риальная	точка первоначально была далеко от				Л, но двигалась
по показанному на		рис. VI. 1 рельефу и попала			в окрестность А
с малой	скоростью,	то	она	уже не выйдет из этой окрестности.
С другой	стороны, для		того	чтобы материальная точка, попавшая

в окрестность А, могла выйти из нее, точке должна быть придана энергия, превышающая некоторое пороговое значение. Если с этой целью повышается потенциальная энергия материальной точки при нулевой ее скорости, то материальная точка выйдет из окрестности А только при условии, что ее потенциальная энергия

будет доведена до значения, соответствующего	ближайшему
к ней максимуму потенциального рельефа (точка В).	В этом смысле

существует потенциальный порог или барьер, который надо преодолеть, чтобы «вырвать» материальную точку из окрестности точки А. Того же можно достигнуть, увеличивая кинетическую энергию материальной точки, но и в этом случае должен быть

§ 5. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ	229
преодолен энергетический порог —кинетическая	энергия должна

быть достаточна для того, чтобы материальная точка достигла

точки	В.
В	простейших	случаях	удается не только	установить	наличие
«потенциального		барьера»,	но и полностью	определить	границы
«потенциальной		ямы». Рассмотрим, например, движение мате-

риальной точки вдоль прямой в потенциальном поле, зависящем

только от положения точки на прямой.
Пусть обобщенная координата	^ — расстояние материальной
точки от некоторого фиксированного на прямой начала		отсчета.
Из условия сохранения полной энергии
^Y-+ V (q) = h = const,
где V (q)— потенциальная энергия,	a h —произвольная	постоян-
ная, равная начальной энергии, имеем
q = ± Vh — V (q) |/m/2.		(37)

Построим график функции V {q) и ниже него изобразим фазовую плоскость q, q системы (рис. VI.9). Точки, соответствующие положениям устойчивого и неустойчивого равновесия, отмечены на фазовой плоскости точкой и крестиком. Зададим поочередно Щ

Рис. VI.9.			Рис. VI.10.
значения h = hly	h2	и т. д.1) и проведем	горизонтальные прямые
на уровне V = h (рис. VI. 10); используя			формулу (37), построим

фазовую траекторию. Непосредственно видно, что при hi<.h<.hb фазовая траектория замкнута и движение вдоль нее не выходит из окрестности устойчивого равновесия. Если h>h3 (например,

!) При этом прямые h=hL и h=h3 касаются кривой V (q) и точках ее минимума и максимума соответственно.

230 ГЛ VI ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

h = hi), то фазовая траектория не замкнута и такова, что при движении вдоль нее изображающая точка неограниченно удаляется от положения устойчивого равновесия. Траектории этих типов разграничиваются траекторией, которая проходит через точку неустойчивого равновесия и соответствует h—h3. Таким образом, h = h3 и определяет энергетический барьер в этой задаче. В связи с тем, что каждая точка фазовой плоскости задает начальные данные <7(0), $(0), т. е. определяет движение, траектория, соответствующая h = h3, выделяет те значения q (0) и q(0), при которых движение остается в окрестности равновесия (заштрихованная область на рис. VI.10) и определяет в этой задаче «конфигурацию потенциальной ямы».

Вполне аналогично обстоит дело и в общем случае движения консервативной системы с п степенями свободы. Потенциальная

энергия —функция от п переменных qx	qn,	и в пространстве
состояний могут быть указаны области, содержащие точки, где
V достигает минимума. Эти области	образуют	«потенциальные
ямы»: система, попавшая в эту область	с малыми скоростями, не
может выйти из нее до тех пор, пока ей не будет придана энер-
гия, достаточная для преодоления «потенциального барьера»

5. Устойчивость равновесия диссипативной системы. Функция Ляпунова. Рассмотрим теперь строго диссипативную систему, т. е. стационарную систему, отличающуюся от консервативной наличием таких непотенциальных обобщенных сил Q*,что

N* = ZQJqj<0,		(38)
если хотя бы одна производная ^фО.		Выше (см. § 3 гл. IV)
было показано, что в стационарном случае dE/dt = N*, и поэтому
для строго диссипативной	системы dE/dt<lO, т. е. во время дви-
жения энергия непрерывно убывает.
Достаточные условия	устойчивости	равновесия строго дис-
сипативных систем определяет
Теорема . Если в положении равновесия строго диссипатив-

ной стационарной системы потенциальная энергия имеет строгий минимум и если это положение равновесия является изолированным то оно асимптотически устойчиво.

Д о к а з а т е л ь с т в о . При доказательстве теоремы Лагранжа для консервативных систем мы, предполагая лишь, что в рассматриваемой точке функция V имеет строгий минимум и что энергия сохраняется во время движения, установили устойчивость равновесия в этой точке. Это доказательство тем более сохраняется, если считать, что во время движения Е убывает. Поэтому нет необходимости заново доказывать устойчивость равновесия в условиях, когда система не консервативна, а диссипативна; чтобы доказать теорему, надо дополнительно показать лишь, что при условиях этой теоремы существует такая А-окрестность на-

§ 5 УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ

2 3 1

чала координат фазового пространства, что движения, начав-

шиеся в этой окрестности, удовлетворяют условиям1)
lim q, (t)= 0,	lim<jj,(/)= 0	(/= 1, ..., n).	(39)
t-+CO	t-ЮО
Выберем положительное число а.		Если положить	е = а, то

в силу обычной устойчивости можно по а найти окрестность б (а). На выбор числа а > 0 наложим лишь одно ограничение: в а-окрестности начала координат фазового пространства не содержится иных положений равновесия. Такой выбор числа а всегда

возможен, так как по условию теоремы					положение равновесия
является изолированным.
Докажем		теперь, что если выполнены			условия		теоремы, то
в качестве		Д-окрестности может быть		выбрана		указанная выше
б (а)-окрестность.
Рассмотрим произвольное движение,				начавшееся			в б (^-окре-
стности	начала координат фазового		пространства и в силу устой-
чивости	равновесия не выходящее		за	пределы		а-окрестности
Назовем его движением Р.
В процессе движения Р в силу			условий теоремы				сохраняется

неравенство dE/dt<.0, т. е. энергия Е монотонно убывает, оставаясь все время положительной. Следовательно, при движении Р существует предел

hm £ ( * ) = £ „ .

	f-*oo
Это предельное значение Ею			заведомо неотрицательно. Если
£ ^ = 0, то это означает,	что во время движения Р как |<7/|->0,
так и | Cjj | -*• 0, поскольку		в пределах		б-окрестности Е = 0 только
в начале координат в силу		предположения теоремы о том, что
изучаемому равновесию	соответствует			изошрованный минимум
функции V (q).

Чтобы завершить доказательство теоремы, нам осталось доказать лишь, что Е^ не может быть положительным числом. Пред-

положим	обратное,		т. е. допустим, что £T O >0.		Условие Е =
= £ о о > 0	выделяет		в фазовом пространстве гиперповерхность S,
и если в	процессе		движения Е(t)-*-Е^Х),	то	это означает,
что движение Р		неограниченно приближается		к поверхности 5.
Действительно,		так	как изображающая точка	(q(t), q (t)} при

движении Р расположена в а-окрестности, то, выбирая произвольную последовательность моментов времени /Л-»-оо (й->оо),

*) Как и при доказательстве теоремы Лагранжа, без ограничения общности предполагается, что изучаемому положению равновесия соответствует начало координат фазового пространства. Потенциальная энергия за г чет выбора аддитивной постоянной нормируется так, что в положении равновесия V(0)=0.