Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

212	ГЛ. VI. ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

находится точка. Поэтому положениями равновесия являются точка минимума А, точка максимума В и все точки «плато» С.

Рассмотрим теперь систему, состоящую из двух точек А иВ, связанных пружиной и движущихся в плоскости по заданным

Рис. VI. 1.

кривым (рис. VI.2). В этом примере потенциальная энергия про-

порциональна квадрату растяжения		пружины, и поэтому поло-
жениями	равновесия будут, например, положения AtBu		АгВг и
все точки	«плато» А3В3, в которых	эта длина достигает	локаль-
ных экстремумов.

Подобным же образом в общем случае консервативной системы с п степенями свободы, когда потенциальная энергия является

функцией	от п обобщенных		координат qlt ,.., qn,			положениям
равновесия	соответствуют		точки	координатного		пространства,
в которых	достигаются стационарные значения функции V (q).
§ 4. Линейное приближение уравнений, описывающих
	движения вблизи положения равновесия
Далее в этой главе		будут изучаться			некоторые особенности
движений стационарных		систем, происходящих вблизи положения
равновесия.
Пусть q) (/= 1, ..., п) — исследуемое					положение равновесия.
Переместим начало координат в				точку	q), т. е. будем считать,

что q) = 0 (/= 11 ..., п) и что qt —отклонения обобщенных координат от их равновесных значений. Тогда в 2п-мерном фазовом пространстве q, q положению равновесия тоже соответствует начало координат, так как при равновесии все q равны нулю.

Исследуя движения, происходящие в малой окрестности положения равновесия, мы будем считать, что во время таких движений все qj и (\j —малые величины одного и то же порядка мало-

сти. Ограничимся в уравнениях лишь	малыми первого порядка
и пренебрежем малыми второго и более	высоких порядков.

54 ЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

213

Будем предполагать, что в уравнениях Лагранжа, описывающих движение

d дТ

дТ

г-

.-.

dV

все непотенциальные части обобщенных сил Q* являются функциями только q и q и не зависят явно от t.

Чтобы сохранить в этих уравнениях лишь малые первого порядка, разложим функции Т, V и Q* в ряды по всем независимым переменным q и q и ограничимся в разложениях Т и V малыми второго порядка1), а в разложении Qf — малыми первого порядка.

Врассматриваемом стационарном случае

ичтобы сохранить в разложении Т лишь малые второго порядка,

надо разложить в ряды коэффициенты alk и ограничиться в этих разложениях «нулевыми» членами, не содержащими множите-

лей qj, т. е. положить

aJk (q) «* aJk (0).

Обозначим полученные так величины через afk — ajk(0); тогда

Это выражение является квадратичной формой от обобщенных скоростей с постоянными коэффициентами. Из физического смысла понятия кинетической энергии следует, что функция Т равна нулю лишь тогда, когда все qj одновременно равны нулю, и положительна, если хотя бы одна из q, отлична от нуля. Квадратичная форма, удовлетворяющая этим условиям, называется положительно определенной, а матрица, составленная из ее коэффициентов,

называется матрицей положительно определенной квадратичной формы, или просто положительно определенной матрицей.

Обратимся теперь к выражению для обобщенной силы

П дУ(«?) | п* in Л\

г) Тогда входящие в уравнения Лагранжа частные производные dT/dq, будут малыми первого порядка.

214 ГЛ.VI ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

и разложим это выражение в ряд

где многоточием заменены остальные (нелинейные) члены разложения. Величина, стоящая в первой квадратной скобке, равна нулю, так как она равна значению обобщенной силы в положении равновесия

Введем обозначения

		_	(dQ*j{q,	q)
W-Kdq/dqJg-t'	*»-		\ [ -dqJ k	/,=J= o»
				1	\ &4k jq—q	= O
Пренебрегая в	разложении (12) нелинейными членами и исполь-
зуя только что введенные			обозначения, получаем
	Qj=	— Z J \P%qk-\-{cjk +c/ft) qk\			(13)
			к
Подставим теперь		в уравнения		Лагранжа (10) выражения (11)
и (13) для Т и Qj соответственно:
						(14)
В векторно-матричной записи				эта система	уравнений	имеет
вид
						(15)

здесь А, В*, С и С* —квадратные матрицы, составленные из элементов aJk, b%, 9* и с% соответственно, a q является п-мерным вектором-столбцом, составленным из обобщенных координат.

Линейные дифференциальные уравнения (14) (или (15)) называются уравнениями линейного приближения. Они приближенно описывают движения, происходящие в малой окрестности положения равновесия. Уравнения линейного приближения (14) сами по себе не определяют размеров области, в пределах которой точные нелинейные уравнения (10) могут быть заменены этими

§ 4. ЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

215

линейными уравнениями. Границы этой области зависят от отброшенных нами членов высшего порядка в разложениях функций Т, V и Q*. В частных случаях может оказаться, что эта область весьма велика, например, заведомо охватывает все возможные движения системы.

Вернемся к уравнениям линейного приближения (15). Из

теории дифференциальных уравнений известно,	что решение си-
стемы уравнений (15) имеет вид
где Xk —корни уравнения
det [|АЯ2 + В*Л. + (С+ С*)| = 0,	(16)

которое называется характеристическим уравнением линейного приближения. Каждый элемент этого определителя я-го порядка является квадратичным полиномом относительно А; поэтому левая часть характеристического уравнения линейного приближения — характеристический полином —представляет собой полином степени т =2п.

Уравнения (15) отличаются от общего случая системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными

коэффициентами	только		тем, что матрица	А не произвольна,
а всегда является		матрицей положительно		определенной квадра-
тичной формы.
Выделим теперь два частных случая, когда					уравнения (15)
принимают более специальный вид.
К о н с е р в а т и в н а я			система . В случае		консервативной
системы Q*= 0,	поэтому		все b%= cfk = O и уравнения линейного
приближения (15) сводятся к виду
			= 0.		(17)
Характеристическое		уравнение (16) соответственно			имеет вид
		det IАЛ.2 -|-СI = 0.			(18)

Если дополнительно предположить, что не только А, но иС является матрицей положительно определенной квадратичной формы, то (как мы покажем далее) всекорни характеристического уравнения (18) будут чисто мнимыми.

Д и с с и п а т и в н а я система . Пусть теперь Q*^0 , но зависят лишь от обобщенных скоростей. В этом случае вблизи положения равновесия

216 ГЛ VI ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

Разумеется, система является диссипативной не всегда, т. е. не при любом выборе чисел bjk. Найдем условия, которым должны удовлетворять числа Ъ% для того, чтобы система была диссипативной. С этой целью введем квадратичную форму

тогда

Функция R называется функцией Релея.

Если рассматриваемая система диссипативна, то

dE

dt dt

где N* — мощность непотенциальных сил (см. § 3 гл. IV).

Но в силу (20) и теоремы Эйлера об однородных функциях

и из условия N* < 0	следует, что R > 0, если хоть	одна обоб-
щенная скорость Q] отлична от нуля.
Таким образом, для диссипативной системы функция Релея
является положительно	определенной квадратичной	формой, и

в уравнениях движения

А и В* будут матрицами положительно определенных квадратичных форм.

§5. Устойчивость равновесия

1.Общие понятия об устойчивости. Вернемся к рис. VI. 1. Хотя точки Л и Б и все точки «плато» С являются положениями

равновесия материальной точки, находящейся в поле силы тяжести на изображенном на этом рисунке рельефе, интуитивно ясно, что они не равноценны. Если материальная точка помещена в достаточно малую окрестность точки А и имеет достаточно малую начальную скорость, то возникающее затем движение не выведет ее за пределы малой окрестности точки А. Более того, чем ближе к точке А помещена материальная точка в начальный момент и чем меньше ее начальная скорость, тем в меньшей окрестности точки А будет происходить последующее движение.

Иначе обстоит дело для положения В. Как бы мало ни была отклонена материальная точка из В и как бы мала ни была ее

			§ 5. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ						2 1 7
начальная	скорость, материальная точка в процессе движения не
останется	вблизи		В	и отойдет	от	нее	на конечное расстояние —
например,	переместится в окрестность точки А.
Несколько сложнее обстоит дело для внутренних точек «плато» С.
Если отклонить			материальную		точку		из	С так, чтобы	она еще
осталась	на	«плато»,		и не сообщать			ей	начальной скорости, то
материальная		точка останется в равновесии в новой точке «плато»;
но если сообщить ей начальную						скорость, то, как бы			ни была

мала эта скорость, материальная точка, двигаясь вдоль «плато», выйдет за пределы малой окрестности положения равновесия и

сойдет	с «плато».
Аналогично обстоит дело и в		более сложных случаях: поло-
жения	равновесия можно классифицировать в зависимости от
того,	остается или нет система	вблизи этого положения после

малого возмущения. Положение равновесия называется устойчи-

вым

в первом случае

и неустойчивым — во втором.

"Дадим теперь

точные определения.

Положение равновесия q1} (/ =

1, . . . ,

п)

называется устойчивым,

если для

каждого

числа е > 0

найдется

такое

число б > 0 , зави-

сящее от

е,

что если начальные

отклонения

в фазовом

простран-

стве не выходят за пределы Ь-окрестности

положения равновесия,

т.

е.

8

( / = 1

л),

(21)

то

при любом £ > 0

система

будет

находиться в

Е-окрестности

положения равновесия, т. е. будут

выполняться

неравенства

1 < 7 / ( ' ) - # | < е, 1«у(01<е

(/•=!.

••••")•

(22)

Положение равновесия называется

неустойчивым,

если

найдется

такое

е > 0 ,

что

для

каждого

сколь

угодно малого

б > 0

сущест-

вуют такой

момент

времени / = /*;> 0

и

такие

начальные

откло-

нения qj{0),

qj(O)

(j=U ....

п),

лежащие

в

Ь-окрестности

поло-

жения равновесия, т. е. удовлетворяющие

неравенствам

(21), что

или

хотя

бы

для

одного /.

В

определении

устойчивости

равновесия

речь

идет

о любой

е-окрестности, но, разумеется,

достаточно

убедиться,

что нера-

венства (22) при условии (21) выполнены для любой малой е-ок- рестности. Действительно, если условия (22) выполнены для

«малой»	е-окрестности,	то эти	же условия заведомо выполнены
для «большой» е-окрестности. В			связи с этим	положение равно-
весия,	удовлетворяющее	приведенному определению, иногда на-
зывают	устойчивым по	отношению к малым		отклонениям или

218 ГЛ. VI. ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

«устойчивым в малом». В определении никак не оговариваются границы или размеры области начальных отклонений, при которых движение остается в окрестности положения равновесия. С этой точки зрения положение А на рис. VI.1 устойчиво независимо от размеров «лунки» вблизи А, а положения В и С неустойчивы, сколь бы полога ни была кривая вблизи точки Вили сколь бы длинно ни было «плато» С.

Устойчивость обеспечивает пребывание системы вблизи положения равновесия при достаточно малых отклонениях, но не гарантирует возвращения в положение равновесия или даже асимптотическое стремление к нему при 2->оо. Между тем интуитивно ясно, что даже в простейшем случае, показанном на рис. VI. 1, устойчивость может сопровождаться (например, если учесть наличие сил сопротивления) или не сопровождаться (например, когда нет иных сил, кроме веса) асимптотическим стремлением к равновесию. Чтобы учесть это различие, вводится понятие об асимптотической устойчивости.

Положениеравновесия q) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и, если, кроме того, существует такая А-оКрестность точки qj = q), qj = 0 (/= 1, ..., п), что дляecexfy0 —

— $/(< Д, 1 qj (0) | < А выполняются условия

	l\m qj(t) = qj,	lim $,(*) = О	(/ = 1				л).	(23)
	t -»со	t -»оо
Если	иметь в виду	простейший случай,			представленный на
рис. VI.1, то кажется, что привыполнении условия (23) заведомо
имеется	и устойчивость, т. е. выполнено			условие			(22). Вообще
		говоря,		это не так, и может
		оказаться,			что условие (23) вы-
		полнено, а условие (22) не вы-
		полнено.		Так, например, обсто-
		ит дело, если				после любого на-
		чального		отклонения qf = а бу-
		дет	возникать			движение, при
		котором qj (t) достигает некото-
		рого	конечного				значения, ска-
	Рис. VI.3.	жем,	равного			1, в		момент
		t=l/a,		а	далее		с	ростом t

монотонно уменьшается до нуля (рис. VI.3). Легко видеть, что при этом условие (23) выполнено, а условие (22) не выполнено. Между тем такое протекание интегральных кривых возможно для систем дифференциальных уравнений, алгебраически разрешенных относительно старших производных, а значит, и для уравнений Лагранжа.

Обратим внимание читателя на то, что область 6(е), о которой шла речь в определении обычной устойчивости, зависит от в,

5 5. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ

219

а область А, о которой идет речь в определении асимптотической устойчивости, от е не зависит. Поэтому для каждого значения е существует некоторая область б* (е), являющаяся пересечением областей б(е) и А. Движения, начавшиеся в б*-окрестности начала координат, не только не выходят за пределы е-окрест- ности, но и стремятся к началу координат при t-*-oo.

Наша цель состоит в том, чтобы сформулировать (а в некоторых случаях и доказать) критерии, позволяющие установить, устойчиво ли положение равновесия. Критерии такого рода мы рассмотрим отдельно для консервативных систем, диссипативных систем и систем общего вида.

2. Суждение об асимптотической устойчивости по линейному приближению. Вернемся к уравнениям линейного приближения (15). Из того факта, что решения системы уравнений линейного приближения (15) имеют вид

где kk —корни характеристического уравнения (16),сразу следует, что для того чтобы положение равновесия системы, которая описывается уравнениями (15), было асимптотически устойчивым, надо, чтобы все действительные %k были отрицательны, а все комплексно сопряженные Xk имели отрицательные действительные части

R e ^ < 0	(k=l, 2, ..., m =2«),
т. е. чтобы все точки, изображающие		эти корни, были располо-
жены в комплексной плоскости слева		от мнимой оси (рис. VI.4).
Непосредственно не	ясно, каким	образом асимптотическая

устойчивость, определяемая линейными уравнениями (15),связана

с	асимптотической			устойчиво-			\Ш
стью,		определяемой		истинными
исходными нелинейными					урав-
нениями (10). Наличие				этой	свя-		°
зи	устанавливает		следующая				°
	Теорема		(Ляпунова) .			__о	^
Если все корни характеристичес-
кого		уравнения	(16)	системы			о
дифференциальных уравнений ли-							°
нейного приближения (15) имеют
отрицательные			действительные
части, то положение равновесия							р и с yi.4.
q = 0 исходной системы, описывае-

мойуравнениями(10), асимптотически устойчиво. Если хотя бы один корень характеристического уравнения (16) имеет положительную действительную часть, то положение равновесия, определяемое системой (10), неустойчиво.

220 ГЛ. VI. ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

Отсылая читателей, интересующихся доказательством этой теоремы, к книгам по устойчивости движения1), обратим внимание на следующие обстоятельства. Теорема Ляпунова о линейном приближении определяет только достаточные условия асимптоти-

ческой	устойчивости	равновесия, так как она не решает вопроса
о том,	устойчиво ли	равновесие в том случае, когда характери-
стическое уравнение		(16) линейного приближения (15) наряду

с корнями с отрицательными действительными частями имеет чисто мнимые корни (т. е. корни, которым на рис. VI.4 соответ-

ствуют точки, расположенные		на самой мнимой оси). Такие слу-
чаи	называются особыми. В	особых случаях равновесие может
быть	как устойчивым, так и неустойчивым, и вопрос об исследо-

вании устойчивости в случаях такого рода представляет собой трудную задачу, которая не может быть решена только рассмотрением линейного приближения (16) и требует учета членов высших порядков в разложениях функций, входящих в уравнения (10).

Теорема Ляпунова об устойчивости линейного приближения сводит задачу об определении того, является ли равновесие асимптотически устойчивым, к чисто алгебраической задаче: задано характеристическое уравнение (16); требуется, не решая этого уравнения, определить, все ли его корни расположены слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные действительные части. Задача такого рода носит название задачи (проблемы) Гурвица2). Существует ряд критериев, позволяющий непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения (16), не решая его, ответить на вопрос, все ли корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси. Полиномы, которые удовлетворяют этому условию, иногда называют гурви-

цевыми.

1) См., например, Ч е т а е в				Н. Г. Устойчивость движения.—М.: Гостех-
издат,	1955.
2)	Проблема	Гурвица	возникла при следующих обстоятельствах: Максвелл,
изучая	причины	потери	устойчивости регулятора прямого действия паровой
машины, установил, что			задача	эта сводится к выяснению того, имеют ли все

корни некоторого алгебраического уравнения отрицательные действительные

части. Решив эту

задачу

для частного случая

уравнений

третьей степени, он

сформулировал

ее в общем

виде, и по его

предложению

она была

объявлена

задачей

на

заданную

тему

на премию Адамса. Эту

задачу решил

и

премию

Адамса

получил

Раус,

установивший

алгоритм,

позволяющий по коэффициен-

там уравнения

решить,

все

ли его

корни расположены слева от мнимой оси.

Позже,

не зная

о работах Максвелла и Рауса,

известный

словацкий

инженер-

турбостроитель

Стодола

пришел к

той же

задаче,

исследуя причины

потери

устойчивости

регулируемых

гидравлических

турбин.

Он обратил на эту

задачу

внимание цюрихского математика Гурвица, который, также не зная о работах Максвелла и Рауса, самостоятельно решил ее, придав критерию замкнутую форму. Связь между алгоритмом Рауса и критерием Гурвица была установлена позднее.

$ 5. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ

2 2 1

3. Критерии асимптотической устойчивости линейного приближения. Из различных критериев, дающих решение задачи Гурвица, мы приведем здесь только сам критерий Гурвица и графический критерий (часто более удобный для практического использования), предложенный А. В. Михайловым в 1938 г.

Прежде чем сформулировать эти критерии, укажем важный необходимый признак устойчивости. Для этого раскроем определитель в характеристическом уравнении (16), и, собрав подобные члены, представим левую часть уравнения в виде полинома степени т1)

4					(24)
где коэффициенты Л,- являются алгебраическими				функциями от
коэффициентов c,-ft уравнений линейного приближения (15).
Н е о б х о д и м о е	у с л о в и е у с т о й ч и в о с т и .				Для	того
чтобы характеристический полином		(24) был	гурвицевым, т. е.
имел все корни, расположенные слева		от мнимой оси, необходимо
(но не достаточно*.),	чтобы все коэффициенты Ah		(h = 0,		I, ...,	т)
были строго положительными.
Этот необходимый признак устанавливается сразу, если исполь-
зовать теорему Безу	и записать характеристический			полином (24)
в виде
	л, П(*-**)•				<25)
где Я^ —корни характеристического уравнения.			(Мы считаем,			что

Л 0 > 0 ; если это не так, то характеристический полином надо предварительно умножить на — 1.)

Действительно, если подставить в полином (25) в качестве Я,-

отрицательные	действительные	числа	или комплексные числа
с отрицательной	действительной	частью	и учесть, что последние

входят в эти произведения лишь комплексно сопряженными па-

рами (так как коэффициенты			полинома —действительные числа),
то получится полином, в		котором все коэффициенты отличны от
нуля и положительны.
Необходимое условие		позволяет сразу исключить из рассмот-
рения полиномы, в	которых		имеются отрицательные коэффици-
енты либо пропуск	членов, —такие полиномы заведомо не явля-

ются гурвицевыми. Приступим теперь к рассмотрению критерия устойчивости в случае, когда это необходимое условие выполнено.

1) Если не рассматривать вырожденные случаи, то в задачах механики т = 2я, т. е. степень полинома (24)всегда четная. Устанавливаемые далее критерии устойчивости не используют этого обстоятельства и верны при любом т.