Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

232 ГЛ VI ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВГСИЯ

получаем последовательность точек ak = (q(tk), q(tk)). Поскольку последовательность ак ограничена, из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Пусть as = (q(ts), q (ts)) — указанная подпоследовательность, и пусть

as-*a* = (q*, q*).

Так

как

UmE(q(t),

<?(/)) = £„,

то

E(q(ts),

q(ts))-^Em,

и из

/ —»оо

непрерывности функции

E(q,

q)

следует,

что E(q*,

q*) = Eoc,

а это значит, что точка а* лежит на поверхности S.

Примем теперь точку as

за

начальною и «выпустим»

из нее

движение Ps.

Так как точки

as

«принадлежат»

движению Р, дви-

жение, начавшееся в as, будет

совпадать с продолжением движе-

ния

Р.

Поэтому значения

энергии

Е в

движениях

Ps

будут

удовлетворять неравенствам

С другой

стороны,

«выпуская»

движение

из

точки a* = (q*, q*)

в силу условия теоремы получаем,

что обязательно

существует

такой конечный момент времени t,

для

которого dE* {t)/dt<c О

(здесь £*(/) — значение

энергии

в движении Р*). Поэтому

Е* ({)•<.Ел.

Следовательно,

значения энергии в движениях Ps и

в движении Р* в момент времени / отличаются на конечную

величину

Ет

—Е* (f), несмотря

на

то,

что

начальные

точки

(qs, qs) и (q*, q*) этих движений сколь угодно близки, а это

противоречит

теореме о непрерывной

зависимости решений диф-

ференциальных уравнений от начальных данных. Уравнения же Лагранжа всегда алгебраически разрешимы относительно старших производных, и предполагается, что для них теорема эта верна. Мы пришли к противоречию, показывающему, что предположение Е ^ ^ О ошибочно. Теорема доказана.

При доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости консервативной системы и только что доказанной теоремы об асимптотической устойчивости диссипативной системы мы нигде не использовали того факта, что функция Е имеет смысл механической энергии системы. При доказательстве теоремы Лагранжа были использованы лишь следующие три свойства функции Е:

1) функция Е положительна во всех точках е-окрестности начала координат фазового пространства и обращается в нуль

водной точке —в начале координат;

2)функция Е непрерывна в начале координат;

3)производная по времени от функции Е, вычисленная при любом движении, происходящем в е-окрестности, равна нулю всюду в этой окрестности, кроме начала координат.

Условие о том, что в рассматриваемой точке функция V{q)

имеет строгий минимум, понадобилось нам только для того,

	§ 5 УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ	233
чтобы показать,	что полная энергия системы удовлетворяет	этим
условиям и что	поэтому ее можно использовать для построения
приведенных доказательств. Доказательства полностью сохрани-
лись бы при введении в рассмотрение какой-либо другой функ-

ции фазовых координат (обобщенных координат системы и их производных), удовлетворяющей указанным выше трем условиям, хотя уже и не имеющей смысл механической энергии.

Приведем теперь теорему, которая является далеко идущим обобщением теоремы Лагранжа для консервативных систем и

доказанной выше теоремы		для диссипативных систем		и вместе
с тем является	частным случаем общей теоремы об устойчивости
движений, доказанной Ляпуновым.
Эта теорема	касается систем дифференци альных			уравнений
общего вида	*i = X,(x)	( i = l	N).	(40)

Уравнения Лагранжа (10) легко сводятся к уравнениям вида (40). Теорема Л я п у н о в а . Если можно найти такую непрерыв-

ную функциюV (х), что

а) она имеет положительные значения в некоторой малойе- окрестности начала координат и в ней обращается в нуль лишь в начале координат и

б) полная производная от этой функциипо времени, вычислен-

ная в силу уравнений (40)1),					неположительна во всех точках е-
окрестности	начала координат, то исследуемое положение равно-
весия х = 0 устойчиво. Если дополнительно известно,									что эта
производнаяотрицательна				во всех точках			г-окрестности начала
координат и обращается в нуль лишь в самомначалекоординат,
то положение равновесия х = 0 устойчиво асимптотически.
Доказательство			теоремы дословно			повторяет доказательство
теоремы Лагранжа —Дирихле для консервативной системы (когда
утверждается,	что производная dV/df					неположительна)			и доказа-
тельство теоремы об условиях					устойчивости		равновесия диссипа-
тивной системы		(когда утверждается,				что производная			dV/dt от-
рицательна всюду в е-окрестности).
Доказанная		выше теорема			Лагранжа и теорема об условиях
устойчивости	равновесия			для	диссипативной			системы	являются
частными случаями			этой	теоремы,		которые		получаются, если
в качестве функции V взять					полную	энергию		системы. Условия
') Производной функции V (х),					вычисленной в гилу			уравнений	(40), назы-
вают функцию фазовых			координат, которая строится следующим образом
				N	N

dV [x(p] _ удУ

у дУ

234	ГЛ	VI ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
указанных		теорем и обеспечивают как раз то, что полная энер-
гия системы может служить такой функцией			V, т. е. удовлетво-
ряет условиям теоремы Ляпунова. В общем			случае функция V,

удовлетворяющая этим условиям, называется функцией Ляпунова. Заметим, что если для системы уравнений (40) известен какойлибо первый интеграл, т. е. функция, которая при движении системы не изменяется, и если эта функция непрерывна в малой

окрестности начала координат,			положительна в ней	и имеет
в самом начале	координат нулевое значение, то такой			интеграл
уравнений (40) является для		этих уравнений функцией Ляпунова.
Действительно,	производная	от	такой функции, вычисленная

в силу тех же уравнений (40), заведомо равна нулю. Поэтому наличие первого интеграла, удовлетворяющего указанным выше условиям, гарантирует устойчивость равновесия системы (40) (разумеется, не асимптотическую). Полная энергия консервативной системы как раз является примером интеграла такого рода. Из этого замечания сразу следует, что полная энергия консервативной системы не является единственным примером первого интеграла, который может быть использован для доказательства устойчивости.

П р и м е р . В качестве примера	решения задачи об устойчиво-
сти движения путем надлежащего	выбора функции Ляпунова V

рассмотрим задачу об устойчивости перманентных вращений твердого тела, движущегося по инерции относительно неподвижной точки. В гл. V было показано, что уравнения движения по инерции тела с неподвижной точкой можно записать так:

(42)

Переменными в этом уравнении являются р, q, л—проекции вектора угловой скорости ю на оси | , т), £ системы координат, жестко связанной с телом; эти оси выбраны по главным осям инерции тела (см. гл. V), а А, В, С —константы. В гл. V перманентными вращениями были названы движения, которые происходят в одном из следующих трех случаев:

1°	Р = Ро = const,	q = r = 0;
2°	Я= Яо = const,	p = r = 0	;
3°	r = r0

Иначе говоря, перманентными называются вращения, которые происходят с постоянной угловой скоростью вокруг одной из

	9 В. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ										236
главных осей инерции,			проходящих					через	неподвижную		точку.
В качестве	примера рассмотрим случай 1°; остальные два										случая
исследуются	аналогично.
В обозначениях		х1 = р—р0,				x2 = q, х3~г			уравнения (42) при-
нимают вид
		d*!		В—С
		dx3	_	С— А
		"fit	—		g	хз	(xi	~г Ро)>
		dx3			А-В
		-щ~ ~				с	г
Рассмотрим случай,		когда		А меньше как В, так и С. В качестве
функции Ляпунова		выберем функцию
V = [Ах\ + Вх\ + Сх% + 2Apnx1f							+ В(В-		А)х\ + С (С -		A) *j. (43)
Легко видеть, что		эта функция непрерывна, обращается									в нуль
в начале координат		и положительна						в остальных		точках	вблизи
него. Следовательно, функция						V	удовлетворяет			условиям, при

которых она может служить функцией Ляпунова для рассматриваемой задачи. С другой стороны, легко видеть, что производная dV/dt, вычисленная в силу уравнений движения, тождественно обращается в нуль, т. е. выбранная функция является первым интегралом уравнений движения. Хотя теперь функция У и не является полной энергией системы, мы, применяя теорему Ляпунова, сразу устанавливаем, что перманентное вращение 1° устойчиво.

Предположив теперь, что А больше, чем В,	и больше, чем С,
и взяв в качестве функции Ляпунова ту же	самую функцию,

но заменив у членов, стоящих вне квадратной скобки, знак плюс на минус, вновь приходим к тому же выводу.

В гл. V было показано, что коэффициенты А, В и С представляют собой моменты инерции относительно осей | , TJ, £ соответственно. Отсюда сразу следует, что при движении тела с неподвижной точкой перманентное вращение вокруг тех главных осей, относительно которых момент инерции наименьший и наибольший, будет устойчивым. Применяя теорему Четаева о неустойчивости, можно показать, что перманентное вращение вокруг третьей оси (момент инерции относительно которой —средний по величине) неустойчиво.

Теорема Ляпунова позволяет установить, является ли исследуемое положение равновесия в общем случае устойчивым (либо асимптотически устойчивым) в зависимости от того, можно, или нельзя подобрать функцию Ляпунова для конкретной рассматриваемой задачи. Сама по себе теорема не дает каких-либо рекомендаций в отношении того, каким образом можно выяснить

236 ГЛ. VI. ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

вопрос о существовании такой функции. Известны, однако, теоремы, обращающие теорему Ляпунова, т. е. устанавливающие, что во всех случаях, когда имеет место устойчивость, такая функция заведомо существует. Поэтому каждый раз при проверке устойчивости с помощью теоремы Ляпунова возникает творческая задача, которая не может быть решена с помощью какого-либо наперед заданного алгоритма, —найти такую функцию и тем самым установить устойчивость. Разумеется, если это сделать не удалось, то это еще не значит, что равновесие неустойчиво, так как остается открытым вопрос: нельзя ли каким-либо иным способом все же найти функцию Ляпунова для рассматриваемой задачи. В этом смысле использование теоремы Ляпунова —дело опыта и удачи. Однако значение этой теоремы состоит не только в том, что она дает в руки исследователя средство для творческого решения задачи, но и в том, что, опираясь на нее, можно

доказать	теорему об устойчивости по линейному приближению,
о которой	речь шла выше.

§ 6. Движение консервативной системы в малой окрестности положения равновесия

(в линейном приближении)

В предыдущем параграфе мы исследовали лишь вопрос об

устойчивости равновесия,	т. е. качественно	оценили движения,
возникающие при малом	отклонении от положения равновесия.
В этом параграфе будет детально изучаться		характер движений,

которые протекают Еблизи положений устойчивого равновесия. Будем считать, что начальные отклонения лежат в столь малой окрестности начала координат фазового пространства, что в силу устойчивости движение не выходит за пределы малой окрестности начала координат и с достаточной точностью описывается уравнениями линейного приближения (15).

В общем случае тот факт, что уравнения (15) получались линеаризацией уравнений Лагранжа, не придает этим уравнениям каких-либо особенностей, которые позволили бы выписать их решение и изучить возникающие движения проще, чем это могло бы быть сделано при исследовании системы линейных уравнений

самого общего вида. Иначе обстоит дело в том					случае,	когда
система	консервативна	и матрица С= ||cyfe {|	является матрицей
положительно определенной квадратичной формы1). Тогда в урав-
нениях	линейного приближения
		0				(44)
1) Матрица С может не		обладать этим свойством,	даже		если выполнены
условия	теоремы Лагранжа — Дирихле. Так, например,			у	консервативной
системы с V = q\-\-q\ в положении равновесия <h = <72= 0				функция V		имеет
строгий минимум, а С= 0.

§ в. ДВИЖЕНИЕ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ

237

обе матрицы А и С будут положительно определенными, и это обстоятельство позволит упростить получение решений и их анализ.

В линейной алгебре доказывается теорема о том, что две квадратичные формы, одна из которых является положительно определенной, могут быть одновременно приведены к сумме квадратов с помощью неособенного линейного преобразования

п
?/ = 2v y A .	(45)
г = 1

При этом после приведения все коэффициенты положительно определенной формы будут равны единице, а коэффициенты второй формы — действительным числам rt:

(47)

Матрица

| Vji \ этого

преобразования и числа гь

которые полу-

чаются

в результате, определяются

методами

линейной алгебры.

Эти

п

чисел rt

являются

корнями

алгебраического уравнения

n-й

степени

Д ==det I!С — гА1 =

= 0.

(48)

сп\

— гап\

• • • спп '

Уравнение (48) называется вековым1).

Все

корни rt

векового уравнения — действительные числа. Если

обе формы, приводимые к сумме квадратов,

являются

положи-

тельно

определенными,

как

в

рассматриваемом

случае,

то все

числа

rt

положительны. Это

доказывается в

линейной

алгебре,

но

можно

установить

и

непосредственно — в

противном

случае

форма

(47)

не была бы

положительна в малой окрестности начала

координат, а это свойство должно сохраняться при преобразованиях координат (45).

Координаты 8; (/ = 1, ... , п) также представляют собой обоб-

щенные координаты		системы. Обобщенные координаты вх, ... , 6„,
в	которых кинетическая и потенциальная энергии		имеют вид (46)
и	(47), называются	главными (или нормальными)	координатами

системы. В силу указанной выше теоремы		линейной алгебры для
!) Название «вековое уравнение» связано с тем, что такое уравнение впер-
вые было	выведено в небесной механике в связи	с исследованием вековых
колебаний	орбит планет.

238 ГЛ VI. ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

каждой консервативной системы можно выбрать (и притом единственным образом) главные обобщенные координаты.

Приняв за обобщенные координаты главные координаты 91, ...

..., 6„ и получив поэтому Г и У в виде (46) и (47), подставим лагранжиан

		п
	L = 4 2 ( 6 ! ~ r < s f )			(49)
в уравнения Лагранжа.
После	выполнения предписываемых этими уравнениями опера-
ций частного и полного дифференцирования			получаем
	b + rfit^O	( / = l , . . . , / i )		(50)
— систему	из п независимых уравнений, описывающих			порознь
изменение каждой из главных координат 9г.
Интегралы уравнений (50)		имеют вид
		(l=h	...,n).	(51)

Сравним теперь вековое уравнение det || С— гА || == 0

с характеристическим уравнением этой же консервативной системы

Они переходят одно в другое при — г = А,2, поэтому

Из того факта, что в рассматриваемом случае все корни rk векового уравнения являются действительными положительными числами, следует, что все 2п корней характеристического уравнения консервативной системы — чисто мнимые. Обозначим их так:

югда

г = — Я2 = — ( ± I)2 i2co2 = со2

и

Поэтому уравнение (51) можно переписать в виде

(52)

Числа со, называются собственными частотами изучаемой консервативной системы. Буквами С1 и q>, в выражении (52) обозначены произвольные постоянные, которые обычным образом опре* деляются через начальные условия.

	§ 6. ДВИЖЕНИЕ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ		239
Итак, при движении консервативной системы в			окрестности
положения	устойчивого равновесия	(соответствующего	по условию
минимуму	потенциальной энергии)	каждая из главных	координат

совершает около положения		равновесия гармоническое колебание
с одной из собственных частот.
Подставляя	выражение	(52) в формулу преобразования (45),
находим закон	движения в исходных обобщенных координатах:
		(53)

Отсюда сразу следует, что функции qj(t) для всех /, вообще говоря, получаются суперпозицией п гармонических колебаний

ссобственными частотами щ. Эти гармонические колебания

( / = ! , . . . , п )

называются главными колебаниями системы. Можно выбрать начальные данные так, чтобы среди п чисел Сг, .... Сп только какоелибо одно, например СЛ, было отлично от нуля. В этом случае

т. е. в системе реализуется /i-e главное колебание. Наоборот, ни при каких начальных данных в системе не может быть реализовано гармоническое колебание, частота которого не являлась бы одной из собственных частот. Поэтому если каким-либо образом удается указать начальные данные, при которых в системе реализуется некоторое гармоническое колебание, то расчет системы при этих начальных данных позволяет определить одну из собственных частот. Этот прием иногда позволяет найти все собственные частоты системы.

В качестве примера рассмотрим малые колебания двух одинаковых плоских маятников, связанных пружиной (рис. VI. 11, а). Интуитивно ясно, что если отклонить маятники на один и тот же угол а и отпустить их затем с нулевыми начальными скоростями (рис. VI. 11, б), то во время колебаний длина пружины меняться не будет, и, следовательно, маятники будут колебаться одинаково, так, как они колебались бы, если бы не были связаны пружиной. Отсюда сразу следует, что одной из собственных частот этой системы является собственная частота одного из маятников при отсутствии пружины.

Интуитивно ясно также, что если отклонить маятники на одинаковые углы в противоположные стороны (рис. VI. 11, в), то колебания маятников также будут гармоническими. Они противоположны по фазе, но совпадают по амплитуде и частоте. Средняя

240 ГЛ VI ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

точка пружины при этом останется неподвижной. Поэтому вторая собственная частота системы будет равна собственной частоте, которую имел бы один из маятников при наличии пружины половинной длины с закрепленным вторым концом, т. е. пружины,

У///////////////,

Рис. VI И.

жесткость

которой

равна удвоенной жесткости истинной пружины,

связывающей маятники. Система, изображенная на рис. VI.11,

имеет

две

степени

свободы;

мы нашли

два

главных

колебания,

возможных

в этой

системе, т.е. все ее

главные

колебания.

Вернемся к уравнениям

(53),

т. е. к колебаниям консерва-

тивной

системы с п степенями свободы.

Амплитуды суммируемых

главных колебаний

зависят

от мно-

жителей

Vji. Матрица преобразования

(45) к главным координа-

там,

составленная

из

этих

множителей,

называется поэтому амплитудной

матрицей

(или матрицей

ампли-

тудных

векторов).

Для

каждого

набора

начальных

данных qj,

qy

( / = 1, ... , п) определяются

значения произвольных

постоянных

Ci

ифг

(/ = 1, ... , п).

Числа

ф(

определяют

сдвиги

фаз

между

гармоническими колебаниями,

соответствующими

отдельным соб-

ственным частотам, — эти

сдвиги

фаз одинаковы у всех обобщен-

ных

координат системы qj (/= 1, ... , п).

Амплитуды

каждого из

этих

гармонических

колебаний,

разные у разных координат qt,

определяются элементами vjt

амплитудной

матрицы.

Какая-либо функция qh (t) может не содержать главного колебания с какой-либо собственной частотой <лг (и притом при любых начальных условиях), если vhr = Q. Даже если все элементы амплитудной матрицы отличны от нуля, все же может случиться, что главное колебание с собственной частотой и>г отсутствует в выра-

§ 7 ВНЕШНЯЯ СИЛА, ЗАВИСЯЩАЯ ЯВНО ОТВРЕМЕНИ

24)

жении для /i-й координаты, но этоможет быть лишь при условии,

что Сг =0, т. е. при некоторых				специальных начальных данных.
И	в таких случаях		главных	колебаний	с частотой		со,-не про-
исходит.
	^В связи с тем, что изученные выше движения консервативных
систем		происходят в малой окрестности положений					устойчивого
равновесия, их часто			называют	малыми колебаниями консерватив-
ных систем.
	В заключение этого параграфа сделаем				следующее		замечание
об	амплитудных векторах v,- (векторах-столбцах					матрицы |у/, |).
В	силу	того, что преобразование (45) неособенное, амплитудные
векторы		линейно независимы. Более того,			если v,= {v,-1, ...,vin\
и vk = {vftl, ..., vkn) —два различных амплитудных						вектора (tф k),

то можно показать, что их «скалярное произведение с весами а«»

равно нулю. В этом выражении ац,— коэффициенты в выражении для кинетической энергии

В этом смысле	амплитудные векторы	«ортогональны».
§ 7. Действие	внешней силы, зависящей явно от времени,
на произвольную стационарную систему приее движении
вблизи	положения устойчивого	равновесия
	(в линейном приближении)
Предположим	теперь, что стационарная система совершает

колебания вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия, но в отличие от случая, рассмотренного выше, будем предполагать, что на систему помимо обобщенных сил, зависящих от обобщенных координат и скоростей, действует также и обобщенная сила, зависящая явно от времени.

Чтобы рассмотреть действие такой обобщенной силы, будем считать, что та часть обобщенных сил,которая зависит от q и q,

уже	учтена присоставлении уравнений линейного приближения.
В отличие от формул		(14) мы представим теперь эти уравнения
при	отсутствии силы,	явно зависящей от времени, в виде

п

2 (fl/W* + bjkqk +cjkqh) = 0 (/ = 1, ..., n), (54)