Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

202	ГЛ. V. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

спостоянной угловой скоростью вокруг какого-либо проходящего через неподвижную точку фиксированного направления, образуя

сэтим направлением постоянный угол б, называется регулярной

прецессией. Неподвижная ось,вокруг которой вращается ось симметрии, называется осью прецессии J ).

Итак, движение по инерции	симметричного (А= В) твердого
тела всегда является регулярной	прецессией, ось которой совпа-

дает с направлением кинетического момента. Угловая скорость щ называется угловой скоростью собственного вращения, а угловая скорость щ —угловой скоростью прецессии. Угловые скорости соц

и со2, угол 9 и направление вектора Ко полностью				определяются
начальными данными. Если эти данные таковы, что вектор ©
в начальный момент		направлен по главной оси инерции, топо
этой	же оси будет	направлен и вектор	Ко (см. примечание на
стр.	187—188). В этом случае будет		происходить	регулярная

прецессия при 6=0, т. е. вращение вокруг стационарной оси.

§ 7. Поддержание регулярной прецессии относительно произвольной оси придвижении симметричного твердого тела с неподвижной точкой

Мы видели выше, что движение симметричного тела с неподвижной точкой по инерции всегда является регулярной прецессией относительно направления кинетического момента. Представим себе теперь, что симметричное тело имеет неподвижную точку (за ось £, как и ранее, выбрана ось симметрии) и что задана какая-либо неподвижная прямая, проходящая через неподвижную точку и уже не совпадающая с переменным в общем случае направлением вектора Ко кинетического момента. Направим вдоль

этой прямой ось г неподвижной в пространстве					системы	х, у, г.
Найдем условия, при которых тело совершает					регулярную пре-
цессию относительно оси г			с заданными а^—угловой скоростью
собственного вращения, со2 —угловой скоростью прецессии и 9 —
углом нутации (рис.V.13).			Разумеется,	таким	движением уже
не может быть движение			по инерции, так как ось прецессии
не совпадает теперь	с	направлением кинетического момента, и
следовательно, для того		чтобы подобного		рода	регулярная пре-
!) То, что движение	симметричного тела по инерции является регулярной
прецессией, может быть	установлено и из геометрической				интерпретации Пу-
ансо (см. стр. 198—199).	Действительно, в случае			А =В эллипсоид		инерции
для неподвижной точки	является		эллипсоидом вращения. Поэтому			при каче-
нии этого эллипсоида без скольжения по неподвижной плоскости, перпендику-

лярной постоянному вектору АГ0, точка касания описывает на плоскости				окруж-
ность. Ось Z, — одна из главных осей эллипсоида; следовательно,			при движении
тела по инерции эллипсоид инерции		(а значит, и тело!) вращается		вокруг
оси £, сама же ось £,	«прочерчивая>	окружность на плоскости,	перпендику-
лярной Ко, вращается	вокруг Ко-

7. ПОДДЕРЖАНИЕ РЕГУЛЯРНОЙ ПРЕЦЕССИИ

203

цессия могла быть реализована, к телу должны быть приложены внешние силы. Задача состоит в том, чтобы определить, каким должен быть Мо — главный момент приложенных сил относительно неподвижной точки О, чтобы осуществлялось заданное движение.

При регулярной прецессии со, и <о2 постоянны; поэтому модуль угловой скорости | соj не меняется, вектор угловой скорости со всегда лежит в плоскости, проходящей через заданные направления (ось прецессии г и ось симметрии тела £), и углы между направлением со и указанными двумя осями г и £ также остаются псстоянными.

	Проведем через		ось £ и ось г плоскость П (рис. V.14). Пусть
эта плоскость пересекает плоскость \Ох\по прямой R. Угол между
осями £ и г, по условию зада-
чи	заданный	и постоянный,
как и ранее, обозначим через
6.	Поскольку	(olt	co2 и 9 по-
тоянны, модуль		вектора со и

угол

между

направлением со и осью

£

будут сохранять

посто-

янное

значение.

Как и в случае

движения по

инерции

симметричного

тела,

не только вектор

со, но и вектор

Ко лежит в плоскости П. Это

доказывается

так

же,

как и при

рассмотрении

случая

Эйлера

для симметричного

тела,

поскольку

при

доказательстве

этого

факта

мы опирались только на симметрию

тела

и не использо-

вали того, что движение происходит по инерции.

Проекции

вектора

со на направления

£ и R,

равные

г

и

УргЛ-Цг соответственно, постоянны, поскольку

постоянны

со|

и угол между

со и осью £.

Значит,

постоянны

и

проекции

Ко

на направления £ и R, равные Сг

и A yrp2-}-q2.

Следовательно,

ни модуль

\Ко\,

ни

углы

между

Ко

и направлением £ не ме-

няются. Отсюда сразу следует, что вектор

Ко< в с е

время

лежа-

щий

в плоскости П,

неподвижен

в

ней. Но вся

эта плоскость

по условию заданной прецессии вращается

вокруг

направления z

204	ГЛ. V. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

с угловой скоростью <а.2. Поэтому скорость конца вектора Ко> равная, как всегда, производной от вектора Ко п о времени, представится векторным произведением щхКо', таким образом,

^ • = w2 X/fo = Mo.

(80)

Для того чтобы вычислить это векторное произведение, введем систему координат с осями £, R и N (N —прямая, перпендикулярная плоскости П, см. рис. V.14). Это—главные оси инерции, поскольку эллипсоид инерции представляет собой эллипсоид вращения. Пусть /, J и Л—орты осей N, R и £ соответственно; тогда

У к

(81)

Подсчитаем проекции векторов щ и Ко на оси R и £:

							(82)
							(83)
В	двух последних		равенствах ]/р2-Ь<72 и г можно выразить				через
сох	и ю2> т а к как
	| / р 2	+ <72 = Пр^ю = Пр к (в)х + еэ2) = ш2sin 6,
			г = Пр£<» = ПрЕ («1+ <»2) = Щ+ Щcos8;
следовательно,
					= /4co2sine,		(84)
				Го= С(щ + (о2 cos 6).			(85)
Подставляя выражения				(81)—(85) в формулу (80), получаем
		I	I		k
Mo = <»a X Ко		0	ш2sinв		©a cos9
		0	А(ог	sin6	С (со! + со2 cosв)
		/со2 sin 8[С(щ + со2c o s s ) — А®гcos				^ ] =
	Поскольку	сох©, sin 8 = ш2 х ©!, это равенство				можно записать
так:
				х ©О[с+(С- Л) ^ cos б].			(87)

Формула (87) называется основнойформулой гироскопии. В частном случае, когда угловая скорость собственного вращения

i 7. ПОДДЕРЖАНИЕ РЕГУЛЯРНОЙ ПРЕЦЕССИИ

205

значительно больше угловой скорости прецессии, т. е. ^ г можно пренебречь вторым членом в квадратных скобках и приближенно переписать эту формулу так:

(88)

Формула (88) называется приближенной формулой гироскопиих). В силу этой формулы момент, который нужно приложить для того, чтобы поддержать прецессию, по направлению определяется векторным произведением заданных угловых скоростей, а по величине отличается от модуля этого векторного произведения лишь постоянным множителем, равным моменту инерции тела относи-

тельно оси симметрии.

Рассмотрим теперь ось, на которой закреплено симметричное тело, например маховик, вращающийся с достаточно большой угловой скоростью ©!• Ось закреплена на шарнире, являющемся, таким образом, неподвижной точкой для тела, состоящего из оси и закрепленного

на ней маховика (рис. V.15). Предположим, что к противоположному концу оси в плоскости рисунка приложена сила F, стремящаяся повернуть ось с вращающимся на ней маховиком, т. е. сила, обусловливающая момент М, направленный перпендикулярно рисунку «от нас». Тогда легко видеть, что для того чтобы выполнялось равенство (88), угловая скорость ю2 должна быть направлена в плоскости рисунка перпендикулярно направлениюоси. Но это значит, что скорость той точки оси,

в которой приложена сила F,	направлена не		по	направлению
силы, а перпендикулярно ей, «от нас». Если бы			тело не враща-
лось вокруг оси, то сила F вызвала бы скорость,				совпадающую
по направлению с силой. Только благодаря тому,				что тело вра-
щается с угловой скоростью ыи	сила	вызывает не		движение оси
в направлении силы, а прецессию,		в результате		чего скорость

конца оси направлена перпендикулярно силе. Легко видеть, что

в любом случае направление скорости конца оси получается поворотом направления силы на 90° по направлению вращения тела.

Это правило иногда называют правилом Жуковского. Оно позво-

*) Эту формулу можно получить	непосредственно	из теоремы Резаля (см.
стр. 73), если, исходя из предположения G>I !> ш2, пренебречь составляющей
вектора Ко, перпендикулярной оси	симметрии тела,	и приближенно считать

206	ГЛ V	ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
ляет легко	представить	себе направление скорости по отношению
к вызвавшей ее силе.
Формула	(88) и правило		Жуковского		легко объясняют пове-
дение раскрученного волчка			(рис. V.16).		Действительно,			пусть
симметричный волчок		вращается		вокруг	собственной		оси; если
пренебречь трением в точке			его касания с полом, то единствен-
			ной действующей			на него силой бу-
			дет сила тяжести, приложенная в
			центре тяжести. Эта сила				направле-
			на в плоскости чертежа вниз, и что-
			бы выяснить		направление		скорости
			точки приложения силы, нужно раз-
			ложить силу		О на две составляю-
			щие: вдоль оси			симметрии	(эта со-
			ставляющая компенсируется реакци-
			ей опоры) и по перпендикуляру					к этой
			оси. В соответствии с правилом Жу-
			ковского вторую составляющую на-
			до повернуть		на 90° по направ-
лению вращения волчка. Поэтому				скорость		центра тяжести на-

правлена перпендикулярно плоскости чертежа, например «на нас». Однако, когда ось сдвинется в этом направлении, «чертеж» полностью сохранится, и таким образом, до тех пор, пока продолжается вращение с угловой скоростью %, продолжается и вращение оси волчка вокруг вертикального направления с некоторой угловой скоростью ю2-

Такое описание движения тяжелого симметричного волчка носит чисто качественный характер и является приближенным. В действительности ь случае Лагранжа регулярная прецессия возникает лишь при вполне определенных начальных условиях. В иных случаях возникает более сложное движение: угловая скорость прецессии не сохраняет постоянного значения, а ось волчка не только прецессирует вокруг вертикали, но и совершает колебания в вертикальной плоскости. Это колебательное движение соответствует изменению угла 8 и называется нутацией.

Г л а в а VI

РАВНОВЕСИЕ. ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

§1. Введение

Вэтой главе будут изучаться положения равновесия механи-

ческих систем, условия, при которых движения системы не выходят за пределы малой окрестности положения равновесия, и некоторые особенности движений такого рода.

В предыдущих главах было показано, что уравнения Лагранжа обычно представляют собой систему нелинейных Дифференциальных уравнений. Если же ограничиться исследованием движений, происходящих вблизи положения равновесия, то уравнения Лагранжа можно упростить —они заменяются в этом случае приближенными линейными дифференциальными уравнениями. Решения таких уравнений хорошо изучены, их можно записать в замкнутой форме с помощью элементарных функций, и это позволяет детально исследовать данный класс движений.

Прежде чем приступить собственно к изучению условий рав: новесия и движений вблизи положений равновесия, введем представление о четырех основных пространствах, которые будут широко использоваться в этой и следующей главе.

§ 2. Основные пространства

Назовем координатным пространством1) п-мерное пространство, каждая точка которого определяется заданием п чисел — обобщенных координат qlt .... qn. По определению эти координаты независимы и любой их выбор не противоречит механическим связям (если таковые наложены на систему). Поэтому положение системы может быть представлено любой точкой координатного пространства.

При движении системы значения обобщенных координат меняются во времени, и точка, определяемая в каждый момент функциями qi(t), .... qn(t), описывает в координатном пространстве соответствующую траекторию.

Порядок системы уравнений Лагранжа равен 2м, и чтобы задать движение, надо задать 2я начальных данных, т. е. надо

1) Это пространство иногда называют конфигуративныМ|

20°

ГЛ. VI. ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

знать

одновременные значения 2« величин — обобщенных

коорди-

нат

<7i> • • • > Цп и обобщенных

скоростей

qlt

... , qn. Поэтому зада-

ние точки координатного пространства еще не определяет движе-

ния. В этом смысле через каждую точку координатного прост-

ранства

проходит

бесконечное

количество

траекторий —

соответствующие им движения в рассматриваемой точке отличаются

величинами обобщенных скоростей. В ряде случаев удобнее

поэтому

рассматривать

движение

в пространстве, каждая точка

которого определяется заданием 2п чисел: п обобщенных коорди-

нат

qlt

...,

qn

и

п обобщенных

скоростей

qlt

... ,

qn.

Такое

2п-мерное пространство

называется фазовым.

В

фазовом пространстве

выбор точки

задает

полную

систему

начальных

данных. Поэтому

выбор точки

фазового пространства

(за

исключением

особых

точек —о

них

речь

будет

идти

далее)

полностью определяет движение. Траектории, соответствующие

движениям в фазовом

пространстве,

нигде

(кроме особых

точек)

не

пересекаются.

В

гл. IV было

показано,

что система

уравнений

Лагранжа

всегда

может быть

разрешена

относительно старших производных

и в стационарном

случае сводится к виду

qi**Gj{q,

q)

( / = 1 ,... . п).

(1)

Введя новые координаты

qj=yj

( / = 1 .... , я),можно записать

систему

уравнений

Лагранжа

в виде

yf = G,(q,

у),

q, = yj,

/ = 1

п.

(2)

Уравнения фазовых траекторий получаются исключением из этих уравнений dt; например, разделив 2п— 1 первых уравнений этой системы на последнее уравнение qn = ym мы получим

«-• <*•

Особыми точками фазового пространства называются точки, в которых правые части этих уравнений становятся неопределен-

ными (вида 0/0), т. е.
у) = 0, # = 0,	/ = 1 , .... п.

В нестационарном случае правые части уравнений Лагранжа зависят также и от времени. Для таких систем фазовое пространство менее удобно, ибо теперь уже нельзя столь просто исключить t и вместо уравнений движения выписать уравнения фазовых траекторий, не содержащие явно время t. В таких случаях удобно дополнить рассматриваемые пространства осью t. Про-

§ 3 ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ	209
странство, имеющее п + 1 измерение и задаваемое координатами
Яг,•••! Яа\ U называется расширенным, координатным простран-
ством, а (2п-(-1)-мерное пространство с координатами	qi,...,qa',
<7ь •••. Цп\ t-~расширенным фазовым пространством.

§ 3. Положения равновесия

Положение системы материальных точек, определяемое внекоторой системе отсчета обобщенными координатами <7у = 9/ (/— = 1, ..., п), называется положением равновесия для наблюдателя, связанного с этой системой отсчета, если система материальных точек, будучи приведена в это положение с нулевыми скоростями q) = 0 (/=1, ..., п), остается в нем сколь угодно долго.

Из этого определения следует, что в положении равновесия все <jy и (JJ равны нулю, а это означает, что в фазовом пространстве положениям равновесия соответствуют только особые точки.

Разрешим уравнения	Лагранжа	относительно старших производ-
ных, т. е. представим	их в виде
qf = Gf(q, q)		(/=1	я);
тогда условия равновесия определятся так:
Gj(q, 0) = 0		(/ = 1	п).

Если выполняются обычные условия единственности решений уравнений Лагранжа, то в стационарном случае более удобные условия равновесия определяет следующая

Теорема . Для того чтобы в стационарном случае некоторое положение системы

было положением равновесия,необходимо и достаточно, чтобы в этом положении все обобщенные силы были равны нулю:

Qy(<?°)= 0 (/==1

п).

(3)

Д о к а з а т е л ь с т в о . При исследовании уравнений Лагранжа

было установлено, что в стационарном случае
Т = Т2,	(4)

где Т% —квадратичная форма относительно q с коэффициентами, зависящими только от q,

л

^j 2

(5)

210 ГЛ VI ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

Подставляя это выражение в уравнения Лагранжа

и выполняя операции дифференцирования в левых частях, получаем уравнения Лагранжа в виде

I]fl,*(?)^+ S ^(?)M* =Q/.		(6)
*=1	ft,s=l

где bks —коэффициенты, зависящие только от q, а членов, не со-

держащих

множителей

q или (j, в левых

частях

уравнений

Лагранжа

в стационарном

случае нет.

Пусть

qj = (fi ( / = 1 , •••. я) —положение равновесия. По опре-

делению это значит,

что

данное

положение не меняется во вре-

мени, т. е. что qf

(t) =э q) и поэтому

qt (t) =qj(t)

= O (/ = 1, ..., п).

Подставляя

в

уравнения (6) q} =0,

cfj =0 (/ = 1, 2, ..., /г),

получаем

сразу Q/ =0 ( / = 1 , ..., «).

Предположим

теперь,

наоборот, что при qj = q) (/ = 1, 2, ..., п)

имеют место

равенства

Q, =0

( / = 1 , . , п).

Определим

в этом

случае решение,

соответствующее

началь-

ным

условиям

^/ = 0

( / = 1 , ..., п).

Непосредственно видно, что функции

д, (0 з»0 = const

(7)

удовлетворяют

уравнениям

(6)при Qj — 0. Уравнения

алгебраи-

чески

разрешимы

относительно ijj, и предполагается, что для них

справедлива

теорема

о

единственном

решении

при заданных

начальных данных (см. § 3 гл. IV). Поэтому

для уравнений (6)

при

условии

Q/ =0

решение (7) единственно.

Иначе

говоря,

из того, что при

^ =0 все qj = q) и $ — 0, следует, что

система,

находящаяся в начальный

момент в положении

q} =q), в нем и

останется. Теорема доказана.

Условие

Qy =O

(/ =1

п)

(8)

эквивалентно

условию

% =0.

(9)

Действительно, из (8)немедленно следует (9), но верно и обратное утверждение — из (9) следует (8), таккак по определению обобщенные координаты qh а значит, и dq/ независимы.

§3 ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

211

Сумма, стоящая в левой части равенства (9), равна элементарной работе всех приложенных сил на произвольном возможном перемещении рассматриваемой стационарной системы

Таким образом, доказанная теорема может быть сформулирована следующим образом:

Для того чтобы положение gy = q) былоположением равновесия стационарной системы, необходимо и достаточно, чтобы в этом положении элементарная работа всех приложенных сил на любом возможном перемещении была равна нулю.

В такой формулировке доказанная теорема называется принципом возможных перемщений.

Если рассматривается система без механических связей, то любые перемещения системы возможны и слова «на любом возможном перемещении» могут быть заменены словами «на любом перемещении». Если же на систему наложены идеальные склерономные связи, то термин «любые возможные перемещения», как всегда, означает «любые малые перемещения, совместимые со связями».

Принцип возможных перемещений в стационарном случае определяет необходимые и достаточные условия равновесия. Он определяет необходимые условия равновесия и в том случае, когда система нестационарна, например, содержит идеальныереономные связи, —надо лишь слова «на любом возможном перемещении» заменить словами «на любом виртуальном перемещении». Установленный выше принцип называют в этом, более общем случае, принципом виртуальных перемещений1).

Рассмотрим теперь консервативные системы, т. е. стационарные системы, на которые действуют только потенциальные силы, причем V —V (q) не зависит явно от времени. В этом случае

и условие (8) означает лишь, что все точки, гдефункция V имеет стационарныезначения, в частности всеточкиэкстремумов и точки перегибафункции V, являются точками равновесия системы.

В	качестве примера		(рис. VI.1)	рассмотрим материальную
точку,		находящуюся на	некоторой	кривой	в однородном поле
тяжести		(сила направлена	вдоль оси у вниз). В этом случае си-
стема	имеет одну степень свободы и V = — Gy, т. е. потенциаль-
ная	энергия пропорциональна ординатам				кривой, на которой

*) Мы не рассматриваем этот случай детально и, в частности, не приводим доказательств.