Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

362		ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИЯ СИСТЕМ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ
где	г проводится			из любой		точки на линии действия вектора
к точке		О.	Если	и в	этом	случае отсчитывать радиус-вектор
от	точки	О	(рис.	П.25,	в),	то получаем

Таким образом, при мгновенном вращении линейная скорость точки представляет собой момент вектора угловой скорости отно-

сительно этой точки, Vi = mo(<ni). В связи с этим результирующая скорость точки О п-н системы относительно неподвижной,

является главным моментом системы векторов		щ,	, ю„ относи-
тельно этой	точки.
Главный	вектор системы
получается формальным переносом всех векторов иг			в одну и ту
же точку и их сложением.
Отсюда сразу следует, что скорости ©„,„ для		точек	п-й системы

распределены так, как распределены главные моменты системы

скользящих векторов,	что, зная	скорость	г»„,0	какой-либо			одной
точки, можно найти	скорость	любой другой		точки	по	теореме
о переносе полюса, что минимальную скорость				имеют	точки		цен-
тральной оси системы	векторов	а , , , , . , ш, и т ,		д.
Применяя теперь к системе скользящих векторов					(яи	...,	©„
теорему 8, сразу заключаем, что любая			совокупность вращений

может быть сведена к одному из четырех простейших случаев — векторному нулю, равнодействующему вектору, паре векторов и винту. Рассмотрим каждый из этих случаев по отдельности.

§ ri. ПРИМЕНЕНИЕ В МЕХАНИКЕ

3G3

а) С в е д е н и е

к в е к т о р н о м у

н у л ю . В этом случае п вра-

щений в совокупности определяют

покой —«-я система

неподвижна

относительно неподвижной системы координат х, у, г. Этот

случай

п

имеет

место

при

условии,

что

главный

вектор

ft

= 2

ш,= 0

и хотя бы для одной точки

г»„|0 = 0.

б) С в е д е н и е

к о д н о м у

в е к т о р у .

Если

й=/=0,

но про-

екция vn,n на ft в какой-либо произвольно выбранной точке

равна

нулю, то система

и>и... , ю„ заменяется одним

вектором

Q,

дей-

ствующим вдоль

центральной оси системы

(ov

... ,

(яп, т. е. дви-

жение

п-й системы

отсчета

относительно

неподвижной

х,

у, г

представляет

собой

мгновенное

вращение

с

угловой

скоро-

стью ft.

в) С в е д е н и е

к

п а р е . Если ft = 0, но©„>0

= ©р=^=0 в какой-

либо точке Р, то система

векторов wl t ... , wn

эквивалентна

паре

угловых скоростей

(«паре

вращений»)

с моментом ©„,„, т. е. п-я

система отсчета движется относительно неподвижной

поступательно

СО СКОРОСТЬЮ

Vp.

г) Сведение

к

винту. В

наиболее

общем

случае,

когда

главный вектор

системы ft Ф 0 и в какой-либо точке

Р скорость

в = г1

Р ^0 и

не перпендикулярна

вектору

Q, система

<0i

«„

сводится к винту. Это значит,

что она эквивалентна

вектору,

совпадающему

с

Q и лежащему

на

центральной

оси, и

паре,

находящейся в перпендикулярной ft плоскости и имеющей момент, равный проекции Vp на направление ft. В этом случае мгновенное движение п-й системы отсчета относительно неподвижной складывается из поступательного движения вдоль направления

центральной

оси (т. е. вдоль

направления,

параллельного

ft)

со скоростью, равной проекции vP

на ft, и из вращения

вокруг

центральной

оси с угловой скоростью ft.

Остановимся подробнее на случае в) сведения к

паре.

Непо-

средственно

видно, что верно и обратное

утверждение:

если

система совершает мгновенное поступательное

движение

со ско-

ростью v, то его всегда

можно заменить

сложным

движением —

парой вращений, если угловые скорости этих

вращений

выбрать

так, чтобы момент пары был равен v.

Теперь

мы можем

перейти

к

общему случаю произвольного

движения

п

систем

отсчета

одна

относительно другой. В связи

с тем, что

любое

движение

в

каждое

мгновение

может

быть

представлено как сумма поступательного движения и мгновенного вращения, а поступательное движение само может быть

представлено	парой	вращений, можно	ввести промежуточные
системы отсчета и заменить произвольное			мгновенное движение п
систем только	мгновенными вращениями		т. систем	одна относи-
тельно другой	(т^п).	Поэтому все, что говорилось		выше о ело-

364	ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИЯ СИСТЕМ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ

жении мгновенных вращений, относится и к общему случаю, когда мгновенные движения систем отсчета друг относительно друга произвольны

Таким образом, при .гюбэм движении одних систем отсчета относительно других (при сложении любых движений) скорости результирующего движения в любое мгновение могут быть распределены по одному из перечисленных выше четырех простейших законов Это отнюдь не противоречит тому факту, что движения могут быть весьма сложными и разнообразными — разнообразие движений получается за счет разнообразного изменения распределения скоростей (в пределах перечисленных четырех простейших) при переходе от одного момента времени к другому.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Аксонд неподвижнмл							2ft				Движения вынужденные								243
—	подвижно!!			2Ь					301		_	кеплеровы			89
Ансамбль стати1тнч1чки(1											—	свободные			253				275
—	—, плотность				сю		.(01				Действие по Гамильтону
Вариньона теорема						150					—	—	Лагранжу			331
											Динама			360
—	— обобщенная					.155
Вектореглавный"(см							Глпппмп			вектор)	Естественный способ задания движения 16
—	характеристически»							г> 1		Р	-	(сопровождающий)						трехгранник			16
'Векторный			нуль		М(>		210, 211				Жуковского правило							205
Векторы		амплитудные
Вириал системы НО							I И)				Задача		статически				неопределимая				361
Виртуальная работа
Виртуальные перемещении 1г>0											—	—	определимая				361
—	скорости		150						144		Закон Ньютона второй 53, 55
Возможные			перемещении								—	—	первый 44
—	скорости		149					яидммодсПстпие 98			—	—	третий		55
Временное центральное											—	площадей			84
Выражение			союзное 2{>2								— сохранения импульса обобщенного 290 —
Галилеева система						отсчета			43			291
											— — кинетического момента 73, 292
Галилея		преобразовании						45			— — количества движения 70, 290
—	принцип относительности 44										— — энергии механической 76, 290
Гамильтона			вариационны»						принцип 279		—	—	— обобщенный					265
—	переменные			261							Импульс внешних						сил 78
—	уравнения			263																системы		54
—	функция 262					ур.мшенне				323	—	(количество				движения)
Гамильтона—Якоби											— — — точки 54
— — —, полны)! мн1с1|)иЛ его 323											— момента внешних сил 78
Гамильтониан				2Ь2			основная			204	—	силы		78
Гироскопии формула											Импульсы обобщенные 260
—	— приближенная						205				Инвариант интегральный								293
Главный		вектор			сил (>7						—	— относительный						305		296
— — системы вектором 3V)											—	—	Пуанкаре — Картана
—	момент количестп 1 дпижепия 72										—	— универсальный						305
— — сил относительно оси 68											— — — Пуанкаре 298
—	— —	— полюс 1 (|Я									— — «фазовый объем» 301
— — системы вск-iopoii относительно оси											—	системы вектороп						343				172
341—342											Инерции момент относительно оси 117,
— — — — — полюса 310											—	моменты главные						179
Гурвица		критерии				221—222					—	—	центробежные					176
Гурвицев		полином				220					—	оси	главные			179
Гюйгенса —Штсищра теорема 174 — 175											— — — центральные 179
Дальнодействие				-1'							—	сила		кориолисова				101
							30,		104		— — —, работа ее 105
Движение абсолютное											—	—	переносная				104
—	инфинитное «7						104				—	тензор 177
—	относительное				30,						—	эллипсоид			178
—	переносное			J0,		104
—	плоское		JS					35			Кп-пистационарности гипотеза 119
—	плоскопараллельное										Кеплера			законы		90		171
—	поступательное					21					Кенига			теорема		170,
—	сложное		30								Кинетическая энергия системы 54
— среды с неподвижной точкой 23—10											—	— твердого тела с неподвижной точкой
— твердого тела с неподвижной точкой,											185—186
случай		Ковалевской 195									—	—	точки 54
— — — — — —, — Лагранж.1 1ЧГ>											Кинетический момент 72
— — — — — —, — Эйлера 135 —202											—	— твердою TWid с неподвижной точкой
—	— — — — —, — —								геометрическая		—	186 —187			1J3
—	интерпретация				Пуансо				198—199			потенщпл
	финитное 80,				87						—	фокус 283

Конариантмая форма уравнений механики 46, 123

Колебания вынужденные 243

—главные 239

—свободные 243

Количество движения системы 54, 69

— — точки 54 Консервативная система 58, 132, 143

Координаты главные (нормальные) 237

—обобщенные 18, 151

—циклические 269 Кулоново поле 89

Ллгранжа	— Дирихле теорема 225 — 226
Лагранжа	переменные 261

—скобки 316

—уравнения 128, 129

—— в неинерциалыюй системе отсчета 160 — 164

—функция 132, 133

Лагранжев формализм 134

——, основная теорема его 138, 139 Лагранжиан 133

—обобщенный 158

Ламе коэффициенты (функции) 19 Ли Хуачжуна теорема 305 —306 Линия координатная 19

—узлов 188 Лиувилля теорема 301

Лоренца преобразования 66 Ляпунова георема вторая 228

—— о линейном приближении 219

—— общая 233

—— первая 228

—функция 234

Масса приведенная 96 Матрица амплитудная 240

Мгновенная угловая скорость 26 Мгновенно поступательное движение 37

Мгновенное угловое ускорение 28 Мгновенный центр скоростей 36

—— ускорений 38 Мера движения 48

—— векторная 53

—— скалярная 53 Мещерского уравнение 119 Михайлова годограф 223

—критерий 223, 224

Момент вектора относительно полюса 340

—главный (см. Главный момент)

—кинетический 72

—количества движения точки 72

—силы относительно полюса 68 Мопертюи — Лагранжа принцип 331

Нетер теорема 287

Нутации угол 189 Нутация 206

Ньютона закон (сч. Закон Ньютона) Ньютоново поле 88

Обобщенно консервативная система 2С5 Ось вращения мгновенная 29, 38

—минимальных моментов (центральная) системы векторов 344

—ускорений 29, 38

Отсчета система 12

—— галилеева 43

—— центральная 72

Первые интегралы уравнений движения 65, 77, 266

— — — —, полная система их 266 Перманентные вращения гпердо!О тела 200

— — — —, устойчивость их 234 — 235

Подпространство изоэнергетнчсское 327 Поле нестационарное 57

—потенциальное 57

—силовое 57

—стационарное 57

—центральное 60

Полином характеристический 215 Потенциал 132

—векторный 160

—кинетический 133

—обобщенный 157

—скалярный 160

Преобразования канонические 311—312

——, валентность их 317

——, производящая функция их 317

—— свободные 317

—— унивалентные 317

—стационарные 124

—точечные 123

Прецессии угол 202 Прецессия регулярная 202

Принцип виртуальных перемещений 211

—возможных перемещений 211

—независимости действия сил 55 Пространство координатное 207, 277

—— расширенное 209, 272, 277

—фазовое 208, 277

—— расширенное 209, 277

Пуассона скобки 267

— тождество 268 Путь прямой 278

Пучок векторов 348

Работа полная сил системы 56

—— силы 56

—элементарная сил, приложенных и твердому телу 169

—— сил системы 56

—— — — консервативной 59 — 60

—— силы 56

Равновесие относительное 107 Равновесия положение 209

—— неустойчивое 217

—— устойчивое 217

—— — асимптотически 218

—— — «в малом» 218 Равнодействующий вектор 355 Расстояние прицельное 93

Резаля теорема 73 Резерфорда формула 95 Резонанс 247

Релея функция 216

Связи механические 144

— — голономные 147, 148 ^- — дифференциальные 147, 148

— — — интегрируемые 14 7, 148

—— — неинтегрируемые 147, 148

—— «замороженные» 149

—— идеальные 154

—— конечные 147, 158

—— неголономные 147, 148

—— нестационарные 147, 148

—— неудерживающие 147

—• —, реакции их 151

—— реономные 148

—— склерономные 148

—— стационарные 147, 148

—— удерживающие 147 Сила 55

—всемирного тяготения 88

—дополнительная в системе переменного состава 112

—инерции (см Инерции сила)

—лоренцева 159

—центральная 60

Силоиля

функции

ii

Точка

геометрическая

II

Силы

iiiioiiiinif

Mi

— — движущаяся

11

—

iiiiyipciiinir

!>• •

— — —, скорость ее 15

—

гироскомм'мч'имг

Ml

— — —, ускорение со 15

—

дисснпашкиы!'

III

— — —, траектория ее 15

—

кепотенци.ии.ии*' '•'<

—

материальная

40

—

обобщенно

пщгмцн.i.n.iiMi

I u'

—

— свободная

42

—

обобщенны!- I III

Трубка

прямых

путей

291

—

объемные

11 I

—

потенциальные

Г>«

Угол

крена

189

Симметрия дщщми'птк.ш 1ч1.

—

рысканья 189

Система

материjuiiiiiuN

тчгк

I'

—

тангажа

189

—

—

—

гироскопы чг> ним I I '

III

Уиттекера

уравнения

328

— — — голономплн I1H

Уравнения

канонические 2(> J

—

—

— ДИССИ11НГМ1Н1.1Й II I

—

линейного приближении 211.

"12

— — — замкнут» I.1

Ускорение

15

_

_

_

KOHCvpiiaTiiiiiiii» !>н. I 1-'.

И7

—

абсолютное

32

—

—

—

неголономн.|у|

I IH

—

вращательное

28

—

— — строго лисгншниинии III

— в обобщенных координ<ис1Х -'О

—

натуральная llih

—

касательное

(тангенциальное)

17

—

ненатуральная

U.d

—

кориолисово

32

— обобщенно коисерншпиния " ' ^

—

нормальное

17

Система

отсчета (см

Он ч е т т и г м а )

—

осестремительное

24,

29

—

скользящих

нскторон Uii

—

относительное

32

—

—

—, необходимые

и д т ииочпыо ус-

—

переносное 32

локия ее равновесии .1.г>ь

—

угловое

23

г— — — уравновешении» *•»!»

—

. элементарные 1ч-пргобр.поиання

Ферма

принцип 332

_ 3

4 8

„

Фильтр высоких

частот 247

Системы скользящих

выпори»

простейшие

полосовой

247

352—356

Фокус кинетический 283

Скорости обобщенные 152

— "абсолютная

31

Характеристика

амплитудная 24Г.

— в обобщенных координпш 19

~

фазовая

246

—

космическая вторая

U2

~

частотная (амплитудно-фазовая) 245

первая 92

Характеристическое уравнение 215

—

относительная

31

—

переносная

31

Центр инерции

70

—

секториальная

84

—

масс

70

—

угловая

23

—

тяжести

70

—

—

прецессии

202

Центроида

неподвижная

38

—

— собственного

крашения 202

—

подвижная

38

Собственного

(чистою)

нр.пиеиня угол

Циолковского

формула

120

180

Соударения

абсолютно

упругие ч»

Частота

резонансная

247

Спектр воздействии

комплексным

25J

,

среза 247

—

— линейчатый

251

Частоты

собственные

238

Среда

геометрическая тиерд.ш

12

Четаева

теорема

228

—

«греческая>

20

Число степеней

свободы

системы

151

—

«латинская»

20

Статика

геометрически я .460

Эйлера

уравнения вариационные

274

—

—

динамические

193

—

— кинематические

190—191

Теорема

о вириале

80

—

Формула

113

—

— движении центра инерции 71

~

Т У Р о и н н а я . J i

, я о

—

об

изменении

кинетического

момента

сшлеровы

углы

188.

1ВУ

73

Энергия

кинетическая

(см. Кинетическа!

•— —

—

—

— дли

системы

переменною

энергия)

состава 115

—

обобщенная

265

_

_

_

_

конечном 78

—

полная механическая

76

—

—

— кннеги ческой энергии 75

—

потенциальная 75

_

_ _

_

_

_

конечном 78—79

Эффективное сечение

рассеяния

95

—— — количества движения 70

—	—	—	— — для систем переменного	Якоби — Пуассона	теорема 268
	состава		112	Якоби уравнения	329
—	—	—	— — конечном 7В	— функция 329

Марк Аронович Айзврман

КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

М , 1980 г , 368 стр. с илл.

Редактор Г М Ильичева

Технический редактор В И Кондакова

Корректоры О А Бутусова, И. Б. Румянцева

				ИБ № 11307
Сдано	в	набор	25 01 80		Подписано к	печати	05 06 80
Бумага	60X90'/ie,		тип	№ 1	Литературная	гарнитура		Вы-
сокая	печать Условн			печ	л 23 Уч -изд л		22,99	Ти-
раж		17500 экз Заказ № 1188 Цена книги 1 руб

Издательство «Наука» Главная редакция физико математической литературы

117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственно техническое объединение «Печатный Двор» имени А М Горького «Союзполшрафпрома» при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136,

Ленинград, П-136, Чкаловский пр , 15