Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

162ГЛ. IV. КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

Для того чтобы найти V* как функцию I, т), £, | , ц, £, и ^, вспомним, что

(72)

где ©л и ю являются заданными функциями времени, а р — радиусвектор в греческой системе.

Обозначая через /, j и k орты греческой системы и раскрывая векторное произведение юхр, получаем

ю У р = i (£с0л - т)соЕ) +/(|(в Е - £со6) + k (т]С0| - £соп).

(73)

Подставляя (72) в (71) и учитывая (73), получаем

у * = _ т [(vAl -f £cun -

1(оц)Ц. (74)

Используя это, можно по формуле (70) полностью определить кинетическую энергию как функцию «новых» (относительных) координат и скоростей.

Для подсчета обобщенных сил надо в формуле Для элементарной работы

8A F

выразить Ьх, Ьу и бг через «новые» координаты 6£, 8г\ и б£. Оператор б не включает дифференцирования функций, определяющих преобразования координат, по явно входящему времени t. В рассматриваемом случае это означает, что в формулах преобразования следует положить ©л = const и co= const, т. е. при подсчете элементарной работы неинерциальную систему следует считать остановленной. Но тогда

т. е. обобщенные силы соответственно равныг ) F$, Fn и Fz. Если ввести обозначения

	1) Если	сила F зависит не только от t, но и от х, у,		г и (или) от х, у,Z,
то	надо явно		выписать формулы для преобразования координат и подставить
в	функцию	F	выражения для «старых» координат х, у, г	и скоростей х ,у, г

через «новые» (относительные) координаты |, т), J и скорости |, rj, \,

§ 5. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ

163

то уравнения

Лагранжа можно записать так:

"

о*-1

"^*

_ Q

f/= 1

2

3)

(Т*))

dt

dqj

dqj

'

vj

>

>

/>

\ )

причем обобщенный лагранжиан равен

— ' отн —

v

>

('D)

а обобщенный

потенциал V* определяется формулой (74).

Уравнения (75) можно переписать в следующем

виде:

Л

г)Т

г)Т

Г A

dV*

r)V*

T

a

ui о т н

ЧУ о т н

__ Q

•

^

( / = 1 ,

2, 3).

(77)

Левые части этих уравнений совпадают с левыми частями уравнений Лагранжа, которые составил бы наблюдатель, находящийся в неинерциальной (греческой) системе, а обобщенные силы

также совпадают		с	обобщенными силами, которые вычислил бы
этот	наблюдатель.		Подставляя в выражение, стоящее в правой
части	уравнений	(77) в квадратных скобках, функцию V* из
(74) и вычисляя		соответствующие частную и полную производные,
легко	убедиться	в том, что величины в квадратных скобках при
/ = 1 ,	2 и 3 в точности равны проекциям на оси £, т) и £ суммы
переносной и кориолисовой сил инерции.
Таким образом,			уравнения (75) в конечном итоге приводят

пас вновь к уравнениям Ньютона для неинерциальной системы отсчета:

ml = F| + ^пер% + Лор 5>

Ч = « t) " T -/пер т] ~Г •'корТ1>

/пер Е+ Ук о р ;.

Рассмотренный пример поучителен в том отношении, что он разъясняет два пути, которыми мог бы воспользоваться «неинерциальный наблюдатель» для того, чтобы составить уравнения Лагранжа, описывающие наблюдаемое им относительное движение.

Первый путь. «Неинерциальный наблюдатель» мог бы и в более сложном случае (например, при наличии механических связей) рассуждать так, как это делали мы выше в разобранном примере. 11менно, он мог бы, составив полную кинетическую энергию (is абсолютном движении!), выразить ее через «свои» относительные координаты и скорости (рассматривая переносные скорости своей» системы как заданные функции времени!) и воспользоваться затем уравнениями Лагранжа в их обычной записи. На

164 ГЛ IV. КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

этом пути не требуется вводить какие-либо силы инерции —наобо- рот, лагранжев формализм сам вводит их и устанавливает их обобщенно потенциальный характер.

Второй путь. «Неинерциальный наблюдатель» мог бы с самого начала добавить к исходным (приложенным) силам переносные и кориолисокы силы инерции. Относительные скорости, входящие в выражения для кориолисовых сил, рассматривались бы

при		этом как неизвестные функции. Далее такой наблюдатель
мог		бы рассуждать так: «Теперь,				после	добавления сил инерции,
в	моей		системе	отсчета	верен	второй	закон Ньютона; значит,
в	этой		системе	верны	и уравнения Лагранжа,			если в них вхо-
дит		кинетическая энергия видимого мной (т. е.						относительного!)

движения и если обобщенные силы подсчитываются, исходя из виртуальных перемещений в относительном движении». Поэтому такой наблюдатель мог бы сразу выписать уравнение Лагранжа в «своей» системе отсчета, подсчитывая кинетическую энергию через «свои», т. е. относительные скорости. Но при подсчете обобщенных сил ему пришлось бы принять во внимание и работу сил инерции на виртуальных перемещениях в относительном движении.

Разумеется, оба пути в конечном итоге приводят к одинаковым результатам. Выбор более удобного пути в каждом конкретном случае зависит от особенностей решаемой задачи.

2. Натуральные и ненатуральные системы. Введя понятие об обобщенном потенциале, мы сделали важный шаг в расширении класса систем, для которых ковариантные уравнения движения могут быть записаны в форме, содержащей только одну функцию, зависящую от Еыбора системы отсчета, —ее лагранжиан.

До сих пор в основе всех наших рассуждений лежали некоторые исходные представления, играющие во всем последующем построении роль аксиом. Мы постулировали, в частности, второй закон Ньютона и при Еыводе основных законов и теорем механики всегда исходили из него. В настоящей главе, выводя уравнения движения в форме, ковариантной по отношению к любым точечным преобразованиям координат, мы также положили в основу рассуждений второй закон Ньютона и в конечном результате придали ему форму уравнений Лагранжа. В этом смысле второй закон Ньютона оказывается эквивалентным утверждению о том, что движение может быть описано уравнениями (22), а движение в потенциальном поле —уравнениями (29), где L — T— V.

Естественно поставить вопрос: почему нельзя было с самого начала постулировать уравнения (22) либо (29), если они являются лишь ковариантной записью второго закона Ньютона?' Действительно, такой постулат мог бы быть положен в основу механики (голономных систем). Именно, в наше время построение новых систем механики, в частности, релятивистской механики,

§ 5 НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ

165

делает актуальным вопрос о том, в каких терминах удобнее формулировать исходные аксиомы. Теперь уже обе формы уравнений движения — уравнения, выражающие второй закон Ньютона, и уравнения Лагранжа1) —в равной мере обычны для физики. Поэтому возникает мысль о возможности при построении новых систем механики постулировать взамен «нового второго закона Ньютона» утверждение о том, что движение описывается уравнениями Лагранжа. При таком подходе к построению механики лагранжиан просто постулируется как некоторая функция

q, q и t.

Если мы хотим, чтобы при этом движение по-прежнему опре-

делялось	из уравнений Лагранжа		однозначно (по начальным дан-
ным), то	мы не можем произвольным образом, без всяких огра-
ничений,	постулировать	лагранжиан L как функцию q, q и t.
Действительно, основная		теорема	лагранжева формализма была
доказана	в предположении, что кинетическая энергия, а значит

и лагранжиан, имеет вполне определенную структуру. Если лагранжиан задается каким-либо иным образом и имеет другую структуру, основная теорема лагранжева формализма, вообще говоря, не выполняется. Следовательно, вообще говоря, уравнения Лагранжа, полученные при этой иной функции Лагранжа, могут оказаться неразрешимыми относительно старших производных, и для них уже не будет верна теорема о существовании и единственности решения при заданных начальных данных. Для

того чтобы сохранить это важное свойство уравнений		Лагранжа,
надо ограничить выбор лагранжиана L при его аксиоматическом
задании. Легко видеть, что	это ограничение должно	быть пред-
ставлено в форме
l	^ Г	(78)

Действительно, если мы будем считать L некоторой произвольной функцией от обобщенных координат q, обобщенных скоростей q и, быть может, времени t и подставим эту функцию в уравнения Лагранжа (29), а потом проделаем выкладки, аналогичные тем, которые были проделаны в § 3, то вместо уравнений (44) мы получим уравнения

	*-<•>	</=!	п).	(79)
В этих уравнениях	роль, которую	играли	ранее коэффициенты
d]k, играют теперь	вторые производные d2L/d^f d$h. В связи с этим

1) В связи	с тем, что физика	интересуется, главным образом, движением
Б потенциальных	полях, здесь речь	идет об уравнениях Лагранжа в форме (29).

166 ГЛ. IV КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

требование (78) является аналогом основной теоремы и гарантирует, что при априорном задании лагранжиана в форме, отличной от разности L = T — V, будет сохранена возможность однозначного определения движения по начальным данным.

Условимся далее в этой книге системы, для которых L подсчитывается как Т — V, называть натуральными системами,

а системы, для которых L вводится аксиоматически как-либо иначе, — ненатуральными системами. В гл. VII, посвященной исследованию движения в потенциальных полях, все изложение

будет	построено так,	чтобы оно было	верно как для натураль-
ных,	так и для ненатуральных систем,		но, разумеется, мы будем
при этом опираться на		предположение о том, что удовлетворяется

требование (78) и поэтому начальные данные полностью определяют движение.

Г л а в а V

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

§1. Элементарные сведения по динамике твердого тела

Впредшествующих главах движение системы материальных точек рассматривалось чаще всего в предположении, что оно не стеснено какими-либо связями, и только в конце предыдущей главы было показано, каким образом можно аналогично исследовать движение системы со связями. В этой главе рассматривается один важный частный случай наложения связей; изучается движение твердого тела, т. е. системы, состоящей из любого (конечного или бесконечного) числа материальных точек, движу-

щихся так, что во время	движения	расстояние между точками
не меняется. Условия неизменности		расстояния между точками
естественно накладывают	на систему	голономные связи, и поэ-

тому при отсутствии внешних неголономных связей изучение движения твердого тела сводится к изучению движения системы, состоящей из любого числа материальных точек с голономными связями.

Прежде чем приступить к изучению законов движения систем такого рода, напомним читателю некоторые элементарные сведения, относящиеся к движению твердого тела. Предполагается, что эти сведения известны читателю (например, из общего курса физики), но тем не менее стоит напомнить их, прежде чем приступить к изложению более глубоких результатов.

1° С твердым телом может быть связанагеометрическая твердая среда (см. гл. I), т. е. система отсчета. Поэтому все кинематические соотношения, полученные в гл. I для движения одной системы отсчета относительно другой, полностью применимы и к движению твердого тела относительно какой-либо системы отсчета, не связанной с телом. В частности, при движении тела в каждое мгновение существует вектор угловой скорости о такой, что скорости точек тела распределены по закону t^ = ©д+ <*> XОд.

где А —произвольно			выбранная точка тела,		a riA	— радиус-век-
тор,	проведенный к г-й точке тела из точки				А.
2°	Центр инерции твердого тела			совпадает с		его центром
тяжести,		гс = гц т.	из того, что центр тяжести			в однородном
Этот		факт следует
1равитационном поле			расположен в	центре	параллельных сил

168	ГЛ. V. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

(сил тяжести), пропорциональных массам частиц тела, и следовательно, его положение определяется по той же формуле, что и положение центра инерции тела.

При движении твердого тела движение его центра тяжести описывается теоремой о движении центра инерции:

	N
Л*Гд.т = 2 ^внеш-			(1)
Теорема о движении центра	инерции была	выведена в	гл. III
для системы, не стесненной	механическими	связями.	Твердое

тело представляет собой систему со связями, однако доказатель-

ство теоремы о движении центра

инерции, проведенное в гл. III,

полностью сохраняется.

Наличие

связей,

удерживающих

точки

на неизменных расстояниях

одна

от другой, влияет на характер

внутренних сил, действующих между точками,

а эти силы все

равно

подчинены

третьему

закону

Ньютона

и взаимно

уничто-

жаются при выводе уравнения движения центра инерции.

При

поступательном

движении

тела

(2)

(3)

где V — скорость точек

тела

в поступательном

движении.

3° Произвольная система

сил,

приложенных

к твердому

телу,

может

быть заменена

одной из

четырех

простейших

систем:

а) одной силой; б) системой,

не содержащей сил

(«нулем»);

в) двумя

силами,

образующими пару сил,

и

г)

тремя

силами, из

которых

две' образуют пару, а третья

перпендикулярна

плоскости

этой

пары.

Доказательство

этого

утверждения

приведено

в приложении,

помещенном в конце книги и посвященном теории скользящих векторов.

4° Элементарная работа сил, приложенных	к твердому телу,
определяется лишь работой внешних сил.
Действительно, рассмотрим две точки тх	и т2, принадлежа-
щие твердому телу. По третьему закону Ньютона силы их взаимо-

действия равны и противоположно направлены (вдоль							прямой,
соединяющей эти точки). По определению твердого тела							расстоя-
ние между точками тх		и т	2 не меняется, т. е. если		гх		и гг	—
радиусы-векторы	точек,	то	d\r1	— r2\ — 0. Для таких		двух		сил
взаимодействия	/=\ = — F2 = X(rl~			r2)

§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ

169

Это

рассуждение

верно для любых

двух

точек

тела,

и

следова-

тельно,

элементарная

работа

всех

внутренних

сил

в

твердом

теле

равна нулю.

Выведем

теперь

формулу

для подсчета

работы внешних сил,

приложенных

к твердому телу. Эта элементарная работа

равна1 )

Выберем в теле произвольную точку О' и

поместим в нее

начало

системы

координат,

оси

которой

параллельны

осям х,

у, z

рассматриваемой

инерциальной системы. Подобно тому, как

мы

это делали

в гл. I, представим

движение

тела

как сумму

поступательного

движения

вместе

с

точкой О'

(переносное дви-

жение)

и вращения относительно

неподвижной точки

О'

(относи-

тельное движение). Тогда скорость t'-й точки

выражается фор-

мулой

где г, —радиус-вектор, проведенный к г-й точке из точки О'. Преобразуем теперь выражение для элементарной работы так:

	б А = 2 Fiв н е ш • dn = 2 Ft BHeiu • Vi dt.
Подставляя сюда выражение для ©,-, получаем
	бА = v Ft в н е ш • (»0- -t-ю X П) dt =
	= V0- • ( 2 /Ч'внеш) dt + 2 Fi внеш ' (<»
Первая	сумма составляет главный вектор внешних		сил. Во вто-
рой сумме стоят смешанные двойные произведения,			а они допу-
скают	циклическую перестановку	сомножителей. Поэтому
	2 Ft внеш • (©X Г,-) = © •2	(П X /^ внеш) = М0>ВНеш ' «*»

где /Ио'внеш —главный момент внешних силотносительно полюса О'.

В	результате		получаем
		бА = /?в н е ш -VQ' dt + Mo			(4)
Итак, элементарная работа всех сил, приложенных					к твердому
телу,	выражается		через главный	вектор внешних сил	и главный
момент внешних сил относительно				произвольной точки.
Для		вычисления элементарной		работы помимо действующих
сил надо знать лишь скорость произвольной точки					О' и мгно-
венную		угловую	скорость (а.

*) Здесь и далее в этой главе символ 2 без указания пределов суммирования означает сумму по всем точкам тела.

170

ГЛ. V. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

5° Кинетическая

энергия

твердого

тела

равна

кинетической

энергии,

которую

имела

бы материальная

точка,

расположенная

в центре

инерции

тела,

если бы в ней была сосредоточена вся

масса тела,

плюс кинетическая энергия тела

в его движении отно-

сительно

системы

отсчета,

связанной с центром инерции и дви-

жущейся вместе с ним поступательно

(теорема Кёнига1 )).

Чтобы

доказать

теорему

Кёнига, выберем в теле произволь-

ную точку

О'

и поместим в нее начало вспомогательной системы

координат

х',

у',

г',

поступательно

движущейся

вместе с этой

точкой.

Тогда

где

Vio' —скорость

точки

в

ее

движении

относительно системы

*',

У', г'.

Приступим

теперь

к подсчету

кинетической энергии

Т

= "2 ^

m'v* =

"2

Подставляя

сюда

выражение для vt,

имеем

^ m

(V

+ Vio>)• (V0' + Vto>) =

Первая

сумма

представляет собой

кинетическую энергию тела

в его переносном движении

вместе с точкой О'. Она равна

Вторая сумма представляет собой кинетическую энергию движения тела по отношению к системе координат, движущейся поступательно с точкой О'. Обозначим ее через Т%>.

Третью сумму можно преобразовать так:

У] mtVo' • Vio- = v0- • 2 т&ю' = Mv0- • Vco-,

где ©се— скорость центра инерции в относительном движении. Поэтому при произвольном выборе точки О'

Если же выбрать точку О' в центре инерции С, то Vco' = 0 и

(6)

х) Теорема Кёнига верна и для общего случая произвольной системы материальных точек. Однако она, как правило, используется приподсчете кинетической энергии твердого тела и поэтому излагается в этой главе.

§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ	171
Теорема Кёнига доказана.

Для того чтобы определить кинетическую энергию Т$>, обратим внимание на то, что в относительном движении точка О' неподвижна (она находится в начале координат системы х', у', г'), и поэтому То- подсчитывается как кинетическая энергия тела, имеющего неподвижную точку. При наличии неподвижной точки всегда существует мгновенная ось вращения, проходящая через эту точку. В рассматриваемое мгновение скорости распре-

деляются так, как если бы тело вращалось с угловой	скоростью ю
вокруг этой оси, поэтому
|«/о'|=«>Ро;>	(7)

где Pi—расстояние от f-й точки до мгновенной оси, и кинетическая энергия То- равна

где Ja —момент инерции относительно мгновенной оси (см.ниже). 6° Твердое тело представляет собой систему с шестью степенямисвободы. Действительно, в гл. I было показано, что дви-

жение системы отсчета, а значит, и связанного с ней тела, всегда можно рассматривать как сложное движение, в котором переносным является поступательное движение вместе с какой-либо произвольно выбранной точкой А тела, а относительным —дви- жение тела с неподвижной точкой А. Положение точки А полностью определяется тремя координатами этой точки; положение же тела, одна точка которого неподвижна, полностью определяется заданием трех величин, например трех углов (далее будет подробно разъяснено, каким образом можно выбрать эти три угла).

Условимся далее в качестве точки А выбирать центр тяжести С (т. е. центр инерции) тела. Тогда движение точки А, а значит, и поступательное движение системы, связанной с точкой А, полностью определяется теоремой о движении центра инерции

МГС = Лвнеш-

Проектируя это уравнение на оси координат, получаем для движения центра инерции три скалярных уравнения

N	N	N
= 2 J ^<*внеш. Щс=	2	^«/внеш. М2с= 2

1=1

i = 1

I=1