Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

192	ГЛ V ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

движущейся в пространстве оси £, а третьей —момент относительно линии узлов N, которая перемещается и по отношению к неподвижному пространству, и по отношению к телу. Понимая это, мы все же начнем вывод уравнений Лагранжа для того, чтобы перейти от них к более удобной для данного случая форме уравнений движения.

Составим уравнения Лагранжа для эйлерова угла ф, т. е. обобщенной координаты q2. Фигурирующая в уравнениях Лагранжа частная производная dT/dq2 равна

дТ__дТ_дТдр	,dTdq	.дТдг__г
Цг ~~Ъц~ д'р5ф +	dq дц,+	дг дф ~ C r ;

здесь	учтено,	что	в	силу соотношений (53)		др/дф = dg/дф — О и
д/-/дф = 1, а в силу				(43) дТ/дг = Сг. Итак,
				d дТ	„dr
					с
Подсчитаем теперь				частную производную
^L — d L djL л-		дТ ^	4-д— -- —
дц>	др бф '	dq dtp	'	дг ду
=	Ар (ф sin 8 cos ф — 8 sincp)-f 5 ^ ( — - ф sin 6 sin ф — 9 cos ф) =
							(57)
Из формул (56) и (57) следует, что для						координаты	ф урав-
нение Лагранжа имеет вид
				Ct + (B-A)pq = Mi.			(58)
Нам следовало бы теперь аналогичным						образом подсчитать
левые части уравнений Лагранжа для двух						остальных	обобщен-
ных	координат <7i= t|> и Яз —®> подставить					в правые	части этих

уравнений найденные выше моменты — обобщенные силы — и постараться затем преобразовать полученные выражения так, чтобы из правых частей исключить моменты относительно оси г и относительно линии узлов, т. е. чтобы они были заменены моментами относительно осей | , г\, £. Выкладки, связанные с этим, громоздки, однако результаты можно получить сразу, не выписывая уравнений Лагранжа для координат г|э и 6, а рассуждая так же, как это делалось выше при получении равенств (46) из равенства (45).

Уравнение (58) содержит лишь элементы тензора инерции и проекции векторов & и М на оси координат |, ц, £. Выше уже говорилось, что любые операции над тензорами и векторами инвариантны относительно циклической перестановки осей этой

§ 5. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА

193

системы. Выполняя по очереди две циклические перестановки осей, сразу выписываем еще два уравнения

-C)rp	= Mv
-B)qr	= Ml.	K

Система уравнении (58) + (59), которую мы теперь перепишем совместно,

(60)

носит название динамических уравнений Эйлера или просто уравнений Эйлера для тела с неподвижной точкой.

Обратим внимание на то, что эти уравнения можно трактовать просто как запись теоремы об изменении кинетического момента в проекциях на оси 1, i\, £. Действительно, вспомним теорему об изменении кинетического момента:

		^	(61)
Производная dKoldt		определяет скорость точки	К конца век-
тора Ко	относительно	неподвижной в пространстве (латинской)
системы	координат. Рассмотрим теперь движение		этой точки К,

как сложное движение. Производная dKoldt определяет абсолютную скорость точки К- Переносной является скорость той точки тела, с которой совпадает в данный момент точка К, а эта скорость равна <йХГк=(ахКо, так как радиус-вектор гк, проведенный из неподвижной точки к точке К, равен как раз вектору Ко • Относительной скоростью точки К служит скорость ее по отношению к греческой системе координат, связанной с телом. Обозначим скорость конца вектора Ко по отношениюк этой греческой системе {dKoldt)'. Тогда в силу формулы (61) и обычных представлений о сложном движении имеем

=Мо.	(62)
Спроектируем теперь это векторное равенство на оси £,	ц и
£; соответствующие проекции выписаны в табл. III на стр.	194.

Первая строка этой таблицы получается проектированием векторного произведения по обычным правилам. Далее учтено, что проекции вектора Ко на оси греческой системы равны соответственно Ар, Bq и Сг, и поэтому во второй строке проекции производной (dKoldt)' соответственно равны Ар, Bq и С/.

В силу табл. III проекции равенств (62) на оси сразу дают эйлеровы уравнения (60).

7 М, А, АЛзерман -

194	ГЛ V. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Моменты М|, /Ил и М^, стоящие в правых частях уравнений (60), являются, вообще говоря, функциями от эйлеровых углов, их производных и времени:

1|э, 6, <р, -ф. 8, t),

ц = Мц(ц>, ф, 6, ф, ф, 9, t),

ф, 8, ср, i\ 6, 0-

Поэтому уравнения (60) не являются замкнутой системой уравнений относительно введенных выше вспомогательных перемен- ных—проекций угловой скорости р, д, г. Уравнения (60) совместно с уравнениями (53) представляют собой систему с шестью

						Таблица III
	ЧОсь
	Вектор		>ч^	1	•п	5
	в>ХК0			(C-B)qr	(Л-С) рг	(B-A)pq
	(	«О	\'	Ар	Bq	С?
	\	dt	)

неизвестными: тремя неизвестными служат интересующие нас ко- ординаты—эйлеровы углы, а остальными тремя неизвестными — вспомогательные переменные р, q, r. В этом смысле подразделение уравнений Эйлера на кинематические соотношения (53) и динамические уравнения (60) условно и неточно. Обе эти группы уравнений совершенно равноценны, и лишь совместно они описывают движение тел с неподвижной точкой.

Введение вспомогательных переменных р, q, r и использование уравнений Лагранжа в форме уравнений Эйлера (53)+ (60) имеет несомненгые преимущества в тех частных случаях, когда главные

моменты действующих	сил	относительно	осей | , г\, £	не зависят
от эйлеровых углов	и их	производных	например,	когда эти

моменты постоянны (в частности, равны нулю) или являются заданными функциями времени. В этих случаях систему (60) можно рассматривать как независимую систему дифференциальных уравнений относительно вспомогательных переменных р, q, r;

если	эта система разрешена, то уравнения (53) затем опреде-
ляют	эйлеровы углы ф, г|з, 8 как функции времени.

Известны лишь три частных случая, когда уравнения (53) + (60)

могут быть не только расщеплены на две независимые системы

уравнений, о чем шла речь выше, но и интегрирование системы

уравнений Эйлера (60) может быть доведено до квадратур при

5 6 ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ ПО ИНЕРЦИИ

195

любых начальных данных, а именно—случай Эйлера, случай Лагранжа, случай Ковалевской*).

В случае Эйлера тело с неподвижной точкой движется по инерции. Это имеет место тогда, когда действующие на тело силы сводятся к равнодействующей, которая все время проходит через

неподвижную точку		и, следовательно, не создает			момента отно-
сительно этой точки2).
	В случае Лагранжа тело имеет ось симметрии				(А = В), внеш-
ней	силой служит	вес, а центр	тяжести	и неподвижная точка
лежат на оси симметрии. К этому			случаю	относится, например,
движение симметричного волчка в поле тяжести.
	В случае Ковалевской на свойства симметрии накладываются
еще более сильные ограничения, именно, требуется, чтобы						А =
=	В = 2С. В этом	случае внешней силой		также	является	вес,

однако центр тяжести может быть расположен где угодно в экваториальной плоскости эллипсоида инерции для неподвижной точки.

В следующем параграфе мы рассмотрим движение тела по инерции (случай Эйлера), а в § 7 один важный вопрос, касающийся, в частности, и случая Лагранжа; случай Ковалевской, редко встречающийся в приложениях, рассматриваться нами не будет.

§ 6. Движение твердого тела с неподвижной точкой по инерции (случай Эйлера)

Приступая к изучению движения твердого тела с неподвижной точкой по инерции (случай Эйлера), рассмотрим отдельно движе-

ние тела,	у	которого А Ф В,	и движение		тела	в случае, когда
А = В, т.	е.	когда эллипсоид	инерции для		неподвижной точки
является	эллипсоидом вращения. В случае			А~В		мы будем гово-

рить, что тело обладает динамической симметрией. Динамическая симметрия всегда имеет место у однородных тел вращения, но может случиться, что тело не является телом вращения, однако

А—В, т. е. имеет место динамическая симметрия.

1.Общий случай АфВ (отсутствие динамической симметрии).

В случае Эйлера главный момент Мо приложенных сил относительно неподвижной точки равен нулю, и поэтому

М4= 0, М„= 0, Ms = 0;

(63)

система уравнений (60) становится автономной и может быть решена отдельно от системы (53). Но в этом случае мы распола-

гаем двумя	первыми интегралами	уравнений движения, которые
1) Найдено и описано много иных		интегрируемых случаев, нов них нак-
ладываются	ограничения и на выбор начальных		данных.
2) Эта равнодействующая уравновешивается			реакцией опоры, Если равно
действующая	равна нулю, то реакция	опоры отсутствует,
7*

196	ГЛ. V ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

получаются в силу Двух законов сохранения: закона сохранения кинетического момента и закона сохранения кинетической энергии. Действительно, поскольку Мо= 0, из теоремы об изменении кинетического момента получаем

Ко —Ко = const.

С другой стороны, элементарная работа всех приложенных сил равна нулю, т. е. 6Л = 0, а значит, dT = 01), т. е.

Т = 70 = const.

Из того факта, что при движении твердого тела по инерции вектор кинетического момента не меняется, следует, в частности, что не меняется и квадрат модуля этого вектора:

/Со = const.

В связи с тем, что оси, связанные с телом, направлены по главным осям инерции для неподвижной точки, имеем

поэтому
	Л2р2	+ S V		+ С 2 ' 2	= Kg = const.				(64)
С другой стороны, в		этом случае
	| Л р 2 + 1 5 9		2 + | С г г		= Г = Г0 = const.				(65)
*) Это можно получить непосредственно из уравнений Эйлера (60). Поло-
жив в этих	уравнениях М^ = Мц=М^=0,					умножив первое уравнение на р,
второе на q,	а третье —на г и сложив результаты, получим
или
	d (Ар*+Bq*+Cr*)/dt =0,					т, е. r = r 0
Из равенства Г = Г„= const				вытекает,		между		прочим, что вектор 8 пер-
пендикулярен вектору /Со, т. е. e-/fo = 0.
Действительно проекции			вектора Ко		на		оси,	связанные с 1елом,	равны
Ар, Bq, Cr,	а проекции вектора е равны р,					q,	t, так как
	dm
	ъ==чт
Следовательно,
							2
Верно и обратное утверждение: если при движении твердого тела (не обя-
зательно в случае Эйлера!) е-Ко				= 0, то при			этом	движении T = T 0	t

§ 6. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ ПО ИНЕРЦИИ

197

Перенося в выражениях (64) и (65) члены, содержащие г, в правую часть равенства, получаем систему алгебраических уравнений относительно двух неизвестных р2 и q2:

Рассматривается случай АфВ. Поэтому определитель этой системы алгебраических уравнений (относительно р8 и q2)

Д = А в =*АВ{В- А)

отличен	от нуля,	так что ее можно решить,					например, по пра-
вилу Крамера:
		27	в			Л
	rfl	— CV2 В2		* я		Л2		(66)
	р	Л	В			Л	В
		Л2	В2			Л 2	В 2
или
		(	= Ы Г		» То, Ко).			(67)
		(\~-%				* 0> Ко),
			— /2 V		>
где выражения для функций /х				и /2		получатся сразу, если в фор-
мулах	(66) вычислить определители					в числителе		и знаменателе.
Перемножая левые и правые части					равенств (67) и извлекая затем
квадратный корень, получаем
						, Т о , Ко)-		(68)

Обратимся теперь к последнему уравнению системы (60). Как уже указывалось выше, в правой части этого уравнения в рассматриваемом случае стоит нуль, а второй член левой части определен выражением (68). Подставив его в это уравнение, получим

\ То, Ко)-

Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение относительно одной неизвестной величины г (проекции угловой скоросги на ось £). В этом уравнении переменные разделяются, поэтому можно написать

Cdr

-dt.

Vf(r\ To,Ко)

Интегрируя это равенство, получаем

(69)

J Vf(r\ To, Ко)

где 5 —постоянная интегрирования.

198	ГЛ V ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
После подстановки в явной форме выражения для /(г2, То, Ко)
в левой части формулы		(69) получается эллиптический интеграл,
и таким образом, задача		сводится к одной простой квадратуре —
эллиптическому	интегралу. Интегралы такого рода хорошо изу-

чены, и для них составлены специальные таблицы. Вычислив этот интеграл, т. е. найдя t как функцию от г и трех произвольных постоянных S, Кои Го,определяемых начальными данными, а затем разрешив полученное соотношение относительно г, нужно вер-

нуться к уравнениям	(66) и подставить в их	правые части най-
	денное выражение г.		Тогда р и q
	тоже будут найдены как функции t
	и указанных	трех	произвольных
	постоянных. Уравнения (60)пол-
	ностью проинтегрированы, причем
	были использованы		два готовых
	первых интеграла, даваемых за-
	конами сохранения, и лишь один
	раз пришлось вычислить			интеграл.
Рис. V.10.	Указанный	прием		позволяет

найти введенные выше вспомогательные переменные — проекции р, q и г как функции времени и начальных данных, но для того чтобы представить себе картину движения твердого тела по инерции, надо было бы проинтегрировать теперь систему уравнений (53). Значительно удобнее «увидеть», каким образом фактически происходит движение твердого тела поинерции, воспользовавшись изящным геометрическим приемом, указанным Пуансо.

Рассмотрим эллипсоид инерции, построенный длянеподвижной точки О (рис. V.10). Назовем мгновенным полюсом Р точку, в которой мгновенная ось пересекает этот эллипсоид инерции, обозначим через Гр радиус-вектор точки Р и положим

\=11Е1.	(70)
| ю |
Координаты точки Р, равные
g = A,p, т]= Я<7, £ = Яг,	(71)

должны удовлетворять уравнению эллипсоида инерции, т. е. уравнению

Л|2 + Вг)а + С ^ - 1 = 0 ,

(72)

так как по условию \, т), £— главные оси инерции для точки О. Подставляя в формулу (72) выражения (71), получаем

Я2 (Ар* + Bq* + Сл2) - 1	= 0 ,	(73)
или
^ = 7^ 7 = const.		(74)

§ 6. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ ПО ИНЕРЦИИ

199

Покажем теперь, что проекция OS радиуса-вектора гР на направление постоянного вектора кинетического момента Ко также не меняется во времени:

OS = Пр*0Гр = Прк№ = Hip*,© = Л - 5 ^ = ^ = c o n s t - (7 5 )

Теперь покажем, что нормаль N к эллипсоиду инерции в точке Р параллельна вектору Ко- Для этого вычислим проекции вектораградиента

f =2*. f-2flr,. f =2CC,

где F —левая часть уравнения (72). Проекции этого вектораградиента пропорциональны проекциям вектора Ко, так как проекции вектора Ко равны

Из того, что нормаль к эллипсоиду инерции в точке Р параллельна вектору Ко, следует, что плоскость, касательная к эллипсоиду инерции в точке Р, перпендикулярна вектору Ко- Но выше было показано, что проекция вектора гР на направление Ко не меняется. Это значит, что касательная к эллипсоиду инерции плоскость все время пересекает постоянный вектор Ко в одной и той же точке.

Таким образом, начальные условия задают направление вектора Ко и плоскость, которая пересекает вектор Ко и касается эллипсоида инерции. При движении тела эллипсоид инерции также движется вместе с телом, однако он всегда касается указанной плоскости, положение которой в пространстве не меняется. В силу того, что точка Р расположена на направлении вектора ю, т. е. на направлении мгновенной оси, скорость этой точки тела в любое мгновение равна нулю. Отсюда следует, что движение по инерции

тела с неподвижной точкой всегда происходит так, что эллипсоид
инерции, построенный для неподвижной точки, вертится и катится
без скольжения	по неподвижной плоскости, положение	которой
в пространстве	полностью определяется начальными	данными.

Рассмотрим теперь случай,	когда вектор ш направлен по одной
из главных осей, т. е. когда
р = со,	q = r = O,
или
<7 = со,	г = р = 0,
или же

Каждое из этих движений удовлетворяет динамическим уравнениям Эйлера, и непосредственно видно, что если в случае Эйлера

200 ГЛ V ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

(т. е. при Mi —УИЛ= Mi = 0) вектор ю в начальный момент направлен по главной оси инерции, то движение тела по инерции является вращением вокруг этой оси. Такие движения называются перманентными вращниями тела1)

2. Случай А — В (динамическая симметрия). Рассмотрим теперь частный случай, когда тело имеет ось динамической симметрии. Так как ось симметрии всегда является главной осью инерции, ясно, что одна из осей греческой системы должна быть направлена

по оси симметрии. Направим по ней ось

£. Учитывая, что А —В,

т. е. что эллипсоид инерции является

эллипсоидом вращения, из

последнего уравнения системы (60) сразу получаем,

что

= 0, т. е. г = const,

(76)

а из использовавшегося выше соотношения

получаем

или, учитывая

(76),

= const.

(77)

Проведем теперь плоскость П через вектор <ои ось £ (рис. V. 11).

Эта плоскость

пересекает плоскость

£От] по

прямой R. Спроек-

тируем

вектор

со на

направление

оси

С и

на

прямую

R. Эти

проекции,

равные г

и \^p2-\-q2,B

силу

формул

(76) и (77)

не меня-

ются

при движении. Отсюда следу-

ет, что

вектор

ю

не

меняется по

величине

и что угол между векто-

ром со и осью £ также не меняется.

Покажем теперь, что при

А=В

вектор кинетическогомомента

Ко

всегда

(а

не

только

в

случае

Эйлера!)

лежит

в плоскости П.

Действительно, проекции

вектора

Ко на оси g

и

ц

равны

Ар

и

Рис. V.11.

Bq соответственно,

и

так

как

в

рассматриваемом

случае

А=В,

эти проекции пропорциональны проекциям вектора ©. Отсюда сразу следует, что проекция вектора Ко н а плоскость £Ог| отличается лишь на множитель А от проекции вектора ю на эту

г)	Вопрос об устойчивости перманентных вращений будет рассмотрен
а гл,	VI,

§ 6. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ ПО ИНЕРЦИИ

201

плоскость, т. е. что вектор Ко также лежит в плоскости П. Но, как уже было указано, в случае движения по инерции вектор Ко неподвижен в пространстве, вектор же w движется. Отсюда сразу следует, что во время движения по инерции симметричного твердого тела плоскость П вращается вокруг неподвижного направления —это направление задается вектором Ко-

Однако в случае Эйлера проекция вектора «о на направление вектора Ко также постоянна:

	1*0					(78)
а значит, угол между вектором		о* и вектором			Ко не	меняется.
Выше уже было сказано, что не		меняется		и	угол между век-
тором ю и осью £.
Таким образом,	во время движения		по	инерции симметрич-
ного твердого тела	всегда существует		плоскость П,			в которой
находятся векторы	о» и Ко- Абсолютные величины этих					векторов,

а также углы, которые они составляют с осью симметрии и между

собой, сохраняют

постоянное

значение. Значит,

изменение век-

тора

(о происходит

лишь за счет вращения плоскости П вокруг

неподвижного вектора Ко-

Рассмотрим теперь

плоскость

П. Направим ось z по фикси-

рованному направлению вектора

/Со> а ось £ вдоль

оси симмет-

рии тела.

Угол

между

этими осями

равен 8; выше было пока-

зано, что 9 = const

и,

значит, 6 = 0.

Из равенства

(52) следует,

что в этом

случае

ю = ф + ф.

(79)

Векторы

ф и

ф

направлены

по осям £ и г соответственно

(рис. V.8);

положим <p = G>j, \J3 = ft)2

и в силу равенства (79) раз-

ложим

в плоскости

П

вектор

«а на

*

©х

и

<ю2

(рис. V.12).

Модули

этих

векторов

постоянны,

так

как модуль

вектора

ю,

а также

углы

между о> и

осями £

и

г

сохраняют

постоянное

значение.

Таким

образом,

движение

симметричного твердого

тела

по инер-

ции можно

рассматривать

как

сумму

двух вращений

с

постоянными

угло-

выми скоростями. Одно вращение про-

исходит

вокруг

оси

симметрии £

с

угловой

скоростью ©j,

а

другое — вокруг

постоянного направ-

ления

кинетического

момента

Ко

с угловой

скоростью

щ.

Движение, при котором симметричное тело с неподвижной

точкой вращается

с постоянной

угловой

скоростью

вокруг

оси

материальной симметрии,

а сама эта

ось

симметрии

вращается