Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

172	ГЛ V ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Для	того чтобы полностью описать движение тела в прост-

ранстве, надо к этим трем уравнениям, определяющим движение центра инерции, добавить уравнения, описызающие изменение во времени обобщенных координат, характеризующих движение тела вокруг центра инерции. Выбор этих обобщенных координат и способы записи уравнений для них будут подробно рассмотрены ниже. Эти уравнения вместе с уравнениями для движения центра инерции и составляют систему дифференциальных уравнений, описывающих движение твердого тела.

В данном случае нас интересует только движение тела с вполне определенной неподвижной точкой —центром инерции, но движение тела с неподвижной точкой интересно и само по себе, так как оно часто встречается в приложениях. Примерами движения этого вида могут служить, например, движение гироскопа в кардановом подвесе и движение раскрученного волчка. Поэтому, рассматривая далее в этой главе движение относительно неподвижной точки, мы не будем связывать себя условием, что неподвижная точка расположена в центре инерциих ).

7° Это замечание касается вращения тела относительно неподвижной оси /. Для подсчета кинетической энергии тела в этом случае нет нуж,"ы использовать теорему Кёнига даже в том случае, когда центр инерции тела не лежит на оси и имеет скорость, отличную от нуля. Действительно, можно выбрать начало координат на неподвижной оси и рассуждать точно так же, как это делалось в конце замечания 5° при подсчете Тб', поскольку формула (8) определяет в этом случае не относительную, а абсолютную скорость, если считать, что р, — расстояние от г-й точки до оси вращения. Поэтому в случае движения тела относительно неподвижной оси

Сумма, входящая в это	выражение, называется моментом
инерции тела относительно оси I и обозначается через		Jt:
Ji~Em.pl		(10)
В силу (9) и (10) имеем
rp	J[d	(И)

J) Все уравнения и следствия из них, которые получаются далее, разумеется, относятся и к тому частному случаю, когда неподвижная точка совпадает с центром инерции тела.

§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ		173
При вращении тела относительно неподвижной	оси кинетиче-
ский момент относительно этой оси равен (рис. V.1)
Ki = Пр/ (У, Г{ х miV,) = У] m/VjPi = 2 /таксер? =	У/<о.	(12)

Для мгновенного вращения вокруг мгновенной оси соответственно имеем

(13)

где Кш — кинетический момент тела относительно мгновенной оси. В связи с тем, что мгновенная ось меняет свое положение отно-

сительно		тела			(вспомните подвижный и
неподвижный				аксоиды!),				меняется и мо-
мент	инерции			Уш. Эгот факт имеет						важ-
ное	значение			и	в дальнейшем будет					рас-
смотрен		отдельно.
Вернемся				к	формуле			(12),	т. е. к
случаю,		когда			ось		неподвижна.		Диффе-
ренцируя по			t	обе		части		равенства		(12),
получаем
				т	с1ш		dKi
				Jl	dt	=	If
Но в силу			теоремы				об	изменении		ки-	Р"с. V.I.
нетического момента производная в пра-
вой части равна Mt							— главному		моменту		внешних сил относи-
тельно оси /,			поэтому

h

M

ИЛИ

		/d2(p	м	(14)
		(№•
где ф —угол	поворота	тела вокруг оси /. Это		равенство назы-
вают дифференциальным уравнением вращения тела относительно
неподвижной	оси. Если	известны	зависимость	момента внешних

сил относительно оси / от времени (либо от ф, либо от со) и на-

чальные		данные		(ф и со в момент			t — t0),	то решение дифферен-
циального уравнения					(14) позволит найти ф как функцию времени.
Равенство			(14) по		форме	напоминает		второй закон Ньютона
для	точки
но в	нем	вместо		векторов о		и Ft	стоят	скалярные величины ф
и Mi, а		роль	массы		играет	момент инерции относительно оси.

Рис. V.2.

174		ГЛ V. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
		§ 2. Геометрия масс твердого тела
Формулы		(11)—(141» содержат одну		и ту же величину —мо-
мент	инерции относительно некоторой			оси. Понятие о моменте
инерции является			центральным при изучении движения тела и
будет	далее	играть	важную роль, поэтому мыостановимся на нем

подробнее. Момент инерции относительно осиявляется скалярной величиной, характеризующей не только массу тела, но и распределение ее относительно оси. Сохраняя общую массу тела и меняя лишь расстояние точек тела от оси, можно менять момент инерции и оказывать этим существенное влияние на такие важные характеристики движения, как кинетическая энергия и кинетический момент.

Рассмотрим следующую задачу: предположим, что нам известен момент инерции тела относительно некоторой оси I,вычис-

ленный по формуле (10); требуется определить момент инерции этого же тела относительно иной оси, параллельной оси / и проходящей через центр инерции С. Задачу эту решает

Т е о р е м а (Гюйгенса —Ш т е й н е р а). Момент инерции тела JL относительно произвольной оси I равен моментуинерции тела j c относительно оси, параллельнойI и проходящей через центр инерции С, плюс произведение массытела на квадрат расстояния между осями, т. е.

J,= Jc +Md\

(15)

где d — расстояние между осями.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим i-ю точку тела с массой /л,- (рис. V.2). Обозначим через рС(- расстояние от точки т,- до осиг, проведенной через центр инерции параллельно оси /, а через ри —расстояние от этой же точки до оси /; тогда

ph = pci+ d2 —2padcosai.

(16)

Умножая обе стороны равенства (16) на mt и суммируя по всем точкам тела, получаем

2 ЩРи = £ трЬ + d* 2 tnt —Id 2 pam/ cos ос*. (17)

Выражение в левой части равенства (17) равно Jt. Первая сумма в правой части равна Jc, т. е. моменту инерции относительно оси, параллельной оси / и проходящей через центр инерции тела. Следующий член в правой части уравнения (17)равен Md2, где d —расстояние между осями г и I, Нам осталось пока-

Рис. V.3.

§ 2. ГЕОМЕТРИЯ МАСС ТВЕРДОГО ТЕЛА

175

зать лишь, что последний член в формуле (17) равен нулю. Чтобы сделать это, выберем начало координат на оси г и направим ось у так, чтобы она пересекала ось / (см. рис. V.2). Тогда последнюю сумму в правой части выражения (17) можно переписать так:

2 т{ра cosa,-= £ rmyi= Myс = 0.

(18)

Этот член равен нулю в связи с тем, что по построению ось г проходит через начало координат, и следовательно, координата ус центра инерции равна нулю. Теорема Гюйгенса — Штейнера доказана.

Теорема Гюйгенса —Штейнера удобна в том отношении, что она позволяет использовать приведенные в справочниках моменты инерции типичных фигур и тел относительно стандартных осей, проходящих через центр инерции, для вычисления моментов инерции относительно других осей, параллельных стандартным. Теорема эта не помогает, однако, вычислить моменты инерции относительно осей, образующих заданные углы со стандартными. Поэтому естественно возникает вопрос о том, как меняется момент инерции при повороте оси.

Рассмотрим систему декартовых координат х, у, z и предположим, что моменты инерции тела относительно этих осей заданы. Пусть, далее, задана ось /, полностью ориентированная относительно осей х, у, г (рис. V.3). Говоря, что ось полностью ориентирована относительно системы координат, мы утверждаем тем самым, что задан ее орт е, т.е. заданы направляющие косинусы. Обозначим их (именно направляющие косинусы, а не углы!) через а, р и у соответственно. Требуется по заданным моментам инерции относительно осей х, у, z и направляющим косинусам ее, р, у определить моменты инерции относительно оси /.

В	соответствии с		рис. V.3	расстояние 1-й точки тела т,- от
оси / составляет р; = | /*; | sin %. Заметим, что такую же					абсолют-
ную	величину	имеет	векторное	произведение радиуса-вектора rt
на орт е оси /,		\riXe\	= risin%.	Таким образом,
Но					(19)
	j	k		x$-yia)k	(20)
	Щ

a P Y

176ГЛ V ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛЛ

ипоэтому

IП х е |2 =(JW - г,-р)2 + (г(а- xtyf	+{х$ - Viaf =
= а2 (у! +г!) +р2 (х? +2l)+Y2 W+у!) -
-	2a$xiyi - 2аух^ - 2$уу&. (21)

Умножив теперь левую и правую части равенства (21) на т{ и просуммировав выражение по всем точкам тела, получим

Jt =а2 £ т< (г/1 +г?) +Р2 S ^ (4+г?) +Y2 И пц (*? +Ю -
	- 2ар 2 тгх,г/г - 2ауS "»лг, - 2Ру 2 щщг^		(22)
Правая	часть формулы (22) содержит шесть сумм. Под знаками
первых	трех сумм в скобках оказались	выражения, равные квад-
ратам расстояний точки т г от осей х, у		и г соответственно:
Поэтому формулу (22) можно переписать так:
J,= а2 2 тф1 + Р2 S m/P?v + у2 2 т,р?2 -
	:^,-- 2ау 2 т,-лг,г,-- 2Pv 2 т#,-гг.		(23)

В правой части этого равенства первые три члена содержат моменты инерции относительно осей х, у и г соответственно. Что же касается остальных трех сумм, то они выражают геометрические характеристики распределения масс, которые отличаются от введенных выше моментов инерции. Обозначим каждую изэтих сумм буквой J с двойным индексом, указав в качестве этих индексов координаты, фигурирующие в соответствующих суммах:

	.	(24)
Тогда равенство	(23) можно окончательно представить	в виде
Jt = аЧх	+ V*Jy + -fj, - 2a$Jxy - 2ayJxz -	(25)

Входящие в формулу (25) выражения (24) называются центробежными моментами инерции(или произведениями инерции)

тела относительно системы осей х, у,		г. Очевидно,
Jxy==Jyxi	J хг = J zxt	Jyz== »zy	\"®)

В этом смысле существуют не три, а шесть центробежных моментов инерции для данной системы координат х, у, г, но они попарно равны между собой в силу симметрии формул (24).

Вернемся теперь к формуле (25). Она указывает, что поставленная выше задача об определении момента инерции относительно некоторой оси, полностью ориентированной по отношению к декартовой системе осей, лишь по моментам инерции этого же

§ 2 ГЕОМЕТРИЯ МЛСС ТВЕРДОГО ТЕЛА

177

тела относительно декартовых осей, вообще говоря, не имеет решения — надо знать еще центробежные моменты этого же тела, которые не определяются через моменты инерции относительно трех ортогональных осей. Для определения момента инерции относительно произвольно ориентированной оси нужно знать шесть (точнее, девять, но в силу симметрии три из них попарно равны друг Другу) скалярных величин: три момента инерции относительно ортогональных осей и три центробежных момента инерции.

Момент инерции тела относительно некоторой оси / определяется только тем, как распределены массы тела относительно этой оси, и, разумеется, совершенно не зависит от того, каким образом выбрана система координат, по отношению к которой моменты инерции известны При изменении системы координат изменяется шестерка указанных чисел —характеристик этой системы, но изменяется и ориентация рассматриваемой оси относительно системы, т. е. направляющие косинусы а, В и у; общее же выражение, позволяющее определить момент инерции тела через характеристики избранной системы и направляющие коси-

нусы, остается	одним и тем же и задается формулой (25). Можно
показать, что	при повороте системы декартовых координат х,		у,
z относительно рассматриваемой		точки О моменты инерции	Jx,
JУ и Jz и центробежные моменты		инерции изменяются в соответ-
ствии с формулами, определяющими симметрический тензор вто-

рого ранга *). Поэтому матрица

J ==	Jx	J xy	~~ •*xz
	Jyx	Jy	-Jyz
	J zx	Jzy	J z

определяет тензор второго ранга. Его называют тензором инерции тела. В силу соотношений (26) тензор инерции тела является симметрическим тензором.

Тензор инерции —важнейшая характеристика твердого тела. Свяжем теперь с тензором инерции удобный геометрический образ. Выберем произвольную систему координат х, у, z и произвольно ориентированное в этой системе направление оси / с ортом е. Отложим вдоль оси / из начала координат отрезок ON,

равный \lYh (Ри с - V.4). Пусть х, у, г —координаты точки N. Найдем уравнение геометрического места точек N для всех возможных осей /.

!) Мы	не имеем		возможности здесь		входить	в детали		для разъяснения
свойств тензоров		и отсылаем		читателя к	любому	курсу	векторного и		тензор-
ного исчисления,		например, к		книге: Б о р и с е н к о А.			И ,	Т а р а п о в	И. Е.
Векторный	анализ и		начало	тензорного	исчисления.—^М.:			Высшая	школа,
1966.

178	ГЛ. V. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Вспоминая,	что а, Р и у —направляющие косинусы орта е,
можно записать
	,	или	a =
	,	или	^ =	(28)
	,	или	y =
Подставляя	эти выражения	а, р* и у в формулу		(25), по-

лучаем

- 2Jxyxy - 2Jyzyz	- 2JxXz = 1.	(29)
Таким образом, геометрическим местом концов указанных от-
резков, т. е. геометрическим местом точек	N, является	поверх-
ность второго порядка. По самому построению длина отрезка ON
на рис. V.4 отлична от нуля и ограничена, так как для		любого

конечного тела момент	инерции Jt — величина, отличная от нуля
и ограниченная. Среди	поверхностей второго порядка ограничены

лишь эллипсоиды (в частности, сферы). Следовательно, геометрическим местом точек N является эллипсоид1). Построенный так эллипсоид

/У		называется	эллипсоидом инерции для
		точки О. Уравнение (29) является урав-
		нением эллипсоида инерции для этой
		точки. Непосредственно видно, что за-
.	*-	дание тензора инерции однозначно зада-
У°	У	ет эллипсоид инерции.
		Таким образом, для данного тела с
Рис. V.4.		каждой точкой		пространства связыва-
		ется геометрический образ —эллипсоид,
который изменяется при переходе от			одной точки пространства
к другой.
Как известно из аналитической геометрии, для любого эллип-
соида существуют главные оси. В главных				осях х*, у*, г* урав-
нение эллипсоида имеет вид
				(30)

*) Лишь в вырожденном случае стержня нулевого сечения (отрезка материальной прямой) относительно оси стержня Ji — О; в этом случае эллипсоид инерции вырождается в круговой цилиндр с осью {.

§ 2 ГЕОМЕТРИЯ МАСС ТВЕРДОГО ТЕЛА

179

где а, Ь, с—полуоси эллипсоида. В связи с тем, что полуоси эллипсоида равны расстояниям от его центра до поверхности, они равны

vn vn vn

Подставляя выражения (31) в (30), получаем уравнение эллипсоида инерции в главных осях

	Jх*х** + Jи*у** + Л * 2 * 2 = 1 .		(32)
Сравнивая теперь уравнение эллипсоида		инерции, записанное
в главных	осях в форме (32), и уравнение	эллипсоида инерции
(29), записанное в произвольно выбранных осях,			заключаем, что
в системе	координат, оси которой направлены по главным осям
эллипсоида	инерции, центробежные моменты инерции равны нулю:
	Jx*y* = J'x*z*= Jy*z* = 0.		(33)

Если эллипсоид инерции отличен от сферы и не является эллипсоидом вращения, то существует единственная система главных осей. При этих условиях в каждой точке пространства может быть указана единственная система осей, замечательная тем,что по отношению к этой системе центробежные моменты инерции равны нулю. Оси, удовлетворяющие этому условию, называются главнымиосями инерциитела для рассматриваемой точки, а моменты инерции относительно этих осей —главными моментами инерции. Главные оси инерции, проходящие через центр инерции тела, называются главными центральными осями инерции.

Таким образом, основная характеристика геометрии масс — тензор инерции тела —позволяет ввести две важные характеристики распределения масс тела по отношению к рассматриваемой точке пространства: первой характеристикой является эллипсоид инерции, построенный в этой точке, второй —связанная сним система главных осей инерции. При переходе от одной точки к другой, вообще говоря, меняются как эллипсоид инерции, так и направления глав' ix осей. Разумеется, существует исключительный случай, когда главными осями инерции являются любые ортогональные оси, пройденные через рассматриваемую точку,— такой случай имеет место, когда эллипсоид инерции в точке является сферой.

Сделаем теперь	несколько	замечаний, касающихся главных
осей и моментов инерции.
З а м е ч а н и е 1. До сих пор, говоря «главные оси инерции»,
мы имели в виду	всю систему	ортогональных декартовых осей.
Рассмотрим теперь	случай, когда в точке Опри некотором выборе
осей х, у, г

" xz = = Jуг = = "> Jху Ч^ "•

180	ГЛ V ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Мы покажем далее, что в этом случае можно повернуть систему координат BOKpyi оси z на такой угол (он находится единственным образом), что в новой системе координат х', у', г' все три центробежных момента будут равны нулю:

J х'у' =	J х'г' = J у'г' = U»
В таких случаях говорят,	что ось г (а не вся система коорди-

нат!) является главной осью инерции в точке О. Вообще, если два центробежных момента инерции равны нулю, а третий отличен от нуля, то ось, соответствующая общему индексу равных нулю центробежных моментов инерции, называется главной осью инерции в точке О.

Тот факт, что такой поворот координат действительно возможен и является единственным, следует немедленно из формул, выражающих новые координаты через старые при повороте системы координат относительно оси г:

х' = х cosа -+- у sina,
у' = у cosа —х sinа,	(34)
г' = г.

Используя равенства (34) и условие Jуг = Jxz —0, вычислим моменты инерции J,rz> wJX'Z''-

ii/z" = Ъ Щу\г[ = cosa £ mly,zi — sin a £ tnlxlzi	=
'i = cos a £ rtitXtz,
= ./«cos a-f-./^ sin a = 0.	(35)

Таким образом, два центробежных момента инерции, равные нулю до поворота системы координат, остаются равными нулю при любом повороте вокруг оси г. Подсчитаем теперь

= sina соь a £ m,yl — sin a cos a V,mrf + (cos2 a — sin2 a) 2

= — g-sin 2a ( £ /ад2 - Ц т(у!) + cos2a 1] m ^ , . (36)

Поскольку

2 m; 4- 2 m/«/f =2 mt (xf+г?) —2 m^(г/f +г?) =/й — Jx,

из формулы (36) непосредственно следует, что существует единственный угол а, при котором Jx,y, = 0:

2Jxll

			§ 2. ГЕОМЕТРИЯ МАСС ТВЕРДОГО ТЕЛА							181
	Указанные выше			рассуждения		оправдывают			наименование
«главная ось инерции» для отдельно						взятой оси.
	З а м е ч а н и е		2.	Пусть в точке		О задана система				координат
х, у, z, и пусть ось г является					главной для точки О. Выясним,
остается ли она			главной для		любых		других	точек,		лежащих
на	этой оси. Иначе говоря, выберем						произвольную точку А на
оси	г	и проведем	через нее оси х',			у', параллельные				осям х, у
(ось	г'	совпадает	с осью г; см. рис. V.5). Будет						ли ось г' глав-
ной	также и для точки Л?
	Новые координаты точек выражаются через							старые так:.

(а —О А), и поэтому центробежные моменты инерции относительно новых осей равны

i —а) = Jxz — аМхс,

- a) = Jyg - а

Из того факта, что старые моменты инерции Jхг и Jуг равны нулю, следует, что новые моменты инерции JX'Z- и Jy-Z' равны нулю тогда и только тогда, ко-

z\z	гда х ;=}&с = 0,т-е-		к о г д а центр
	инерци!гт)асположен		на оси г.
	Таким образом,	главная ось

I

		/П;
Рис.	V.5.	Рис. V.6.
инерции остается	главной для всехсвоих точек тогда и только

тогда, когда она является главнойцентральной осью инерции.

З а м е ч а н и е 3. Если у тела есть ось материальной симметрии, то она является главной центральной осью инерции этого тела.

Осью материальной симметрии называется ось, обладающая следующим свойством. Если из произвольной i'-й точки смассой mi провести прямую, перпендикулярную этой оси,то на продолжении такой прямой найдется другая точка с точно такой же массой т{, расположенная от прямой на том же самом расстоянии (рис.V.6). Приняв ось материальной симметрии за ось z и