Бакаев Методы статистических испытаний 2007

Пример 5.4. Решим стохастическое дифференциальное уравнение

dX = µ X dt + σ X dW, µ,σ = const .

Данное уравнение приводит к знаменитой модели П.Самуэльсона (см. [38]) или, как более употребительно говорить в современной литературе, к модели Блэка-Мертона- Шоулза (см. [28, 35]), описывающей эволюцию стоимости акций геометрическим (или, как называл его сам Самуэльсон, экономическим) броуновским движением. Аналогичное уравнение для эволюции процентной ставки используется в модели Л. Дотхана (см. [30]).

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой Ито с F(t,x)= ln x, при этом придем к формуле

	1		1				1				2		2	1
d lnX =		µ X −								σ		X	dt +		σ X dW ,
	X		2			X 2								X
после упрощения которой получаем уравнение
			µ −				1	σ		2			+ σ dW .
	dlnX =						2				dt

Последнее уравнение после формальной замены ln X → X полностью аналогично уравнению, рассматривавшемуся в примере 5.3. Поэтому, воспользовавшись полученным ранее результатом, имеем

lnX (t)= lnX (0)+							µ −	1	σ	2
								2			t + σ W (t)
или
			µ −	1	σ	2
X (t )= X							t +σW(t)			.
		(0)e		2
Пример 5.5.	В теории эволюции краткосрочной
процентной ставки		используется									модель О. Васичека

(см. [41]), основанная на описании искомого процесса посредством стохастического дифференциального уравнения вида (при α = 0 это уравнение переходит в уравнение Ортштейна-Уленбека, предложенное в [40])

111

dX = (α − βX )dt + γ dW, α,β,γ = const.

Нашей целью будет показать, что это уравнение также допускает аналитическое решение.

Перепишем исходное уравнение в виде

dX = −β X dt + (α dt + γ dW )

и воспользуемся методом вариации постоянных, рассматривая выражение в круглых скобках как неоднородность уравнения:

	Х(t)= X (0)e − βt + α		∫0t e − β(t −s ) ds + γ ∫0t e − β(t −s ) dW (s)=
	= X (0)e − βt +	α	(1 − e − βt )+ γ e − βt ∫0t e β s dW (s).
		β

Для вычисления оставшегося интеграла применим формулу
(5.21) при f (s)= γe −β(t −s ) и окончательно получим
X (t)= X (0)e −βt +	α	(1− e −βt )+ γ	1− e −2 βt	Z (t),
			2 β
	β

где Z(t) – нормальный случайный процесс, значения которого в различные моменты времени независимы и при любом фиксированном t значение Z(t) – это нормальная случайная величина с параметрами (0,1). При этом было использовано то, что в каждый момент времени t случайная величина

γ	1− e −βt	Z(t)	распределена	нормально с		нулевым
	2 β
математическим ожиданием и дисперсией, равной γ					2	1− e −2 βt	.
						2 β
			112

Таким образом, при достаточно малых значениях t

дисперсия решения растет как

γ2 t ,11 и, следовательно,

первоначально краткосрочная ставка X(t) распространяется как стандартный винеровский процесс, хотя и с некоторым дрейфом.12 Однако для больших значений t процесс X(t) сходится к стационарному решению, представляющему собой

нормальное распределение с математическим ожиданием αβ и

	дисперсией	γ2	. Подобные процессы называют процессами
		2 β

возвращения к среднему.

5.5 Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений

К сожалению, аналитическое решение допускают крайне ограниченные классы стохастических дифференциальных уравнений и дополнительные трудности при интегрировании, если сравнивать с интегрированием обычных (то есть детерминированных) дифференциальных уравнений, вносит наличие управляющего случайного (винеровского) процесса. Поэтому для исследования стохастической динамики сложных систем все чаще применяются методы компьютерного моделирования. Кроме того, были разработаны определенные численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений и систем таких уравнений. Эти методы основаны на смешении идей интегрирования детерминированных дифференциальных уравнений и

11При малых t можно приближенно записать 1− e −2 βt ≈ 2βt .

12Наличие дрейфа обусловлено ненулевым математическим ожиданием

X (0)e −βt + αβ (1− e −βt )процесса X(t).

113

определенной техники, специфической для методов МонтеКарло.

Естественным подходом при приближенном компьютерном решении стохастических дифференциальных уравнений следует считать использование специфических разностных методов, которые естественным образом вытекают из данных выше определений стохастических интегралов через организованные специальным образом интегральные суммы. При этом для оценки точности таких разностных методов естественно оценивать уклонение приближенного процесса от точного в среднем квадратичном. В оценках точности, как правило, появляются значения приращения винеровского процесса ∆W := W(t+∆t) – W(t), где ∆t – шаг разностной сетки по времени, поэтому следует иметь в виду, что

∆W =W (t + ∆t)−W (t)=	N0	∆t	Z(t),
	2

где, как и выше, Z(t) – нормальный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией

K (t1,t2 )= 0, t1 =≠ t2 .1, t1 t2

Другими словами, случайная величина ∆W имеет дисперсию ~ ∆t и, следовательно, характерный разброс

значений (среднее квадратическое отклонение) ~ ∆t . Продемонстрируем, как строятся разностные методы на

примере уравнения (5.12). Итак, будем исходить из уравнения

dX = f (t,X )dt + g(t,X )dW	(5.22)
с начальным условиемX (t0 )= X0 ,	(5.23)
где X0 – некоторая заданная случайная величина.

114

Введем разностную сетку по времени, задав узлы сетки ti := t0 + i ∆t

с фиксированным шагом ∆t. Задача Коши (5.22), (5.23) может быть записана в эквивалентной форме в терминах стохастических интегралов, если временно принять ti за начальный момент,

X (t)= X (ti )+		t	f (τ,X (τ))dτ +	t g(τ,X (τ))dW (τ).			(5.24)
		∫ti		∫ti
Полагая	теперь	t = ti+1 и ориентируясь			на	определение
стохастических интегралов, приближенно имеем
	ti+1 f (τ,X (τ))dτ ≈ f (ti ,X (τi ))∆t ,						(5.25)
и	∫ti
	ti+1 g(τ,X (τ))dW (τ)≈ g(ti ,X (ti ))∆Wi ,						(5.26)
	∫ti
где, как	и выше,		∆Wi : =W (ti +1 )−W (ti ).		Эти	соображения

приводят нас к разностной схеме, аппроксимирующей исходную задачу Коши (5.22), (5.23),

Xi +1 = Xi + f (ti ,Xi )∆t + g(ti ,Xi )∆Wi , i = 0,1,..., (5.27)

где случайные величины X i теперь рассматриваются как

приближения (аппроксимации) соответствующих точных значений X (ti ) искомого случайного процесса. Таким образом,

искомый случайный процесс X (t) аппроксимируется при помощи (5.27) временным рядом Xi , i =0,1,... на заданной сетке

по времени. Разностная схема (5.27) называется схемой Эйлера. При работе компьютерного алгоритма, основанного на применении этой схемы, для вычисления реализации Xi +1

используется реализация X i , вычисленная на предыдущем шаге, а величина ∆Wi моделируется как реализация нормальной случайной величины с нулевым математическим

115

ожиданием и дисперсией, равной N20 ∆t (или, что то же самое,

со средним квадратичным отклонением, равным	N0	∆t ).
	2

Таким образом, если теоретическая разностная схема (5.27) определяет последовательность случайных величин (временной ряд) Xi , i =0,1,..., то соответствующий компьютерный

алгоритм позволяет получить лишь конкретную реализацию этой последовательности. Поэтому, как это и делается в алгоритмах, основанных на применении методов Монте-Карло, необходимо повторить процесс моделирования, базирующийся на использовании формулы (5.27), большое количество раз, чтобы иметь в своем распоряжении набор компьютерных реализаций последовательности Xi , i =0,1,... , достаточный для

проведения дальнейших статистических выводов.

В теории приближенного решения стохастических уравнений показывается (см., например, книгу Д. Ф. Кузнецова [16]), что разностная схема Эйлера дает приближенное решение задачи (5.22), (5.23) с оценкой погрешности в среднем квадратичном

X (t

)− X

i

(

)

1

2

i

∆t

f (t, x)

и g(t, x)

при условии, что коэффициенты уравнения

удовлетворяют условию липшицевости:

f (t,x)− f (t, y)

+

g(t,x)− g(t, y)

≤ L

x− y

,

L=const

для любых t, x, y.

Оказывается, что низкая точность аппроксимации порядка (∆t)12 для схемы (5.27) на самом деле происходит из-за недостаточно хорошей принятой аппроксимации (5.26) второго интеграла в (5.24), в то время как аппроксимация (5.25) первого

116

интеграла дает вклад в результирующую точность ~ ∆t.13 Если вместо (5.26) использовать аппроксимацию

ti+1 g(τ,X (τ))dW (τ)≈ − 1

g(ti ,X (ti ))g′x (ti ,X (ti )) ∆t +

∫ti

2

+ g(ti ,X (ti ))∆Wi +

1 g(ti ,X (ti ))g′x (ti ,X (ti ))(∆Wi )2 ,

2

то при достаточной (более высокой, чем в случае схемы

Эйлера) гладкости функции g(t, x) новая схема

X

= X

,X

)−

1

g(t

,X

)g′

(t

,X

i +1

i

+ f (t

2

) ∆t +

i

i

i

i

x

i

i

+ g(ti ,Xi ) ∆Wi +

1 g (ti ,Xi )g′x (ti ,Xi )(∆Wi )2 i = 0,1,…

2

∆t.

Эта схема называется

будет уже иметь аппроксимацию

схемой Милштейна.

По аналогии легко записать схему Эйлера для системы стохастических дифференциальных уравнений (5.11). Эта схема имеет вид

Xi +1 = Xi + f (ti ,Xi )∆t + g(ti ,Xi )∆Wi i = 0,1,…, ,

где Xi – аппроксимация к X (ti ). Можно показать, что и для

систем, если предположить достаточную гладкость векторных полей f(t,x) и g(t,x), схема Эйлера имеет аппроксимацию

1

~ (∆t)2 . Что касается обобщения схемы Милштейна на случай

систем, то при этом возникают определенные технические трудности, оставленные без обсуждения, отсылая интересующегося читателя к книге Д.Ф. Кузнецова [16].

13 Заметим, что ситуация, когда второй интеграл в (5.24) отсутствует, реализуется при g(t, x)≡ 0 . Но тогда исходное уравнение (5.22)

становится чисто детерминированным, а разностная схема (5.27) переходит в схему Эйлера для детерминированного уравнения, имеющую, как известно, точность ~ ∆t.

117

ЧАСТЬ II

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МОНТЕ-КАРЛО В ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ