Бакаев Методы статистических испытаний 2007

стоимости акции в момент времени Т строится по аналогии с тем, что было сделано в рамках обобщённой модели Р. Мертона.

Модель стохастической волатильности

Модель стохастической волатильности основана на использовании предположения, что волатильность σ сама является случайным процессом, определяемым при помощи некоторого дополнительного стохастического дифференциального уравнения. Различные версии этой модели обсуждались в работах [33, 36, 39, 42]. Общая форма такой модели имеет вид

dS = S (µ(t,S,σ)dt +σ dW (1)),	S(t0 )= S 0		;
dL = a(t,L)dt + b(t,L)dW (2),	L(	)= L0	,	(10.5)
	t0

где µ(t,S,σ), a(t,L)и b(t,L) – заданные неслучайные функции,

L

σ = e 2 , W (k) =W (k)(t), k =1, 2 – два независимых стандартных винеровских процесса и S0 , L0 – некоторые случайные величины с заданными законами распределения.3 Таким образом, случайный процесс σ = σ(t) выражается по простой

формуле через решение второго уравнения в (10.5) и фактически (10.5) представляет собой систему двух стохастических дифференциальных уравнений с соответствующими начальными условиями.

Схема Эйлера для решения задачи (10.5) может быть записана в виде

Si+1 =Si (µ (ti ,Si ,σi ))∆t +σi ∆Wi(1) ;

3 В частности, одна из этих величин или обе сразу могут быть неслучайными.

161

Li+1 =a(ti ,Li )∆t +b(ti ,Li )∆Wi( 2 ) ;						i = 0, 1, …		(10.6)
с начальными условиями					S0 = S0	и	L0 = L0 , где ∆t	– шаг
разностной сетки,			Si	и Li	– приближения соответственно к
S(ti )и L(ti ), σi и			Li	связаны друг с другом посредством
формулы σi` = e	Li		а W (k) (ti+1 )−W (k) (ti ), k =1,2 – приращения
	2	,
соответствующих				винеровских			процессов.	Схема

моделирования по методу Монте-Карло для построения оценки средней стоимости акции в момент времени Т > t0 строится по аналогии со схемами, применяемыми в рамках предыдущих моделей динамики стоимости акций; отличие состоит в том, что два разностных уравнения в (10.6), использованные для вычисления выборочных реализаций дискретных случайных процессов Si и Li , применяются последовательно в порядке, обратном их написанию, для всех i = 0, 1, …, М – 1 с пересчётом реализации Li в реализацию σi .

10.2 Моделирование стохастических процентных ставок

Ранее, при рассмотрении примеров аналитического решения стохастических дифференциальных уравнений в параграфе 5.4, фактически анализировались модели Р. Мертона [35], Л. Дотхана [30], О. Васичека [41] для эволюции стохастической процентной ставки. Сейчас обсудим вопрос численного моделирования процентной ставки в рамках более сложных моделей, для которых нет возможности построить решение в аналитическом виде. Поскольку техника Монте-Карло для построения точечных и интервальных оценок прогнозируемой процентной ставки в заданный будущий момент времени ничем не отличается от техники построения аналогичных оценок в случае задачи исследования эволюции стоимости акций, достаточно

162

ограничиться указанием конструкций разностных схем для численного решения стохастических дифференциальных уравнений в рамках каждой из рассматриваемых ниже моделей эволюции процентной ставки. При этом будем считать, что процентная ставка r(t) удовлетворяет

начальному условию r(t0 )= r0, где r0 – заданная случайная (в частности, возможно детерми-нированная величина). Как

ивыше, для численного моделирования зададим

разностную сетку	ti = t0 + i ∆t с фиксированным шагом
∆t .

Модель Дж. Халла и А. Уайта

Дж. Халл и А. Уайт предложили следующие две модели эволюции процентной ставки (см. [34]):

dr = (α(t)− β(t)r)dt + γ(t)dW ,			(10.7)
и
dr = (α(t)− β(t)r)dt + γ(t)r	1	dW ,	(10.8)
	2
где α(t), β(t)и γ(t)– некоторые заданные			неслучайные

функции, а W = W(t) – стандартный винеровский процесс. Разностные схемы Эйлера для (10.7) и (10.8) представляются, соответственно, в виде

ri +1 = ri + (α(ti )− β(ti )ri )∆t + γ(ti )∆Wi,										i = 0,1,...,
и
							1
r +		= r + (α(		)− β(t )r )∆t + γ(t			)r		∆W	i = 0,1,...,
	1							2
i		i	ti		i i	i	i		i,
где, как			обычно,		∆Wi =W (ti+1 )−W (ti )					– приращение

винеровского процесса. Для модели (10.7) разностная схема Милштейна фактически совпадает со схемой Эйлера. Однако

163

в случае более сложной модели (10.8) схема Милштейна записывается как

1

2

ri+1 = ri +

α(ti )− β(ti )ri −

γ

(ti ) ∆t +

4

1

∆W + 1

(

)(∆W )2

+ γ(

)r

γ2

, i = 0,1,...

2

ti

i

i

4

ti

i

Модель Ф. Блэка и П. Карасинского

Рассмотрим теперь модель Ф. Блэка и П. Карасинского, предложенную в [27]:

dr = r (α(t)− β(t)lnr)dt + γ(t)r dW,

где α(t), β(t), γ(t)и W = W(t) имеют тот же смысл, что и в

случае прежних двух моделей. Разностные схемы Эйлера и Милштейна для этой модели представляются соответственно следующими соотношениями:

ri +1 = ri + ri (α(ti )− β(ti ))ln ri ∆t + γ(ti )ri		∆Wi, i = 0,1,...,
и	1 γ2 (ti ) ∆t +
ri+1 = ri + ri (α(ti )− β(ti ))ln ri −
+ γ(ti )ri ∆Wi + 1 γ2 (ti )ri (	2
	∆Wi )2 ,	i = 0,1,... .
2

Модель Л. Чена

Модель Л. Чена, предложенная в [29], считается более адекватной реальным процессам, поскольку она основана на предположении, что коэффициенты стохастического

164

дифференциального уравнения, описывающего эволюцию процентной ставки, сами являются случайными процессами. Эти процессы, как предполагается, удовлетворяют некоторым дополнительным стохастическим дифференциальным уравнениям. Таким образом, модель Л. Чена фактически описывается системой стохастических дифференциальных уравнений:

	1
	dr = (α − r)dt + (γr)						dW (1),
						2
	1
	dα = (α* − α)dt + α				dW (2),
				2
	1
	d γ = (γ* − γ)dt+ γ		dW ( 3 ),
		2
где α	и γ – некоторые константы, а W(k) = W(k)(t), k=1,2,3 –
*	*

независимые винеровские процессы. Ограничимся указанием конструкции разностной схемы Эйлера для данной системы:

1
ri +1 = ri + (αi − ri )∆t + (γiri )					∆Wi(1),
			2
						1		∆Wi(2),
αi +1 = αi + (α* − αi )∆t + αi2
	1	∆Wi			(3) .
γi+1 = γi + (γ* − γi )∆t+ γi2

При компьютерной реализации алгоритма сначала используются второе и третье разностные уравнения последней системы, которые являются независимыми, а затем уже производится окончательный расчёт на основе первого уравнения

.

165

Глава 11 Моделирование ценообразования опционов

Обсудим теперь применение техники Монте-Карло для моделирования ценообразования определённых финансовых инструментов на рынках ценных бумаг. Более конкретно рассмотрим моделирование методом Монте-Карло ценообразования так называемых опционов на покупку (call options) акций и облигаций – последние два вида ценных бумаг и будут рассматриваться в качестве финансовых активов.

Для начала обсудим вкратце те финансовые инструменты, с которыми будем иметь дело. Опцион на покупку (call option) – это документ, который даёт его владельцу право, но не обязанность, на покупку определённого актива (пакета ценных бумаг) по предварительно установленной цене (цена исполнения, strike price) на момент определённой даты. За это право без обязательства выплачивается определённая сумма (опционная премия) тому, кто должен выполнить обязательство, декларированное в опционе. Таким образом, опцион имеет фиксированный срок действия, а опционное обязательство, в случае если оно востребовано, исполняется согласно фиксированной и заранее оговорённой цене. В то же время покупатель опциона может отказаться от проведения сделки по опциону без угрозы наложения каких-либо штрафов, но уплаченная им опционная премия не возвращается – такова цена отказа от совершённой сделки.

Существуют ещё так называемые опционы на продажу (put options), которые могут быть определены и изучены аналогичным образом. Для конкретности в дальнейшем будем говорить только об опционах на покупку. Кроме того, будем рассматривать только так называемые европейские опционы, срок исполнения которых заранее оговорен и фиксирован.

166

Далее будем считать, что выполнены обычные предположения об идеальности рынка (см., например, [22,23]):

а) абсолютная ликвидность и бесконечная делимость всех активов;

б) совпадение мгновенных цен покупки и продажи; в) отсутствие налогов и транзакционных издержек;

г) возможность неограниченного заимствования и одалживания по одной и той же банковской процентной ставке, одинаковой для всех участников рынка;

д) отсутствие кредитного риска.

Ввиду различия в используемых математических моделях далее рассматривается проблема ценообразования опционов отдельно в случаях рынка акций и рынка облигаций.

11.1 Опционы на рынке акций

Для описания динамики цены акции примем модель Б. Дюпири (10.4) (как и выше S(t) обозначает мгновенную (случайную) цену акции). Обозначая через Т срок действия опциона до момента исполнения, а через К цену исполнения, прибыль по опциону можно выразить по формуле

CT = M[max(0,S(T )− K )].

(11.1)

При этом используется известный принцип рискнейтральности (см., например, [22, 23] или [20, глава 10]), постулирующий, что выписанная формула должна рассматриваться в безрисковой среде, в которой ожидаемая доходность любой акции совпадает с безрисковой процентной ставкой, обозначаемой далее через r(t) и считающейся заданной детерминированной функцией. Следовательно, при вычислении CT по формуле (11.1) цена актива должна определяться в соответствии с моделью (10.4),

167

в которой доходность акции µ(t) должна быть	заменена
безрисковой процентной ставкой r(t). Для того	чтобы
определить цену опциона C0 на момент его покупки (будем

считать,	что этот момент отвечает значению времени t0 = 0 ),
величина CT должна быть дисконтирована в соответствии с
безрисковой процентной ставкой:
C0	= e	−T∫r (t )d t	CT = e	−T∫r (t )d t	M[max(0,S(T )− K )].	(11.2)
		0		0

Таким образом, генерируя выборку приближённых реализаций sM,1,sM,2,...,sM,N случайной величины S(T) на основе численного решения (по схеме Эйлера или по схеме Милштейна) стохастического дифференциального уравнения

dS = S(r(t)dt + σ(t,S )dW )

с заданным значением S(0), можно получить статистическую

оценку CT;N для CT :

1

N

CT;N =

∑max(0,sM,j − K )

N

j =1

и далее оценку

0;N для справедливой стоимости опциона

C

C0 :

T

1

N

−∫r (t )dt

C0;N

=

∑max(0,sM,j − K )e 0

.

N j =1

168

Интеграл T∫r(t)dt в показателе экспоненциального фактора

0

может быть вычислен любым численным методом. Статистические ошибки (на основе указания доверительных интервалов) для обеих оценок строятся стандартным способом (см. параграф 6.1).

В случае, когда r и σ — константы, то есть не зависят от t, в работе Блэка и Шоулза [28] выведена теоретическая оценка справедливой стоимости опциона:

C0 = S(0)F(d1 )− Ke−rT F(d2 ),

где

ln( S(0) ) + r + σ2 T

d1 = K 2 , d2 = d1 − σ T,

σ T

аF(x) – функция распределения нормальной случайной

величины с параметрами (0, 1), то есть F(x)=	1	+	1	Φ(x).1
	2		2

Ясно, что аналогичная техника статистических испытаний может быть развита и в рамках других стохастических моделей динамики активов. Кроме того, могут быть рассмотрены опционы других типов, например американские или азиатские опционы (см. [25, глава VIII]).

1 Как и в параграфе 3.4, Φ(x)обозначает интеграл вероятностей.

169

11.2 Опционы на рынке облигаций

Рынок облигаций характеризуется, как известно, определенной спецификой используемых математических моделей, что приводит к необходимости выделить вопрос ценообразования опционов на покупку облигаций в отдельный параграф.

Пусть рынок состоит из банковского счета и бескупонной облигации, причем случайный фактор на данном рынке полностью определяется банковской процентной ставкой – все остальные факторы, влияющие на состояние рынка, считаются детерминированными.

В качестве начала отсчета времени принимается t0 = 0 . Считается, что облигация подлежит выкупу в момент времени T по единичной цене, то есть P(T,T )=1, где P(t,T) – (случайная) цена облигации в произвольный момент времени t(0 ≤ t ≤T). Далее принимается, что банковская процентная ставка r(t) является случайным

гауссовско-марковским		процессом,	подчиняющимся
стохастическому дифференциальному уравнению
	dr = (α(t)−β(t)r)dt + γ(t)dW		(11.3)
с неслучайным начальным условием			r(0)= r0 , где
α(t), β(t),	γ(t) – заданные детерминированные функции, а
W =W (t)	– стандартный	винеровский	процесс. Пусть,
наконец,	T 0 (0 < T 0 < T ) –	момент исполнения опциона на

покупку упомянутой выше облигации; обозначим, при этом, цену исполнения опциона через K. Используемую модель рынка принято называть однофакторной гауссовой моделью (см., например, [25, глава VIII]).

170