Бакаев Методы статистических испытаний 2007

рождения термина "метод Монте-Карло".6 Поэтому излагаемый ниже подход также можно назвать методом Монте-Карло, хотя он весьма сильно отличается в заключительной фазе своего применения от всех остальных методов, описанных на страницах данной книги. Отметим, что излагаемым в данном параграфе конструкциям как раз и уделено внимание, чтобы показать широчайшие возможности, вытекающие из применения принципа случайности.

Итак, с учетом вышесказанного построим метод численного решения задачи (9.9), основанный на принципе случайного поиска. При этом будем предполагать без ограничения общности,7 что

		µn ≤ µi , i = 1,2,…,n-1 .					(9.10)
	Воспользуемся соотношением
n	n	n−1 n−1	n−1		wn +cnn wn2 ,		(9.11)
∑ ∑cij wi wj =		∑ ∑cij wi wj + ∑(cin +cni )wi
i=1 j=1		i=1 j=1	i=1
и	подставим,	применяя		n		=1, вместо wn
			условие ∑ wi
выражение				i=1
		~
				n−1
		wn : =1−		∑wi ,
				i =1

в результате чего получим эквивалентную (9.9) постановку

6Напомним, что этот термин был введен Николасом Метрополисом в связи с тем, что он увидел отчетливую аналогию между методами, использующими генерацию случайных чисел, и ситуациями, возникающими на столах для игры в рулетку.

7Выполнения этих неравенств всегда можно добиться за счет специального выбора нумерации активов.

151

n−1

Λ: =

∑

(µi −µn )wi +µn

→ max ;

i=1

1

n−1 n−1

n−1

~

~ 2

(c

+c

+c

2

∑ ∑c w w

+∑

)w w

w

i=1 j=1

ij i j

i=1

in

ni i n

nn n

n−1	w ≥0 .	(9.12)
∑wi ≤1 ,
i=1	i

n−1

Заметим, что в формулировке (9.12) неравенство ∑wi ≤1

i=1

является по сути дела выражением того факта, что wn ≥ 0 . Необходимо указать, что функционал Λ принимает

только положительные значения на множестве весовwi ,

i = 1,2,..., n-1, подчиненных ограничениям, указанным в (9.12), так как числитель соответствующей дроби очевидно положителен ввиду (9.10), а знаменатель представлен положительно определенной квадратичной формой, порожденной матрицей ковариации С, которая, как известно, симметрична и положительно определена и, следовательно, знаменатель тоже принимает только положительные значения8. Более того, значения функционала Λ ограничены сверху, так как числитель представляющей его дроби ограничен сверху, а знаменатель ограничен снизу положительным числом. Действительно, с учетом (9.10) числитель допускает оценку

n−1		n−1	+ µn ≤ 2µ1 .
∑	(µi −µn )wi + µn ≤ µ1	∑wi + µn ≤ µ1
i =1		i=1

По поводу оценки снизу знаменателя, заметим сначала, что ввиду неравенства Коши (см., например, [2, глава 1])

n−1	~ 2	n−1	2		~ 2
1 = ∑wi +wn		≤ ∑wi			+wn
i=1		i=1

n	n−1	2	~ 2		,
∑1	≤ n ∑wi		+wn
i =1	i=1

8 Случай w1 = w2 =…= wn−1 = w~n = 0 исключен по очевидной причине .

152

откуда следует

	n−1	2	~2		1		(9.13)
	∑wi		+wn	≥		.
					n
	i=1

А поскольку квадратичная форма, порождаемая матрицей ковариации С, положительно определена, то существует с > 0, такое, что

n−1 n−1	n−1		~	~2	≤	n−1	2	~ 2		,
∑ ∑cij wi wj + ∑		(cin +cni )wi wn +cnn wn				с ∑wi		+wn
i=1 j=1	i=1					i=1

и с учетом (9.13), знаменатель дроби, представляющей Λ,

ограничен	снизу	величиной			c		.	Итак, функционал Λ
					n
ограничен	сверху	на множестве					W	весовwi ,	i=1,2,…,n-1,
заданном как9
			n−1	n−1
W := (w1;w2;...;wn ) R				: ∑wi ≤1, wi ≥0 .
				i =1
Кроме того, как		легко видеть,				Λ		является	непрерывной

функцией от wi , i=1,2,…,n-1 , а множество W – замкнуто и

ограничено. Таким образом, применяя известную теорему математического анализа о достижении максимума непрерывной и ограниченной сверху функцией, заданной на замкнутом ограниченном множестве (см., например,

9 Фактически множествоW является (n-1) - мерным симплексом.

153

[3, глава 8]), делаем вывод, что Λ достигает своего максимального значения на множестве W.10

Теперь можно описать метод случайного поиска для решения задачи оптимизации портфеля в постановке (9.12). Как уже отмечалось выше, будут рассмотрены здесь две версии этого метода, описания которых для задач оптимизации в общем случае можно найти в учебном пособии Ф.П. Васильева [5]. Там же можно ознакомиться с другими возможностями случайного поиска.

Алгоритм с возвратом при неудачном шаге

Пусть w* = ( w* ; w* ;...; w*		) – некоторая внутренняя точка
1 2	n−1

множества W (то есть w* не лежит на границе множества W), интерпретируемая как некоторый начальный для процесса поиска состав портфеля.11 Пусть далее U = (U1;U2;…;Un-1)

–случайный вектор, координаты которого являются

независимыми	случайными				величинами,
распределенными
		1		1
равномерно на	промежутке −		;		.С использованием
		2		2

датчика случайных чисел генерируется реализация этого вектора u = (u1 ;u2 ;...;un−1 ) и проверяется, принадлежит ли

10 Максимальное значение Λ может достигаться при различных наборах весов wi, i=1,2,…,n-1. Такая ситуация возникает, например, если два различных актива имеют одинаковые значения как доходности, так и риска. Считается, однако, что для инвестора не имеет значения, с каким составом портфеля он достигает максимума Λ.

11 Коль скоро веса w1, w2, …,wn-1 известны, wn определяется однозначно посредством условия (9.1).

154

вектор w*+u внутренней части множества W. Если нет, то

этого добиваются заменой	u := q p u	с некоторым
q = const < 1 и натуральным	р. Алгоритмически это

осуществляется путем проведения последовательной серии замен u := q u, пока не будет выполнено нужное условие на w* + u. Далее проверяется, выполняется ли условие

Λ (w* + u) >Λ (w*) .

(9.14)

Если данное условие выполняется, то сделанный шаг признается удачным и заменой w* := w* + u определяется новый состав портфеля (с лучшим значением целевого функционала Λ). В противном случае шаг считается неудачным, и тогда с использованием датчика случайных чисел генерируется другая (независимая) реализация u случайного вектора U и делается соответствующая новая попытка улучшить состав портфеля при помощи описанных выше действий вплоть до проверки условия (9.14). Таким образом, получается итерационный процесс приближенной максимизации функционала Λ, при этом остановку итераций можно производить, например, когда два последовательно найденных состава портфеля отличаются друг от друга в пределах заданной точности.12

Алгоритм статистического градиента

Пусть, как и в случае предыдущего алгоритма, w* – некоторая внутренняя точка множества W, определяющая

12 Отклонение составов портфеля друг от друга можно измерять в любой метрике, которой может быть наделено (n - 1) - мерное пространство.

155

начало итерационного процесса по поиску оптимального

состава портфеля, и пусть, как и				ранее,	u – реализация
введенного выше случайного вектора U, такая, что вектор
w* + u	принадлежит		внутренней	части	множества		W.
Вычисляется		разность	∆Λ := Λ(w* + u) – Λ (w*)			и затем
полагается		v := ∆Λ u. Далее		проверяется		условие,
принадлежит ли вектор			w* + v внутренней части множества
W. Если	нет,	то этого	добиваются	заменой v := q1p1 v			с

некоторым q1 = const < 1 и натуральным р1 (желательно наименьшим из возможных),13 после чего определяется новый состав портфеля заменой w* := w* + v. Описанная процедура перехода к новому составу портфеля соответствует одному итерационному шагу алгоритма. Полное количество итераций определяется правилом остановки, которое можно принять таким же, как и в случае алгоритма с возвратом при неудачном шаге.

13 См. аналогичную технологиюв случае предыдущего алгоритма.

156

Глава 10 Моделирование динамики финансовых активов

В настоящей главе обсуждаются некоторые диффузионные модели, позволяющие проводить исследование стохастической эволюции финансовых активов в рыночной среде, и метод Монте-Карло для численной реализации этих моделей, основанный на численном решении соответствующих стохастических дифференциальных уравнений. В качестве финансовых активов рассматриваются для конкретности такие ценные бумаги как акции. Кроме того, выделяется в отдельный вопрос задача моделирования стохастических процентных ставок, которая является крайне важной при оценке и прогнозировании ситуации на финансовых рынках.

10.1 Моделирование эволюции стоимости акций

Ранее (см. параграф 5.4) уже рассматривались модели динамики стоимости акций, основанные на работах Башелье [26] и Самуэльсона (Блэка-Мертона-Шоулза) [38, 28], допускающие аналитическое решение. Рассмотрим теперь более общие модели, базирующиеся на использовании стохастических дифференциальных уравнений с зависящими от времени и искомого процесса коэффициентами и потому не допускающие аналитических решений.1 В частном случае постоянных коэффициентов эти модели переходят в модель Самуэльсона (Блэка-Мертона- Шоулза) – последняя, таким образом, может быть использована в качестве тестовой задачи для апробации численных методов, описываемых в данной главе.

1 Данные модели были введены в теорию эволюции стоимости акций с целью преодолеть определённую ограниченность указанных выше более ранних и более простых моделей.

157

Обобщённая модель Р. Мертона

Р. Мертон предложил [35] в более простой модели Самуэльсона (Блэка-Мертона-Шоулза) считать µ и σ

функциями от времени, соответственно, µ(t) и σ(t). Другими словами, его предложение состояло в описании текущей стоимости акции путём использования стохастического дифференциального уравнения

dS = S (µ(t)dt+σ(t)dW ),

(10.1)

где µ(t) и σ(t) – заданные детерминированные функции времени, описывающие, соответственно, доходность и волатильность акции, W = W(t) – стандартный винеровский процесс, S = S(t) – текущая (случайная) стоимость акции. В качестве начального условия для (10.1) принимается

	S(t0 )= S 0 ,	(10.2)
где S 0 – детерминированная или случайная величина, а t0 –
заданный фиксированный момент времени.
Введём разностную сетку по времени, задав узлы сетки
ti := t0 + i ∆t	с фиксированным шагом	∆t . Применим для
решения задачи (10.1), (10.2) метод Эйлера:
Si+1 = Si + Si (µ(ti )∆t + σ(ti )∆W i ), i = 0, 1,…; S0 = S 0 ,
где Si – приближение к S(ti ).		(10.3)
Метод	Монте-Карло для оценки	средней стоимости

акции в момент времени T > t0 может быть теперь построен
следующим образом.		Обозначим	M :=	(T −t0 )		, тогда
				∆t
случайная величина SM , полученная по схеме (10.3), должна
рассматриваться	как	стохастическое		приближение
к S(T) – случайной стоимости акции в момент времени Т.
Пусть N – заданное (достаточно			большое)		количество
статистических	испытаний, каждое		из которых		состоит в

158

sM,1 ,sM,2 ,...,sM,N

моделировании соответствующей реализации случайной величины SM . Для моделирования вначале сгенерируем

реализации s10,s20,...,sN0 случайной величины S 0 по методу обратных функций (закон распределения случайной величины S 0считается заданным).2 Далее, для вычисления реализаций случайной величины SM используется схема (10.3) при i = 0, 1, …, M-1, в которой случайная величина ∆Wi заменяется на ∆Wi,j – её j-ю реализацию, полученную путём генерации нормального закона распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной ∆t (набор всевозможных таких реализаций должен быть независимым), а Si заменяется на соответствующую реализацию si,j и расчёт по схеме (10.3) проводится при всевозможных j = 1, 2,…,N. В результате получается набор приближённых реализаций sM,1,sM,2,...,sM,N

случайной величины S(T); тогда статистическая оценка для S(T) строится, как обычно, усреднением соответствующих реализаций:

				1	N
	S N		=		∑sM,j .
				N
					j =1

Кроме того, стандартным образом может быть построена оценка дисперсии и соответствующая интервальная оценка.

Вместо схемы Эйлера можно использовать схему Милштейна

Si+1 = Si + Si µ(ti )− 12 σ 2 (ti ) ∆t+ Si σ(ti )∆W i + 12 σ 2 (ti )(∆W i)2 , i=0,1…; S0=S0.

2 Если S 0 – заданное (неслучайное) число, то следует принять s10 = s20 = ... = sN0 = S0 .

159

При этом метод Монте-Карло для оценки средней стоимости акции в момент времени Т строится (с очевидными модификациями) так же, как и в случае (10.3).

Модель Б. Дюпири

Модель Б. Дюпири [31, 32] следует рассматривать как дальнейшее развитие обобщённой схемы Р. Мертона; при этом, вводится предположение, что волатильность σ является функцией не только от времени t, но и от самой текущей стоимости акции S(t). Таким образом, данная модель формализуется следующим образом:

dS = S (µ(t)dt+ σ(t,S )dW ),

(10.4)

где волатильность σ(t,S ) – заданная функция от t и S. Метод

Эйлера (10.3) для модели Б. Дюпири фактически сохраняет свою форму с тем небольшим отличием, что σ(ti ) заменяется

на σ(ti , Si ). σ(ti , Si ). В случае использования схемы

Милштейна отличие по сравнению с обобщённой моделью Р. Мертона более значительное, а именно, применяется следующая конструкция:

S

= S

)−

1

2 (

,

)

−

1

σ(

)

(

,

+ S µ(

2

σ

Si

2 Si

'

) ∆t +

i+1

i

i

ti

ti

ti Si

σx

ti

Si

+ S

σ(

,

)∆

+

1

σ(

,

)(σ(

)+ S

(

,

))(∆

)

2

Si

Si

,Si

'

Si

,

i

ti

W i

2

ti

ti

i σx ti

W i

i=0,1,….,

как обычно, с начальным условием (10.2).

Как в случае схемы Эйлера, так и в случае схемы Милштейна, метод Монте-Карло для оценки средней

160