Бакаев Методы статистических испытаний 2007
.pdfПоскольку рассматриваемый опцион европейского типа, его функция выплат определяется по формуле
fT 0 |
|
0 |
,T) − K, |
|
= max P(T |
|
0 , |
||
|
|
|
|
|
а рациональная стоимость опциона CT 0 ,T |
вычисляется (см. |
|||
[25, глава VIII]) как
CT 0 ,T = Μ exp −T0∫0r(t) dt fT 0 =
|
|
T 0 |
|
|
0 |
|
|
= Μ exp |
|
|
,T)−K, |
0 |
|||
− ∫r(t) dt max P(T |
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
|
|
|
|
|
(11.4) |
Кроме того в [25, глава VIII] указано, что мгновенная |
|||||
цена облигации P(t,T ), 0 ≤ t ≤ T |
может |
быть |
определена |
||
через условное математическое ожидание |
|
|
|||
P(t,T )= Μ exp |
−T∫r(t)dt |r(t) . |
(11.5) |
|||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||
Комбинируя формулы (11.4) и (11.5), можно, таким образом, |
|
|||||||||||
получить полезную формулу для определенияCT0 ,T : |
|
|
|
|
||||||||
|
|
T 0 |
|
|
Μ |
|
T |
|
|
− Κ, 0 |
|
, |
CT 0,T = Μ exp |
− ∫r(t)dt max |
|
exp − ∫r(t)dt |r(T0) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
T 0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.6) |
|
|
171
то есть поставленная задача сводится фактически к последовательному вычислению условного, а затем безусловного математических ожиданий соответствующих случайных величин.
Таким образом, техника Монте-Карло для моделирования рациональной стоимости опциона по формуле (11.6) может быть реализована в рамках следующей процедуры.
На отрезках [0;T 0 ] и [T 0;T ] при некоторых достаточно больших натуральных M0 и M1 задаются разностные сетки
ti := i ∆t, |
i = 0,1,...,M 0 |
|
и |
τl := l |
∆τ, |
l = 0,1,...,M 1 , |
где |
||
∆t := |
T 0 |
и ∆τ: = |
T −T |
0 |
. Кроме того, задаются достаточно |
||||
M 0 |
M 1 |
|
|||||||
|
|
|
N0 |
и N1, |
|
N0 имеет |
|
||
большие |
натуральные |
|
где |
смысл |
|||||
количества модельных реализаций случайного процесса r(t)
на отрезке |
[0;T 0 ], a |
N1 обозначает количество модельных |
реализаций |
r(t) на |
отрезке [T 0 ;T ], отвечающих каждой |
отдельной реализации этого процесса на [0;T 0 ].2 Затем на основе численного решения (по схеме Эйлера или по схеме
Милштейна) |
стохастического |
дифференциального |
|
уравнения |
(11.3) с заданным |
значением r(0)= r0 |
|
генерируется |
выборка |
ri;j , |
i = 0,1,...,M 0, j = 0,1,...,N 0 |
приближенных реализаций процесса r(t) на отрезке [0;T 0 ],
а при каждом |
j =1,2,...,N 0 путем численного решения (11.3) |
|||
на отрезке |
[T 0 ;T ] с |
начальным условием |
r(T 0 )= r 0 |
;j |
|
|
|
M |
|
строится выборка rl;j,k , l = 0,1,...,M 1, k =1,2,...,N1 |
ветвящихся |
|||
реализаций r(t) . Далее |
при помощи квадратурной формулы |
|||
2 Таким образом, строятся реализации случайного процесса r(t), ветвящиеся послепрохожденияэтимпроцессоммомента T 0 .
172
прямоугольников, примененной на каждом из отрезков
[0;T 0 ] и [T 0;T ],3
T 0 |
|
|
|
|
M 0 |
−1 |
|
|
T |
|
|
|
|
M 1 |
−1 |
)∆τ |
|
|
∫r(t)dt ≈ ∑r(ti )∆t и ∫ r(t)dt |
≈ ∑r(tl |
|
||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
i =0 |
|
|
T 0 |
|
|
|
|
l =0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
конструируются наборы приближенных реализаций I 0j |
и I1j,k |
|||||||||||||||||
случайных |
величин |
T∫0r(t)dt |
и |
T∫r(t)dt |
(последняя |
– при |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
T 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
условии заданного значения r(T 0 ) , соответственно, как: |
||||||||||||||||||
I 0 |
:= |
M 0 |
−1 |
∆t |
|
и I1 |
|
M 1 |
−1 |
∆τ , |
|
|||||||
∑r |
|
:= |
∑r |
|
||||||||||||||
j,k |
|
|
l =0 |
l;j,k |
|
|
|
j,k |
|
|
|
|
l;j,k |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l =0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
j =1,2,...,N 0, |
k =1,2,...,N1 . |
|
|
|
||||||||||
Окончательно, CT 0 ,T моделируется приближенно как |
||||||||||||||||||
статистическая оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
N 0 |
0 |
|
1 |
|
N 1 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 = |
∑e−I j max |
|
∑e−I j,k |
−K, 0 . |
(11.7) |
|||||||
C |
0 |
|
0 |
,N |
||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
1 |
|
||||||||||||
|
T |
,T;N |
|
N |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j =1 |
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
||
Конструкция интервальной оценки, соответствующей точечной оценке (11.7), является достаточно сложной – ведь сейчас речь идет о двух этапах формирования статистической ошибки (соответствующих оценкам каждого из двух математических ожиданий), перемежаемых к тому же нелинейной операцией взятия максимума. Поэтому ее обсуждение здесь не приводится.
3 Очевидно, нет смысла в использовании более изощренных квадратурных формул, так как даже в случае применения схемы Милштейна процедура численного интегрирования стохастического дифференциального уравнения (11.3) сопровождается ошибкой первого порядка точности.
173
Вто же время заметим, что в случае модели О. Васичека
[41]коэффициенты постоянны: α(t) ≡ α, β(t) ≡ β, γ(t) ≡ γ, и
для задачи о вычислении рациональной стоимости опциона CT 0 ,T существует аналитическое решение
CT 0 ,T = P( 0,T) F(d + ) − KP( 0,T 0 )F(d − ) ,
где F(x) – функция распределения нормальной случайной величины с параметрами (0,1) и
P(0,t)= eA(t )−r0 B(t ),
|
|
1 |
|
|
|
|
|
− βt |
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
γ |
2 |
|
|
|
|
|
|
γ |
2 |
|
|
|
|
|
− βt |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
A(t) |
= |
|
|
1−e |
|
−βt |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
1−e |
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
α |
|
2β |
2 |
4β |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
B(t) |
|
1 |
|
|
|
|
−βt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
|
|
1−e |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ln |
|
|
P(0,T ) |
|
|
± |
|
1 |
φ2( |
|
|
0,T ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
K P(0,T 0) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
d |
± |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ( |
|
0 |
,T ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
||||||||
φ( 0 ,T )= |
(1− |
е |
−β(T −T |
)) |
|
|
(1− |
е |
−2 |
β T |
) . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
T |
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, модель Васичека может быть принята в качестве тестовой задачи для отработки описанной выше методики моделирования.
174
Приложение 1
Критические точки распределения χ2
|
Число |
|
|
|
Уровень значимости α |
|
|
|||
|
степеней |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
свободы |
0.01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.025 |
0.05 |
0.95 |
0.975 |
0.89 |
||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5.0 |
3.8 |
0.0039 |
0.00098 |
0.00016 |
|||||
2 |
9.2 |
7.4 |
6.0 |
0.103 |
0.051 |
0.020 |
||||
3 |
11.3 |
9.4 |
7.8 |
0.352 |
0.216 |
0.115 |
||||
4 |
13.3 |
11.1 |
9.5 |
0.711 |
0.484 |
0.297 |
||||
5 |
15.1 |
12.8 |
11.1 |
1.15 |
0.831 |
0.554 |
||||
6 |
16.8 |
14.4 |
12.6 |
1.64 |
1.24 |
0.872 |
||||
7 |
18.5 |
16.0 |
14.1 |
2.17 |
1.69 |
1.24 |
||||
|
8 |
20.1 |
17.5 |
|
15.5 |
2.73 |
|
2.18 |
|
1.65 |
|
9 |
21.7 |
19.0 |
|
16.9 |
3.33 |
|
2.70 |
|
2.09 |
10 |
23.2 |
20.5 |
18.3 |
3.94 |
3.25 |
2.56 |
||||
11 |
24.7 |
21.9 |
19.7 |
4.57 |
3.82 |
3.05 |
||||
12 |
26.2 |
23.3 |
21.0 |
5.23 |
4.40 |
3.57 |
||||
13 |
27.7 |
24.7 |
22.4 |
5.89 |
5.01 |
4.11 |
||||
14 |
29.1 |
26.1 |
23.7 |
6.57 |
5.63 |
4.66 |
||||
15 |
30.6 |
27.5 |
25.0 |
7.26 |
6.26 |
5.23 |
||||
16 |
32.0 |
28.8 |
26.3 |
7.96 |
6.91 |
5.81 |
||||
17 |
33.4 |
30.2 |
27.6 |
8.67 |
7.56 |
6.41 |
||||
18 |
34.8 |
31.5 |
28.9 |
9.39 |
8.23 |
7.01 |
||||
19 |
36.2 |
32.9 |
30.1 |
10.1 |
8.91 |
7.63 |
||||
20 |
37.6 |
34.2 |
31.4 |
10.9 |
9.59 |
8.26 |
||||
21 |
38.9 |
35.5 |
32.7 |
11.6 |
10.3 |
8.90 |
||||
22 |
40.3 |
36.8 |
33.9 |
12.3 |
11.0 |
9.54 |
||||
23 |
41.6 |
38.1 |
35.2 |
13.1 |
11.7 |
10.2 |
||||
24 |
43.0 |
39.4 |
36.4 |
13.8 |
12.4 |
10.9 |
||||
25 |
44.3 |
40.6 |
37.7 |
14.6 |
13.1 |
11.5 |
||||
26 |
45.6 |
41.9 |
38.9 |
15.4 |
13.8 |
12.2 |
||||
27 |
47.0 |
43.2 |
40.1 |
16.2 |
14.6 |
12.9 |
||||
28 |
48.3 |
44.5 |
41.3 |
16.9 |
15.3 |
13.6 |
||||
29 |
49.6 |
45.7 |
42.6 |
17.7 |
16.0 |
14.3 |
||||
30 |
50.9 |
47.0 |
43.8 |
18.5 |
16.8 |
15.0 |
||||
175
Приложение 2
Некоторые значения функции распределения а1(x)
x |
а1(x) |
0.12 |
0.5 |
0.15 |
0.6 |
0.18 |
0.7 |
0.24 |
0.8 |
0.35 |
0.9 |
0.46 |
0.95 |
0.74 |
0.99 |
0.87 |
0.995 |
1.17 |
0.999 |
1.49 |
0.9998 |
Список литературы
1.Айвазян С. А. , Енюков И. С. , Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. М.:
Финансы и статистика, 1983. |
|
|
|
|
||
2.Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: Мир, 1965. |
|
|||||
3.Бугров Я. С., |
Никольский С. М. |
Дифференциальное |
и |
|||
интегральное исчисление. М.: Наука, 1988. |
|
|
|
|||
4.Булашев С. |
В. |
Статистика |
для трейдеров. |
М.: Компания |
||
Спутник, 2003. |
|
|
|
|
|
|
5.Васильев Ф. |
П. |
Численные |
методы |
решения |
экстремальных |
|
задач. М.: Наука, 1980. |
|
|
|
|
|
|
6.Воеводин В. |
В,.Кузнецов Ю. |
А. Матрицы и вычис-ления. |
М.: |
|||
Наука, 1984.
7.Волошин Г. Я. Методы оптимизации в экономике. М.: Дело и Сервис, 2004.
8.Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2005.
9.Джекел П. Применение методов Монте-Карло в финансах. М.: Интернет-Трейдинг, 2004.
10.Ермаков С. М, Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.:
Наука. 1971.
176
11.Ильченко А. Н. |
Экономико-математические |
методы. М.: |
Финансы и статистика. 2006. |
|
|
12.Кобелев Н. Б. |
Основы имитационного |
моделирования |
сложных экономических систем. М.: Дело, 2003.
13.Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. 14.Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математика для экономистов.
СПб: Питер, 2005.
15.Крянев А. В. Основы финансового анализа и портфельного инвестирования в рыночной экономике. М.: МИФИ, 2000.
16.Кузнецов Д. Ф. Численное моделирование стохас-тических
дифференциальных уравнений и стохастических интегралов. |
|
|||||
17.Курбатов В. И. |
Математические |
методы |
социальных |
|||
технологий. М.: Вузовская книга, 2004. |
|
|
|
|
|
|
18.Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, |
||||||
1973. |
|
|
|
|
|
|
19.Тихонов В. И, Миронов М. А. |
Марковские |
процессы. |
М.: |
|||
Советское радио, 1977. |
|
|
|
|
|
|
20.Уотшем Т. Дж., К. Паррамоу. |
Количественные |
ме-тоды |
в |
|||
финансах. М.: ЮНИТИ, 1999. |
|
|
|
|
|
|
21.Фомин Г. П. Математические |
методы |
и |
модели |
в |
||
коммерческой деятельности. М.: Финансы и статистика, 2005. |
|
|||||
22.Шведов А. С. О |
математических методах, |
исполь-зуемых |
||||
при работе с опционами. //Экономический журнал |
ВШЭ.1998. |
|||||
№3.С.385–405. |
|
|
|
|
|
|
23.Шведов А. С. Применение метода конечных разностей для
оценки финансовых |
инструментов, |
//Экономический |
журнал |
||
ВШЭ.2002. №2.C.193–216. |
|
|
|
|
|
24.Ширяев. А. Н. |
Основы |
стохастической |
финансовой |
||
математики. Том 1. Факты. Модели. М.: Фазис, 1998. |
|
|
|||
25.Ширяев А. Н. . |
Основы |
стохастической |
финансовой |
||
математики. Том 2. Теория. М.: Фазис, 1998. |
|
|
|||
26.Bachelier. L. Théorie de la speculation.//Annuales de l'Escole |
|||||
Normale Supérieure. 1900.№17.P.21–86. |
|
|
|
||
27.Black. F, Karasinski P. Bond and option pricing when short rates |
|||||
are lognormal.//Financial Analysts Journal. 1991. P.52–59. |
|
|
|||
28.Black. F, Scholes M. The |
pricing |
of options |
and |
corporate |
|
liabilities.//Journal of Political Economy 81.1973.№ 3. P.637–659. 29.Chen. L. A Three-Factor Model of the Term Structure of Interest
Rates, Preprint, USA, Washington, Federal Reserve Board, July, 1995. 30.Dothan L. On the term structure of interest rates. //Journal of
Financial Economics. 1978.№6. Р.59–69.
177
31.Dupire B. Model Art.//RISK-magazine. 1993. № 6. Р.118–124. 32.Dupire B. Pricing with a smile.//RISK-magazine 1994.№7.Р.18–
20.
33.Hull J., White A. The pricing of options on assets with stochastic volatilities. //Journal of Finance. 1987. №42. Р.281–308.
34.Hull J , White A. Pricing interest rate derivative securities. //Review of Financial Studies. 1990. №3.Р.573–592.
35.Merton R. С. Theory of rational option pricing.//Bell Journal of Economics and Management Science. 1973. №4 (Spring), Р.141–183.
36.Nelson D. B. ARCH models as diffusion approximations. //Journal of Econometrics 1990.№45.Р.7–38.
37.Press W. H., Teukolsky S. A., Welterling W. T, Flannery В. P. Numerical Recipes in C, Cambridge Univ. Press, 1992.
38.Samuelson P. A. Rational theory of warrant pricing. //Industrial Management Review 1965. №6. Р.13–31.
39.Scott L. O. Option pricing when the variance changes randomly: Theory, estimation and an application. //Journal of Financial and Quantitative Analysis 1987. №22. Р.419–438.
40.Uhlenbeck G. E, Ornstein L. S. Physical Review 1930. №36. Р.823–841.
41.Vasicek O. An equilibrium characterization of the term structure. //Journal of Financial Economics. 1977. №5. Р.177–188.
178
Предметный указатель
Φ(x), 44
NPV(Net Present Value), 121
D [Χ ], 8 Μ[Χ], 8
Ρ(Α),8
Акклам, 62 Алгоритм
с возвратом при неудачном шаге, 153 статистического градиента, 154
Батлер, 78,79 Белый шум, 93 дискретный, 96
интенсивность (диффузия), 94 нормальный, 97 стандартный, 34,112 Блэк,111 Броуновское движение, 100 Булашев, 131 Бюффон, 14
Васичек, 112,161,173
Велтерлинг, 34, 35 Винер, 93
Волошин, 135,137
Генератор
Ran0, 34
Ran1, 35
Ran2, 35
Ran3, 35
крутильщик Мерсенна, 35 Госсетт, 13
Граница эффективности допустимых решений, 146
Дельта-образная последовательность,88 Дельта-функция, 84 Джекел, 36 Диверсификация, 142
Доверительная вероятность, 47 Дотхан, 161
Значение высоко значимое, 44
179
значимое, 44 почти значимое, 44
Игла Бюффона, 14 Ильченко, 137
Инвестиционный портфель, 145 доход и риск. 140 оптимизация, 145 Интеграл вероятностей, 44 Кендалл, 49 Кобелев,137
Конгруэнтная генерация, 32 Конгруэнтный генератор, 32 линейный, 33 Корреляция, 72 Коэффициент доверия, 41
Коэффициент корреляции, 76 Крамер, 41,46 Красс, 140 Критерий согласия
χ 2 , 38 ω2 , 45
статистический, 38 Крянев, 140 Кузнецов, 116 Курбатов, 137 9376
переменный,93 постоянный, 93 Лемер, 33
Марковиц, 140 Матрица ковариации, 75,142 Мертон, 156 Метод Монте-Карло. 13 вычетов, 33 обратных функций, 55 середины квадрата, 13 сравнения,33
статистических испытаний, 11 суперпозиции, 77 Метрополис, 11
Механическая торговая система,130 Мизес, 46
180