Климанов Радиобиологическое и дозиметрическое планиров. Ч.1 2011

Экспериментальная проверка метода дала хорошие результаты. Особенно следует отметить, что по сравнению с другими методами данный метод значительно точнее рассчитывает дозы при наличии негомогенностей.

5.Метод тонкого луча

5.1.Общая постановка

Рассмотрим полубесконечную водную среду, облучаемую дисковым мононаправленным моноэнергетическим источником. Необходимо определить дозу в точке P(x,y,z). Плоская проекция геометрия задачи показана на рис. 6.12.

Рис. 6.12. К расчету дозы методом тонкого луча

Пусть дифференциальный энергетический флюенс первичных фотонов в произвольной точке P (x , y , z 0) на поверхности

среды равен E (x , y , z 0) . Выделим в окрестности этой точки элемент площади dx dy . Количество энергии первичных фотонов, падающая на этот элемент, равно E (x , y , z 0) dx dy . Умножая эту энергию на дозовое ядро тонкого луча KТЛ (E, x

371

x , y y , z) и деля на плотность, получим вклад в дозу в точке P,

который создается первичным излучением, падающим на выделенный элемент площади. Величина полной дозы в произвольной точке P(x,y,z) на основе модели тонкого луча определяется с помощью интегрирования по площади поля облучения S и по энергетическому спектру первичного излучения:

D(x, y, z)		dΕ		dx dy	(x , y ,z		0)		K тл	(E, x x , y y , z)	.
				Ε						(x, y, z)
			S
										(6.26)

Подчеркнем, что при записи уравнения (6.26) предполагалось, что пучок падающего излучения является мононаправленным. Реальная расходимость пучков учитывается в большинстве случаев с помощью закона обратных квадратов. Подобное приближение не приводит к значимым погрешностям в практических задачах. Исключение представляют задачи расчета доз для больших размеров полей. В этом случае на уменьшение точности расчета может повлиять зависимость ядра ТЛ от угла падения при косых углах падения.

Для сокращения времени расчета интегрирование по переменной Е обычно не проводится. Вместо этого, так же как и в модели дифференциального тонкого луча, применяется усреднение ядра

ТЛ по энергии:			i K тл (Ei , z,r)
		тл (z,r)							(6.27)
	К		i					.
				i
				i
Тогда выражение (6.26) приходит к виду:
							тл (x x , y y ,z)			.(6.28)
D(x, y, z) dx dy (x , y ,z 0)						K
	S						(x, y, z)

Для модели ТЛ усреднение ядра по энергии при расчете дозы не приводит в отличие от модели ДТЛ к необходимости введения поправочного фактора на ужестчение спектра с глубиной.

В настоящее время в системах дозиметрического планирования применяются различные модификации алгоритма ТЛ. Условно их

372

можно разделить на две группы: численное представление ядра ТЛ и аналитическая аппроксимация ядра ТЛ. Рассмотрим подробнее последнюю.

5.2. Аналитическая аппроксимация ядра тонкого луча в воде

Наиболее удачную аналитическую аппроксимацию ядра ТЛ предложили авторы работы [5] для тормозного излучения в диапазоне 4 MВ 18MВ . Она имеет следующий вид:

	K тл (z,r)	( Az e az r Bz e bz r )/r ,	(6.29)

где Az, Bz, az и bz – эмпирические параметры, зависящие для данного спектра тормозного пучка только от глубины z. Формула (6.29) удобна тем, что позволяет свести расчет дозы в модели ТЛ вместо двойного интегрирования в соответствии с (6.26) к сумме интегралов Зиверта (см.далее 6.3).

Подбор эмпирических параметров проводился в работе [5] методом наименьших квадратов, минимизируя разность между расчетом по формуле (6.29) и результатами расчета ядра ТЛ методом Монте-Карло. В самой публикации [5] приводятся значения параметров для 5 MВ, 8 MВ и 18 MВ тормозного излучения. Результаты, полученные в [5] для 18 MВ представлены в табл. 6.1.

Как видно из табл. 6.1, величина b >> a. Это получилось не случайно. Авторы [5] попытались выполнить аппроксимацию таким образом, чтобы первый член в формуле (6.29) был близок к первичной дозе (т.е. дозе от электронов, образующихся при взаимодействии первичного излучения), а второй член – к дозе от рассеянного излучения. Сравнение с результатами расчета методом Монте-Карло показало, что в этом случае для глубин z<10 см первичная доза первым членом переоценивается, а доза от рассеянного излучения вторым членом, наоборот, недооценивается.

373

Таблица 6.1

Значения эмпирических параметров формулы (6.29) для 18 MВ пучка [5]

z, cм	A, см∙г-1	а, см-1	B, см∙г-1	b, см-1
2	0,827-2	3,59	0,256-4	0,167
5	0,660-2	2,62	0,707-4	0,243
10	0,548-2	2,49	0,919-4	0,219
15	0,460-2	2,44	0,963-4	0,193
20	0,391-2	2,41	0,934-4	0,173

Другая, также достаточно удобная аналитическая аппроксимация ядра ТЛ, была предложена в работах [10,11] в виде:

K тл (z,r)	3	e r 2 / i2 ( z )
	I (z) Ci			,	(6.30)
		2
ρ	i 1	i	(z)

где Ci и σi – эмпирические параметры, значения которых опреде-

лялись методом наименьших квадратов, минимизируя разность между результатами расчета по формуле (6.30) и методом МонтеКарло; I(z) – площадь под дозовым распределением по переменной r на глубине z, нормированная на один фотон, т.е:

		K тл (z, r)
	I (z) 2		r dr,
	0

C1 C2 C3 1 .

(6.31)

(6.32)

Значения I(z) и параметров Ci и σi, полученные в работах [10,11], приводятся в приложении.

Привлекательность дозового ядра ТЛ в форме (6.30) заключается в том, что при расчете дозы от полей прямоугольной формы, используя данную форму ядра, результат получается в виде суперпозиции функции ошибок (erf (x)). К сожалению, авторы работы [10] не провели всесторонний анализ погрешностей, возникающих при расчете ядра ТЛ по формуле (6.29), и погрешностей расчета дозы при планировании облучения, используя эту аппроксимацию.

374

Наиболее точная аналитическая аппроксимация дозового ядра ТЛ была предложена в работе [12]. Отметим две важных особенности этой аппроксимации:

•авторы предложили отдельные выражения для компонента ядра

ТЛ, связанного с первичной дозой (Кр), и компонента, связанного с дозой от рассеянных фотонов (Кs);

•предложенные формулы с погрешностью меньше 5 % описывают дозовые ядра для моноэнергетических тонких лучей в диапазоне энергий фотонов от 0,1 до 24 МэВ.

Предложенная в работе [12] аппроксимация имеет следующий вид:

Ктл (z,r) = K p (z,r) + K s (z,r) ;

(6.33)

K

p

(z,r)

[B

exp(−b

r) + B

2

exp(−b

2

r) + B

3

+ B

4

r]/r, r

< r

p

;

=

1

1

ρ

0, r ≥ r1 ;

(6.34)

K s (z,r)

n

),n =1 или2,

r < rs ;

=

c1 exp(−k1 r

ρ

[c2 exp(−k2 r) +c3 exp(−k3 r)]/r,

r ≥ rs ,

(6.35)

где Bi, bi, ci, ki – эмпирические параметры, значения которых подбирались методом наименьших квадратов, минимизируя отклонения от результатов расчетов методом Монте-Карло, выполненных в работе [4]; rp и rs – эмпирические параметры, близкие по значению к пробегу первичных электронов в воде. Значения всех эмпирических коэффициентов для источника 60Со приводятся в приложении.

5.3. Алгоритм тонкого луча на основе аналитической аппроксимации ядра ТЛ

5.3.1. Разложение дозы на отдельные компоненты

Как отмечалось выше, в литературе имеется не один вариант расчета дозы, использующий модель тонкого луча. Но исторически первым и до сих пор наиболее проработанным является метод,

375

предложенный в работе [5]. Отметим важные особенности этого метода.

1. Доза в точке детектирования представляется в виде суммы отдельных компонент:

D Dp Ds Dзч Dзф ,

(6.36)

где Dp – доза, создаваемая первичным фотонным излучением;

Ds – доза, создаваемая фотонами, рассеянными в облучаемом объеме;

Dзч – доза от заряженных частиц, образующихся при взаимодействии первичных фотонов с веществом конструкционных материалов головки облучателя и воздухом;

Dзф – доза от фотонов, рассеянных в головке облучателя или прошедших через коллимационные пластины.

2.Поле излучения произвольной формы разбивается на отдельные прямоугольные треугольники.

3.При расчете дозы от отдельного треугольного элемента используется аналитическая аппроксимация (6.29) ядра ТЛ.

4.Учет негомогенности среды делается в одномерном приближении ―прямо вперед‖.

5.3.2. Методика триангуляции поля излучения

Рассмотрим методику триангуляции на примере нерегулярного поля, представленного на рис. 6.13,а в виде полигона. Доза в точке Р от такого полигона после его триангуляции равна:

D D( PAF ) D( PBC) D( PFE) D( PED)
D( PAB) D( PCD).	(6.37)

Далее доза от поля в виде треугольника произвольной формы (три степени свободы) представляется в виде суперпозиции полей

от прямоугольных треугольников (две степени свободы). Пример показан на рис. 6.13,б, где доза в точке Р от треугольника PAF

равна:

D D( ΡΟF) D( ΡΟΑ) .

(6.38)

376

Рис. 6.13. Геометрия триангуляции поля облучения (а), представления произвольного треугольника в виде суперпозиции двух прямоугольных треугольников (б)

5.3.3.Расчет дозы в гомогенной среде

Впредположении, что пучок является нерасходящимся с однородным энергетическим флюенсом по площади каждой треуголь-

ной секции, получаем следующее выражение для дозы на глубине z в гомогенном слое:

	i	Li /cos
D(x, y, z) i				K тл (z,r)
	ki					r dr d	, (6.39)
i	0	0

где ki 1 в зависимости от знака скалярного произведения век-

торов от расчетной точки до вершин i-го треугольника;

Ψi – энергетический флюенс в пределах i-го треугольника;

ζi и Li – угол и высота треугольника, соответственно (рис. 6.14);

K тл (z,r) – ядро ТЛ, отнесенное к поглощению энергии на еди-

ницу массы (т.е. дозовое ядро) элементарного объема вблизи точки

(z, r).

Выражение (6.39) интегрируется по переменной r, если ядро выражено в аналитической форме (6.29). В результате для первичной дозы уравнение принимает вид:

377

					i	Li / cos	a		r
D(x, y, z) i ki							Az e	z		r dr d
							r
				i	0	0
			q
	Az	[qi	- i	e-az Li / cos q dq].					(6.40)
	az		0

Второй член в формуле (6.40) известен как интеграл Зиверта первого рода. Его значения могут быть предварительно достаточно просто определены численно и введены в память компьютера в виде двумерных таблиц для набора глубин по z.

Аналогичное выражение с заменой параметров А, а на B, b получается для дозы от рассеянного излучения.

Если предположение о постоянстве энергетического флюенса в пределах i-го треугольника не выполняется, то в уравнение для до-

зы от рассеянного излучения вместо Ψi следует включить Ψi :

				(xi, j , yi, j ) e bz ri, j
		i			j	,	(6.41)
					e bz ri, j
					j
где: ri, j	(xi2, j yi2, j				)1/ 2 ; (xi, j , yi, j ) –	энергетический флюенс в
точке j	i-го треугольника.

Авторы [5] утверждают, что в типичном случае достаточно четырех точек, равномерно выбранных по площади треугольника.

L ζ

Рис. 6.14. К интегрированию ядра ТЛ по площади прямоугольного треугольника

При расчете дозы от первичного излучения эта замена не очень актуальна вследствие быстрого уменьшения с увеличением рас-

378

стояния вкладов в первичную дозу от элементов площади треугольного поля.

Дозовое распределение в области тени коллиматора на краю пучка определяется геометрической пенумброй и диффузией первичных заряженных частиц в среде. Для моделирования обоих эффектов первый член ядра (6.29), описывающий первичную дозу, сворачивается с распределением источника, спроектированным на глубину расчета, и таким образом, получается эффективное ядро первичной дозы. Распределение источника в настоящее время часто моделируется гауссианом с дисперсией σ.

2σ

Источник

Коллиматор

Z

2σz

Рис. 6.15. К модели расширенного гауссовского источника.

Спроектированное на глубину z (рис. 6.15) нормализованное распределение имеет вид:

	f (z)	1	e r 2 / 2z .	(6.42)
		2

Так как сворачивание (6.42) с первым членом ядра (6.29) нельзя провести аналитически, в работе [5] были выполнены численные расчеты, результаты которых аппроксимировались аналитически выражением:

379

K p.eff

1

2

2

A e az r

(z,r)

e r

/ z

z

2z

r

(6.43)

2 Az

Az tz e tz r

(1 wz )

e r 2 /sz2 wz

,

az sz2

az r

где

sz2

k1

2z ;

(6.44)

2

az

tz

az

;

(6.45)

1 k2 az2 2z

wz

1

;

(6.46)

( 2z

az2 )/ ( 2z (k3

k4 / z )2 )

к1=1,1284; к2=0,476; к3=0,0354; к4=0,715 см2.

Что касается рассеянных фотонов, то в этом алгоритме считается, что их влияние на форму дозового распределения в области полутени незначительно.

Чтобы определить дозу в области полутени, необходимо проектировать эффективное ядро по треугольным полям (так же как и для точек в центральной части поля). При интегрировании второго члена ядра (6.43) результат будет аналогичен функционально выражению (6.40). Интегрирование же первого члена по площади треугольника дает:

	i	(Li / cos )	C		i
		C e c r r dr d		[ i	e c (Li / cos )2 d ] . (6.47)
			2 c
	0	0			0

Таким образом, конечный результат выражается в виде интеграла Зиверта второго рода. Двумерные таблицы этого интеграла нетрудно предварительно рассчитать и ввести в память компьютера.

5.3.4. Учет гетерогенностей

Учет гетерогенностей является слабым звеном рассматриваемого алгоритма. В работе [5] предлагается этот учет делать в одномерном приближении с приближенной моделью рассеяния

«прямо вперед», как это было ранее развито в работе [13]. Допол-

380