Климанов Радиобиологическое и дозиметрическое планиров. Ч.1 2011

Рис.7.50. Геометрия гетерогенной среды, состоящей из слоев из разных материалов, к которой применено уравнение Ферми – Эйджа [62]

Для поля размером 2A x 2B и однородного распределения силы источника число электронов, проходящих через единицу площади вблизи точки (x,y,z) определяется с помощью интегрирования выражения (7.32):

	1	B		( y y )2		A		(x x )2
N (x, y, z)		exp			dy exp				dx
	2			2				2
	2 MCS B			2 MCS		A		2 MCS

1

A x

erf

4

2 MCS

B y

erf

2

MCS

				A x
	erf
					2 MCS
			B y
	erf
				2 MCS



. (7.33)



Из формулы (7.33) следует, что N(x,y,z) одинаково на всех глубинах, т.е. область build up отсутствует. Причина этого в том, что N(x,y,z) пропорционально току, а не флюенсу электронов. В формуле (7.33) отсутствуют также потери электронов. Учет этих факторов производится введением эмпирического поправочного фак-

471

2air 2MCS .

2med

тора, представляющего экспериментальную глубинную дозовую кривую [63].

Выберем произвольный ТЛ электронов на уровне коллимационной системы машины или вторичного коллиматора (см. рис. 7.49). Пучок электронов начинает растекаться в воздухе сразу после прохождения через выходное окно. Система рассеивающих фольг специально расширяет пучок, чтобы создать однородный дозовый профиль. Следовательно, на уровне вторичного коллиматора определенное угловое уширение уже присутствует в тонком луче, и его необходимо включить в модель. Выполним это, дав ТЛ

первоначальное угловое распределение x (это сигма углового

распределения, спроектированная на плоскость x – z). В результате такой первичной дивергенции элементарный ТЛ, стартуя из области вторичной коллимации будет продолжать расширение даже при отсутствии любого вещества ниже по пучку. Результирующее поперечное уширение σair на глубине z получим из уравнения

(7.31), положив T (u) z 2 x :

air (z L0 ) x , (7.34)

где L0 – расстояние между вторичным коллиматором и плоскостью z = 0 (см. рис. 7.49). Небольшим количеством добавочного рассеяния, вызываемого веществом воздуха, можно пренебречь.

Поперечное уширение пучка на глубине в пациенте определяется сворачиванием одного гауссовского распределения с уширением σair с другим гауссовским распределением с уширением σMCS. В результате получаем гауссовское распределение с уширением σmed:

(7.35)

Функция Ферми – Эйджа p(x,y,z) описывает пространственное распределение тока электронов, обусловленное тонким лучом. Чтобы преобразовать это распределение в пространственное распределение дозы d(x,y,z), вводится взвешивающий фактор g(z), ко-

торый зависит только от координаты z:
d(x, y, z) p(x, y, z) g(z).	(7.36)

Полное выражение для вклада в дозу δD(x,y,z), создаваемого ТЛ, выходящим из элемента площади x y , имея интенсивность

472

(вес) W (x , y ) , для расстояния между источником и кожей SSD тогда приобретает следующий вид:

D(x, y, z) W (x , y )	1		(x x )2 ( y y )2
		exp			g(z)
	2		2
	2 med		2 med

	SSD		2
			x y .	(7.37)
SSD z)

Основным требованием к модели расчета является воспроизведение измеренных центрально-осевое дозовых распределений для полей различных размеров. Это достигается таким выбором g(z), чтобы доза на центральной оси, полученная интегрированием δD(x,y,z) по полю размером 2A 2B , точно равнялась измеренному значению дозы для этого поля CAXD(z). Это измеренное зна-

чение CAXD(z) приводится к бесконечному SSD и из него вычитается вклад тормозного излучения, которое считается постоянным

на всех глубинах,

меньших

Rp. Обозначим эту величину

Dmeas,e (0,0, z),

тогда весовая функция g(z) будет равна:

g(z)

Dmeas,e (0,0, z)

.

(7.38)

A(1 z / SSD)

erf

B(1 z / SSD)

erf

2 med (z)

2 med (z)

На практике значения g(z) необходимо определить для всего диапазона размеров полей и пучков разной энергии, так как модель способна предсказать изменения CAXD(z) в пределах относи-

тельно узкого диапазона размеров полей.

Теория Ферми – Эйджа, строго говоря, справедлива только для слоистой геометрии (рис. 7.50). Значение σMCS(z) для каждого тонкого луча оценивается вдоль пути луча через пациента, и влияние негомогенности учитывается только в том случае, если луч путь проходит через негомогенность. Такая аппроксимация хорошо работает для небольших глубин, когда ТЛ еще не получил большого уширения. Чтобы добиться корректного моделирования расширения пенумбры с увеличением глубины, начало тонких лучей размещается на уровне вторичного коллиматора. Поэтому ТЛ, при па-

473

дении на пациента уже имеют конечное уширение (см. рис. 7.49). Это означает, что у негомогенностей, близких к поверхности, недооценивается их вклад в σmed, так как изменения в σMCS мало заметны на фоне σair. Чтобы исправить это, Хогстром [63] применил

обратное разложение σmed на MCS и воздушную компоненты.

Ток в точке (x,y,z) при условии отсутствия любого вещества ниже вторичного коллиматора рассчитывается через интегрирование немодифицированного тонкого луча с σair по площади коллиматора, спроектированную на глубину z, т.е. в соответствии с уравнением (7.33) только с заменой σMCS на σair и пределов A и B на поперечные размеры спроектированной площади коллиматора. Сама же величина σair(z) определяется из уравнения (7.34). Далее

используется специальное значение флюенса, обозначаемое air ,

для взвешивания ТЛ, стартующих на уровне конечного коллиматора и имеющих конечную ширину, определяемую только одной

σMCS. Эти тонкие MCS- -лучи не начинают уширение, пока не достигнут поверхности пациента или болюса.

Финальное выражение для вклада δD(x,y,z),				создаваемого эле-
ментарным ТЛ, проходящим через точку (x , y ) , имеет вид:
	1		(x x )2 ( y y )2			W (x , y )
D(x, y, z)		exp
	2		2
	2 MCS (z)		2 MCS (z)

	(x , y , z )		g(z)		SSD		2	x	y ,	(7.39)
air
				SSD z

где air – взвешивающий фактор флюнса в воздухе; W – весовой

фактор интенсивности пучка, учитывающий его неоднородность. Последнее выражение применяется для расчета дозового распределения с учетом негомогенности пациента и произвольной апертуры

поля.

В настоящее время различные модификации метода Хогстрома используются в большинстве коммерческих систем планирования. Как правило, вся расчетная область разбивается регулярной сеткой на «пиксели» (плоские ячейки) и «воксели» (объемные ячейки). Транспорт ТЛ рассчитывается на этой сетке, и в каждой точке сетки определяется доза. Сетка упрощает применение алгоритма, од-

474

нако при 3-мерных расчетах число точек сетки и число ТЛ становится очень большим. Существенно более экономичный вариант метода ТЛ для 3-мерных расчетов был предложен в работе [66]. Рассмотрим его более подробно.

8.3. “Быстрый” 3-мерный алгоритм тонкого луча

Методика расчета, предложенная в работе [66], включает три основных компонента: расчет относительной величины флюенса, содаваемого ТЛ в точке, расположенной вне оси луча; расчет флюенса в точке на оси ТЛ; преобразование флюенса в точке в поглощенную дозу в точке.

Геометрия расчета, принятая в работе [66] при расчете электронных доз, представлена на рис. 7.51. Отметим, что положения показанных на рисунке виртуальной апертурной плоскости и коллиматоров, соединенных с гантри, являются машиннозависимыми. Произвольные нерегулярные поля, ограниченные защитой или виртуальной апертурной плоскостью, размещаются между конечными коллиматорами и пациентом. ТЛ электронов падает на пациента в точке z0, имея гауссовскую ширину σm. На глубине z он центрирован в точке ( x , y ) и создает вклад в дозу в точ-

ке (x, y) . ТЛ проходит через объем за конечное число шагов, соз-

давая дискообразный район флюенса на каждом шаге. Точки внутри этого района получают вклад от каждого ТЛ.

Доза в точке (x,y,z) от множества ТЛ в рассматриваемом объеме на глубине z в соответствии с гауссовской моделью определяется из выражения:

		1			(x x )	2	( y y )	2
D(x, y, z)			exp
		2					2
	2 m					2 m

	SAD deff			2
air (x , y , z)Dw (deff	)			dx dy , (7.40)
		SAD z

где deff – поправленная на плотность глубина в среде; σm – ширина тонкого луча (стандартное отклонение), рассчитываемая из теории Ферми –Эйджа в среде на глубине z; Φair( x , y , z) – флюенс элек-

475

тронов в воздухе в точке ( x , y , z) ; Dw (deff ) – доза, создаваемая

плоским мононаправленным пучком электронов в воде на глубине deff; SAD – расстояние между точкой виртуального источника и

осью вращения (на рис. 7.51 ось проходит через точку (x = y = z = 0)).

Рис. 7.51. Геометрия транспорта тонкого луча через объем. Координатная система определяется коллимационной системой (адаптировано из [66])

Пределы интегрирования (-∞,+∞) учитывают возможное расширение пучка за геометрические края поля. Величина Φair обращается в ноль на некотором расстоянии от геометрического края поля, определяя, таким образом, фактические пределы интегрирования.

476

Первая часть выражения (7.51) оценивает относительный флюенс в расчетной точке (x, y, z) , смещенной на (x x , y y ) отно-

сительно оси ТЛ. Вторая часть оценивает флюенс на оси ТЛ, и третья часть конвертирует флюенс в поглощенную дозу в расчетной точке ( z в силу определения осей на рис. 7.51).

Величина флюенса, Φair, на оси ТЛ равна:

dx dy ,

(x , y , z)

exp

S(x , y )

(x

x )2

( y

y )2

air

2

2

field

2 air

2 air

(7.41)

где S – профиль (интенсивность) пучка в воздухе на конечной плоскости коллимации.

Уравнение (7.41) оценивается по площади поля, спроецированной на расчетную глубину z, как указывается в нижнем индексе интеграла. Число электронов в отдельном ТЛ уменьшается за счет рассеяния по мере прохождения среды. Однако уменьшение Φair вследствие рассеяния компенсируется вкладом от соседних тонких лучей. Величина Φair особенно чувствительна к расстоянию до края поля, так как тонкие лучи, близкие к краю поля, не получают достаточной компенсации. Подчеркнем, что Φair рассчитывается на глубине z в воздухе, т.е. без учета реальной анатомии пациента, что является оправданным в приближении рассеяния на малые углы. Аппроксимация разделяет полное рассеяние на два компонента: компонент, обусловленный рассеянием в воздухе и определяемый σair; компонент, обусловленный рассеянием в пациенте и определяемый σm. При расчете σair предполагается линейная зависи-

мость этой величины от расстояния zd, измеряемого вдоль оси ТЛ
от последнего коллиматора до расчетной глубины z:
air zd ,	(7.42)

где σζ – среднее угловое уширение электронов в воздухе.

Как указывалось выше, апертурные плоскости или защиты, определяющие форму фигурного поля, могут размещаться в любом месте между коллиматором и пациентом, включая и непосредственную локализацию на коже пациента. Размер поля на этих плоскостях может при необходимости превосходить истинный размер поля, устанавливаемый коллимационный системой. Такой случай имеет место, например, при дуговой электронной терапии грудной

477

клетки пациента с использованием свинцовых пластин, ограничивающих размеры суммарного поля. Профиль пучка на апертурной плоскости рассчитывается из выражения:

		S p ( , )		(x )2 ( y )2
S(x , y )			exp		d d ,
		2		2
xcol	ycol	2 gap		2 gap

(7.43)

где Sp – измеренный профиль пучка для открытого поля; xcol и ycol

– границы пучка, определяемые X-пластинами и Y-пластинами первичного коллиматора.

Уравнение (7.43) вычисляет величину флюенса в точке ( x , y ) на апертурной плоскости как интеграл по всем вкладам во флюенс от точек ( , ) на площади, определяемой положением коллима-

ционных пластин. При этом коллимационная плоскость проектируется на апертурную плоскость. Величина σgap учитывает наличие зазора между коллиматором и апертурной плоскостью и рассчитывается по формуле (7.42) для значения zd, равному промежутку между коллиматором и апертурной плоскостью вдоль луча, проходящего от виртуального источника через точку ( , ) . Выражение

(7.43) подставляется в (7.41).

Введение виртуальной апертурной плоскости модифицирует полный флюенс и следовательно глубинную дозу. Для корректировки этого эффекта в работе [64] вводится поправочный множитель CF в виде:

CF (z)	( caxair (z))col cutout	,	(7.44)
	( caxair (z))cutout

где caxair вычисляется, используя уравнение (7.41) в точке (x’=0, y’=0).

При расчете двух значений caxair (в числителе и знаменателе)

коллиматор и апертурная плоскость устанавливаются в положение, где расположена апертурная плоскость. Другими словами, пространственное смещение zd одинаково для обеих оценок (7.42), и площади интегрирования в выражении (7.41) равны коллиматорной площади, спроецированной на апертурную плоскость, и апер-

478

турной площади соответственно. На практике значение CF(z) можно найти, определяя зависимость фактора выхода от положения апертурной плоскости. Полученное в результате значение CF(z) используется как множитель к Φair .

При численной реализации модели уравнение (7.40) заменяется

на суммирование по конечному множеству N «макроскопических прямоугольных тонких лучей», определяемых как мини-пучки индивидуальной ширины wi и длины hi:

N

wi / 2

hi

/ 2 air (x , y , z)CF (z)

D(x, y, z)

2

i 0

wi / 2

hi / 2

2 m

(x x )2

( y y )2

SAD deff

2

exp

Dw (deff

)

dx dy ,

2

SAD z

2 m

(7.45)

где ширины wi и длины hi масштабируются к расчетной глубине от начальных значений, определенных на конечной плоскости коллиматора.

В литературе описано несколько алгоритмов (например, в работе [67]) разделения поля нерегулярной формы на оптимальное число прямоугольников для заданного уровня точности (рис.7.52).

Рис. 7.52. Разделение поля нерегулярной формы на множество прямоугольных полей [67]

479

Деление поля на множество прямоугольников (дерево квадрантов) обеспечивает эффективный расчет Φair и дает возможность заменить интеграл в уравнении (7.45) на суммирование вкладов от каждого прямоугольника. Важно, что Φair вычисляется в отсутствие реальной геометрии пациента и, следовательно, при делении на множество прямоугольников не требуется учитывать такие детали, как вариация плотности пациента.

Наличие негомогенностей учитывается в уравнении (7.45) с помощью лучевого анализа 3-мерного массива плотностей среды вдоль геометрических осей мини-пучков.

Максимальные размеры мини-пучков определяются заранее с учетом размеров гетерогенностей, геометрических вариаций и желаемым расчетным разрешением. В типовом случае деление на прямоугольники имеет разрешение 0,2–0,5 см, но на краю поля может потребоваться более мелкое разбиение. При таких малых размерах величину Φair в пределах области интегрирования в уравнении (7.45) без заметной потери погрешности можно считать постоянной и вынести из-под знаков интегрирования. Оставшиеся гауссовские интегралы имеют аналитическое решение в виде функций ошибок (erf(x)). В результате (7.45) приходит к виду:

	N	air (xi , yi , z)CF (z)Dw (deff ,i ) SAD deff ,i				2
D(x, y, z)
		2
				SAD z
	i 0	2 m,i

erf



erf

wi

/ 2 x

/ 2 x

erf

wi

2 m,i

2 m,i

hi / 2 y

erf

hi / 2 y

.

(7.46)

2 m,i

2 m,i

К аналогичному результату приводит замена интегралов в уравнении (7.40) на суммирование по конечному множеству «макроскопических прямоугольных тонких лучей». Таким образом, конечный результат выражается в виде ряда, члены которого представляют собой функции ошибок с коэффициентами. Для даль-

480