Климанов Радиобиологическое и дозиметрическое планиров. Ч.1 2011

нительно предположим, что вперед рассеянные фотоны имеют ли-

~

нейный коэффициент ослабления . Отсюда получаем, что доза

от рассеянного излучения на глубине z, отнесенная к единичному энергетическому флюенсу, будет пропорциональна следующему выражению:

z z

Ds (z) ( z’) exp[

0 0

z	~
(t)dt] exp(	(u)du) dz . (6.48)
z

Первые два члена в (6.48) описывают источник рассеянных фотонов, и последний член описывает ослабление рассеянных фото-

	нов на пути от точки их рождения до точки передачи энергии в
		~	ˆ
	среду. Заменяя в экспоненциальных членах μ и
			на , получаем
	для ткани:	,	(6.49)
	Ds (z) zr exp( zr )
	ˆ

где zr – радиологическая глубина.

Соответственно, для воды будет справедливо соотношение:

Ds	(z) z exp( z) .	(6.50)
w	ˆ

Отсюда, беря отношение выражений (6.49) и (6.50), получаем формулу поправочного фактора для учета гетерогенности для рассеянного излучения:

	zr			ˆ
CFs					z)] .	(6.51)
				exp[ (zr
		z

Эмпирически авторы работы [5] нашли, что ˆ 0,8 . Попра-

вочный фактор для первичной дозы в данном алгоритме предлагается определять, используя метод эквивалентной радиологической глубины.

5.3.5. Расчет дозы от заряженных частиц (Dзч)

Как отмечалось выше, заряженные частицы, ―загрязняющие‖ пучок фотонов, образуются при взаимодействии первичных фотонов с веществом головки облучателя и испытывают многократное рассеяние прежде, чем они достигнут пациента. Поэтому в [5] предполагается, что падающий на пациента флюенс заряженных частиц имеет гауссовское распределение. Ослабление же широкого

381

пучка заряженных частиц с глубиной в среде принимается экспоненциальным. Отсюда распределение поглощенной энергии, нормированное на единицу энергии падающих первичных фотонов, моделируется ядром тонкого луча, имеющего следующий вид:

К зч	(z,r) e z e r 2	,	(6.52)

где α, β, и γ – эмпирические параметры, зависящие от конструкции головки машины.

Интегрирование ядра (6.52) по квадратному полю размером t дает следующий результат для дозы от заряженных частиц на глу-

бине z (на единичный энергетический флюенс первичных фотонов):

Dзч (z,t)

t/2

t/2

t

e z

e (x 2 y2

) dxdy e z

erf 2 (

) ,

t/2

t/2

2

2

(6.53)

где erf – функция ошибок, равная:

erf(x)

2

x e u 2 du .

(6.54)

0

Эмпирические параметры α, β, и γ могут быть определены подгонкой результата расчета по формуле (6.53) к разности между измеренной и рассчитанной дозой в области накопления (buid up), т.е. считая, что эта разность создается заряженными частицами, падающими на облучаемый объект.

5.3.6. Расчет дозы от фотонов, рассеянных в головке облучателя (Dзф)

На глубинах, больших глубины проникновения заряженных частиц, ―загрязняющих ‖ пучок, доза снаружи эффективных геометрических размеров пучка определяется фотонами, рассеянными из облучаемой области пациента, и фотонами, рассеянными в головке или прошедшими через коллимационные пластины. Сумму последних двух фракций принято называть ―загрязняющими ‖ фотонами. Так как спектр первичных фотонов обычно определяется методами реконструкции из дозовых распределений в фантоме, то

382

―загрязняющие ‖ фотоны внутри первичного пучка рассматриваются тоже как первичные. Поэтому расчетная модель для ―загрязняющих‖ фотонов необходима только при расчете дозы снаружи первичного пучка.

Главным источником фотонов, рассеянных в головке машины, являются сглаживающий фильтр и первичный коллиматор [14]. Из точек внутри пациента эти два источника видятся под одним и тем же телесным углом, поэтому можно рассматривать их как один эффективный источник, расположенный на месте сглаживающего фильтра. Дозу от ―загрязняющих‖ фотонов определяют в эксперименте как разность между измеренным дозовым профилем и результатами расчета без учета этого компонента. Эту разность в соответствии с рекомендациями [5] используют для оценки параметров ξ и δ ядра тонкого луча, выраженного в виде:

Pзф	(z,r)		Dz	e r	2	,	(6.55)

где Dz – доза, рассчитанная на единичный энергетический флюенс первичного излучения.

Интегрируя ядро (6.55) по полю падающего излучения А, получаем [5]:

	Dзф	(2π	Az	Ds ) ξ e ς r 2 dA δ ,	(6.56)
			az
				A

где δ – постоянный дозовый уровень, добавляемый, чтобы учесть утечку излучения из головки и погрешность измерения;

Ds – доза от рассеянного излучения в расчетной точке, добавление которой связано с невозможностью при измерении разделить дозу от первичного и рассеянного излучений.

6.Метод конечного тонкого луча (КТЛ)

6.1.Алгоритм расчета дозы на основе метода КТЛ

Конечный тонкий луч в англоязычной литературе, например [15,16], называют FSPB, т.е. тонкий (дословно ―карандашный‖) пучок с конечным поперечным сечением. Впервые эта модель для

383

расчета дозовых распределений была предложена в работе [15] и усовершенствована в работе [16].

В основе алгоритма КТЛ лежат следующие предположения:

1)пучок излучения может быть геометрически разделен на конечное число небольших пучков меньших размеров (рис.6.16);

2)все КТЛ идентичны по поперечным сечениям и создаваемым ими дозовым распределениям;

3)началом излучения является точечный источник;

4)суперпозиция дозовых распределений КТЛ дает дозовое распределение всего пучка;

5)каждый КТЛ имеет взвешенный флюенс падающих фотонов, который может изменяться вместе с позицией КТЛ в пучке.

В соответствии с моделью КТЛ доза в конкретной точке Q от nхm моноэнергетических КТЛ дается формулой:

		n,m
		DQ Wi, j Ki,Qj A,	(6.57)
		i, j 0
где	K Q	– доза в точке Q, которая создается КТЛ, находящимся в
	i, j
i,j-позиции;
		Wij Φij0 e tij ISC ,	(6.58)

Φij0 – флюенс первичного излучения в воздухе через попереч-

ное сечение на входной поверхности для i,j-КТЛ без учета ослабления в дополнительных поглотителях;

e tij – поправка на поглощение при прохождении через фильтр для i,j-КТЛ (рис. 6.17);

ISC – поправка на ослабление по закону обратных квадратов; ∆А – площадь поперечного сечения КТЛ на входной поверхно-

сти.

Для немоноэнергетических пучков необходимо дополнительное интегрирование по спектру падающего излучения. Если спектр мало изменяется в пределах поля излучения, то это интегрирование может быть выполнено непосредственно при расчете ядра КТЛ.

Практическое применение данного метода показало, что программы, реализующие 3-мерный расчет дозы непосредственно по формуле (6.57), требуют большого расчетного времени. Для решения этой проблемы в работе [16] было предложено применить ме-

384

тод свертки и быстрое преобразование Фурье, а сами расчеты дозы проводить в веерной геометрии с началом координат в точечном источнике.

Рис. 6.16. Представление поля облучения в виде суперпозиции КТЛ

Источник

SSD0

SSDij

Рис. 6.17. К расчету вклада в дозу от отдельного КТЛ

385

Особенность веерной геометрии по сравнению с декартовой в применении к созданию и хранению массива флюенса первичного излучения показана на рис. 6.18. Основная расчетная формула в работе [16] имеет вид:

D( , , R) Cij K( i , j , R) ,

(6.59)

ij

где углы α, β и расстояние R показаны на рис. 6.19;

К(α-ζi, β-ζj, R) – дозовое ядро КТЛ в веерной геометрии с учетом спектра и флюенса первичного излучения и ослабления излучения в дополнительных поглотителях;

Сij – поправочный фактор на ослабление флюенса по закону обратных квадратов.

При расчете по формуле (6.59) проводится двойная интерполяция ядра КТЛ на сетку вокселей в веерной геометрии (см. рис.6.19). Такая методика позволяет повысить эффективность расчетов, так как учет наклона конкретных КТЛ под углами ζi , ζj выполняется простым сдвигом ядра по сетке.

а)	б)

Рис. 6.18. Особенность веерной геометрии в применении к созданию и хранению массива флюенса первичного излучения

386

6.2. Учет изменения SSD

В случае нерегулярной формы входной поверхности (см. рис. 6.17) или при многопольном облучении имеет место изменение SSD. В то же время дозовые ядра КТЛ рассчитываются для конкретного значения SSD (обычно 100 см), а вариация SSD существенно изменяет ядро КТЛ. Так, например, увеличение SSD на 5 см приводит к уменьшению дозы на глубине 10 см в 0,89 раза.

Как первое приближение к учету влияния изменения SSD на ядро КТЛ в работе [15] было предложено использовать поправку Мэйнарда [17]. В соответствии с данной рекомендацией для перехода от ядра КТЛ, рассчитанного при SSDo, к ядру при значении SSD=SSD1 применяется формула:

KSSD	(d,a,r) KSSD
1	o

SSD

d

SSD

d

m

2

(d,a,r)

o

1

. (6.60)

SSD

d

SSD

d

1

o

m

Рис. 6.19. К расчету дозы методом свертки и быстрого преобразования Фурье

387

Применение такого подхода, к сожалению, приводит к значительным погрешностям (до 50 %) на больших расстояниях от оси КТЛ, так как поправка Мэйнорда учитывает только изменение первичного излучения по закону обратных квадратов. Более точный способ, учитывающий изменение в рассеянии излучения при вариации SSD через понятие TMR, был предложен в работах [4,6] в виде:

K SSD1 (d,ao ,r ) K SSDo (d,ao ,r )

K SSD

(dm

,ao ) TMR(d,aSSD )

SSD

d

SSD

d

m

2

1

1

o

1

,

K

(d

,a ) TMR(d,a

)

SSD

d

SSD

d

SSDo

m

o

SSDo

1

o

m

(6.61)

где KSSD (dm ,ao ) и

KSSD (dm ,a0 ) – значения дозовых ядер КТЛ

1

2

на оси пучка на глубине максимальной дозы;

TMR(d,aSSDo ) – отношение ткань-максимум на глубине d при размере поля на этой глубине aSSDo .

Чтобы пользоваться этой методикой, в работе [4] была рассчитана библиотека ТМR для размеров полей от 0,1 до 10 см. Результаты расчета по формуле (6.61) существенно лучше совпали с прямым расчетом ядра КТЛ методом Монте-Карло. Однако на больших расстояниях от оси КТЛ погрешность оказалась все-таки значительной (до 12 %) [4]. Поэтому авторы [4] предложили для подобных задач еще одну методику, позволяющую при наличии библиотеки ядер КТЛ для нескольких размеров их поперечного сечения определять значения ядра КТЛ при произвольном SSD с погрешностью не более 2 %. Рассмотрим методику подробнее.

Для КТЛ при малых размерах поперечного сечения и SSD в пределах 50 100 см косинус угла падения фотонов практически не меняется и близок к единице. В этих условиях дозовое распределение на глубине d зависит, в основном, от размера поперечного сечения пучка, формируемого на этой глубине, и нормировки падающего потока. Очевидно, что если на глубине d площади поперечных сечений равны и потоки энергии через эти площади тоже

равны, то дозовые распределения будут близки между собой (рис.

6.20).

388

Соответствующая связь между ядрами имеет следующий вид:

a

2

KSSD (d,r,a) KSSD

(d,r,aef )

,

(6.62)

1

o

aef

где

aef

a

SSDo

SSD1 d

.

SSD1

SSDo d

a

2

Множитель

в формуле (6.62) приводит к одинаковой

aef

нормировке по падающему потоку энергии.

SSD0

SSD1

a

aef

d

Рис. 6.20. К расчету дозового ядра КТЛ при изменении SSD

6.3. Метод конечного тонкого луча, основанный на экспериментальных дозовых распределениях

6.3.1. Основные особенности метода

Строгий расчет ядра КТЛ методом Монте-Карло встречает значительные трудности, связанные с неопределенностями в знании энергетического спектра источника. Альтернативный подход к оп-

389

ределению дозового ядра КТЛ был предложен в работах [18, 19]. Он не требует знания спектра первичного пучка фотонов и полностью основывается на обработке стандартного набора дозовых распределений фотонов для конкретной машины в водном фантоме для разных размеров полей. Доза в этом методе разделяется на до-

зу от первичного излучения Dp и дозу от рассеянного излучения

Ds:

D Dp Ds .

(6.63)

Доза от первичного излучения рассчитывается на основе феноменологической модели, предложенной в работах [20 – 22] (см. главу 2). При расчете Ds применяется модель КТЛ. Рассмотрим эти алгоритмы более подробно, ориентируясь, главным образом, на работу [19].

6.3.2. Расчет дозы от первичного излучения

Методика расчета первичной дозы основана на использовании эмпирического выражения из работы [20] для первичной дозы от мононаправленного круглого пучка:

	Dp (d,r) Dp	e ef d (1 e d ) (1 e r ) ,	(6.64)
		o
где Dp	– первичная доза на поверхности в условиях электронного
	0

равновесия; μ ef – эффективный линейный коэффициент ослабления; β – эмпирический коэффициент продольного электронного равновесия; γ – эмпирический коэффициент поперечного элек-

тронного равновесия.

В эксперименте измеряется полная доза D. Чтобы выделить из D первичную дозу, используется найденная в работе [21] линейная зависимость дозы от переменной z r d/ (r d) . Алгоритм оп-

ределения параметров модели включает следующие шаги:

1) измеренные PDD умножаются на значения Sср( r ), измеренные на dmax в фантоме:

D(d, r) PDD(d, r) Sср (r).

(6.65)

Затем таблица PDD преобразовывается в таблицу D(z,d) для квадратных полей разных размеров на глубинах d ≥ dmax. Здесь r –

390