Лабораторный практикум по физике для вечернего фак 2007

Графики.

В экспериментальной физике и в большинстве ее теоретических разделов результат приобретает научную значимость лишь после того, как он будет представлен в наглядной форме, например в виде графика. На современных экспериментальных установках наглядное представление результатов осуществляется средствами компьютерной графики. Однако в любой, в том числе самой современной лабораторной работе, ведется рукописный протокол, где графики, построенные в ходе измерений, представляют собой наиболее ценные первичные данные. Для того чтобы график выполнял свою функцию наглядного представления результатов, нужно соблюдать несколько несложных правил:

1.График исследуемой зависимости удобно размещать на листе миллиметровой бумаги размером не менее полстраницы лабораторного журнала. На чертеже с графиком указывают название исследуемой зависимости;

2.Перед построением чертежа с графиком необходимо установить интервалы изменения измеренных величин, которые сопоставляются друг другу как аргумент и функция. Это делается для того, чтобы выбрать цену масштабных делений сетки миллиметровой бумаги и разместить график по всей площади листа, где все его детали ясно прочитывались бы.

3.Масштабными делениями сетки миллиметровой бумаги являются 10 и 50 миллиметровые деления. ГОСТом устанавливаются

значения 1 10n , 2 10n и 5 10n единиц измерения величины, при-

ходящихся	на одно масштабное деление миллиметровой сетки
( n = 0, ±1,	± 2, ±3... ). В выбранных для обеих величин масшта-

бах производят разметку обеих взаимно перпендикулярных осей, нанося на каждую из них 3−4 реперных значения, причем функцию обязательно нужно откладывать на оси ординат, а аргумент – на оси абсцисс. Точка пересечения осей не обязательно должна соответствовать нулю.

4. Каждую из осей нужно снабдить буквенным обозначением соответствующей физической величины с указанием единиц, в которых ее значения отложены на оси. Если порядок физической ве-

11

личины (определяется множителем 10n ), измеренной в соответствующих единицах, либо велик, либо мал, на осях отмечают десятичные приставки. Названия десятичных приставок и обозначаемых ими порядков указаны в таблице В.2

					Таблица В.2
	Т
1012		(тера)	10-12	п	(пико)
109	Г	(гига)	10-9	н	(нано)
106	М	(мега)	10-6	мк	(микро)
103	К	(кило)	10-3	м	(милли)
102	Г	(гекто)	10-2	с	(санти)
101	дк	(дека)	10-1	д	(деци)

Обратите внимание на то, что обозначение оси, например ν 102 Гц, обозначает, что снятие отсчета по графику будет происходить следующим образом: берется точка на оси, положим 4, и затем 4 приравнивается к ν 102 Гц. Отсчет будет ν = 4×10-2 Гц, а

не ν = 4 102 Гц!

5. После разметки координатных осей на лист миллиметровой бумаги наносят экспериментальные точки, отвечающие парам сред-

них значений x, F , величин х и F, сопоставляемых друг другу

как аргумент и функция. Экспериментальные точки изображают аккуратно вычерченными знаками. Если на одном чертеже строят несколько графиков, используют разные обозначения экспериментальных точек: квадраты, треугольники, кружки и т.д.

6. График зависимости F(x) должен содержать информацию о погрешностях σx и σF результатов измерений величин х и F . Интервалы погрешностей 2σx и 2σF соответствуют отрезки, параллельные осям х и F , пересекающиеся посередине в точке с координатами x, F , изображенными в выбранных масштабах.

7. После нанесения на лист миллиметровой бумаги экспериментальных точек с интервалами погрешностей строят собственно

12

график – плавную линию, проводя ее в пределах интервалов 2σx и 2σF , и оставляя по обеим сторонам от нее примерно оди-

наковое число экспериментальных точек. Разные графики выделяют либо цветом, либо начертанием (сплошная, пунктирная, кривая, точечная и т.д.). Если же график является градуировочным, то он строится соединением экспериментальных точек прямыми, так как в этом случае значения нанесенных величин считаются достаточно точными, а кривая служит для отыскания промежуточных значений

(рис. В.1).

U 103B

40

20

0	200	400	600	t0, c

Рис. В.1

8.График F(x) выражает зависимость величины лишь от

одного аргумента, хотя F может завесить и от других величин − y, z, ... , значения которых сохраняются постоянными, их называ-

ют параметрами. Не перегружая чертеж с графиком излишней информацией, обязательно указывают на нем значения параметров, влияющих на характер исследуемой зависимости. На рис. В.2 изображена в качестве примера резонансная кривая, т.е. зависимость силы тока от частоты. На графике желательно указывать конкретные значения активного сопротивления, индуктивности и емкости.

13

		R
I, мА	C	L
100

50

2

4

6

ν, кГц

Рис. В.2

С помощью графиков иногда возможно определить физические величины, которые в эксперименте непосредственно не измеряются. Это может быть сделано различными методами, например методом математической обработки или по характерным точкам графика и т.д. Графики позволяют выяснить аналитическую зависимость между величинами. В случае нелинейной зависимости обработка довольна сложна. Рассмотрим простой случай, когда зависимость является линейной, и уравнение имеет вид: y = kx +b , k является

угловым коэффициентом и определяется как отношение прираще-

ния функции к приращению аргумента: k =	y	. Его погрешность
	x

определяется следующим образом. Через точки, более всего отстоящие от проведенной прямой, нужно провести вспомогательные прямые, параллельные ранее начерченной прямой (рис. В.3).

14

k2

R, Ом

k

2,3

k1

1,9

1,5	40	120	200	t0, c

Рис. В.3

Крайние точки параллельных прямых следует соединить по диагонали и найти их угловые коэффициенты k1 и k2 . Тогда по-

грешность k рассчитывают по формуле:

	k =			k2 −k1			.
			2
	Оформление результатов работы.
Пусть	интересующая нас			величина является функцией
f (x, y, z).	x, y, z измеряются прямо, а f будем определять кос-

венно по результатам прямых измерений. Определение величины f и ее погрешностей проводится в следующей последовательности:

1. Производим прямые измерения x, y, z....n раз и получаем ряды их значений:

15

x1, x2 , ... xn , y1, y2 , ... yn , z1, z2 , ... zn .

2. Рассчитываем средние значения величин x, y, z :

x = 1 ∑n xi ; n i=1

y= 1 ∑n yi ;

n i=1

z= 1 ∑n zi .

n i=1

3.После определения средних значений всех первичных величин вычисляем среднее значение величины f :

f = f (x,y,z).

4. Вычисляем случайные абсолютные погрешности независимых величин. Если число измерений n > 5 , то для расчета абсолютных погрешностей σ следует воспользоваться формулой (В.4). Вычисляется случайный разброс результатов, например для x :

σsx =	∑i	(xi − x )2	и сравнивается со значением приборной по-
		n −1
грешности		σ1 . Для погрешности измеряемой величины σслуч. вы-
бирается максимальная из σsx и σ1 , т.е.
			σслуч. = max{σsx ,σ1}.	(В.7)

Если при проведении опыта удалось оценить значение систематической погрешности σсист. , то окончательное значение абсолютной погрешности:

σ = (σслуч2 . +σсист2 . )1/ 2 .

16

Аналогично расчеты проводятся для у, z и других независимых переменных.

При малом числе измерений (для оценки σслуч. ) следует воспользоваться приближенными формулами (В.5) и (В.6).

В случае малого числа измерений в качестве абсолютной погрешности выбирается максимальная величина из σслуч. и σ1 ;

5.Для расчета погрешностей зависимой переменной f вос-

пользуемся формулой (В.1) и результатами таблицы В.1. При этом нужно предварительно посмотреть, какую из погрешностей проще вычислить. Если абсолютную погрешность, то нужно применять формулы для абсолютной погрешности из таблицы В.1, а затем по величине σ вычислить относительную погрешность. Однако часто бывает проще вычислить относительную погрешность, используя формулы правого столбца таблицы В.1, а затем по относительной

погрешности Ef найти абсолютную σ f = f Ef .

6. Приступая к построению графика, проанализируйте числовые массивы ваших экспериментальных данных и установите

xмин, xмакс и fмин, fмакс . Они служат для определения масштаба вашего графика. Разметка осей делается в соответствии с п. 3 раздела «Графики». Информация на осях должна быть предельно лаконичной, чтобы не отвлекать внимание от самого графика. Следует избегать излишнего дробления, подробной оцифровки, лишних надписей и т.п.

При построении графика надо вести линию в «коридоре» интервалов 2σx и 2σ f . При этом надо иметь в виду, что, за редким исклю-

чением, экспериментальные кривые не должны иметь резких выбросов, изломов и острых пиков. Если среди общего однородного массива появляется точка, резко отличающаяся от близлежащих, то это измерение стоит повторить еще раз. Скорее всего, это результат сбоя в аппаратуре, неверного отсчета или влияния какого-либо внешнего фактора.

Вообще говоря, в любом случае в областях, где график имеет особенности: максимумы, минимумы, перегибы и т.п., густота экс-

17

периментальных точек должна быть увеличена, тогда есть уверенность, что мы не пропустили каких либо существенных особенностей.

7. Заканчивают оформление работы кратким резюме с указанием среднего значения измеренной величины, абсолютной σ и относительной E погрешностей и возможных причин этих экспериментальных погрешностей.

18

		Основные
		физические константы*
Гравитационная		G = 6.6742(10) ×10−11 Н × м2 кг2
постоянная
Скорость света в		с = 2.99792458×108 м с (точно)
вакууме
Магнитная посто-		μ0 = 4π ×10−7 HA−2 =1.2566...×10−7 Гн м (точно)
янная
Электрическая по-		ε0 =1 μ0с	2	= 8.8541...×10	−12	Ф м (точно)
стоянная
Постоянная Планка		h = 6.6260693(11) ×10−34 Дж×с
Масса покоя элек-		me	= 9.1093826(16)×10−31 кг
трона
Масса покоя про-		mp =1.67262171(29) ×10−27 кг
тона
Заряд электрона		e =1.60217653(14) ×10−19 Кл
Атомная единица		1.660538886(28) ×10-27 кг
массы
Постоянная Аво-		NA = 6.0221415(10)×1023 моль−1
гадро
Постоянная Больц-		k =1.3806505(24) ×10−23 Дж/ К
мана
Нормальный	(мо-
лярный)	объем	V0 = 22.413996(39) ×10−3 м3 моль
идеального	газа
при нормальных
условиях
Нормальное атмо-				Pатм =101325Па
сферное давление
Радиус первой бо-		а0		= 5.291772108×10−11 м
ровской орбиты
Стандартное уско-		g = 9.80665 м с2 (точно)
рение свободного
падения

*Данные взяты из Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics v.33.Р.97 July ,2006.

19

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Работа 1

ИССЛЕДОВАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРОННОГО ОСЦИЛЛОГРАФА

Цель работы: наблюдение результата сложения взаимно перпендикулярных колебаний с неодинаковыми частотами.

Введение

Одним из простейших случаев движения точки, в том числе и гармонического колебательного движения, является одномерное движение, когда положение точки определяется всего лишь одной координатой, например x . При гармоническом колебательном движении эта координата изменяется со временем по закону:

x (t )= a cos (ωt + α),	(1.1)
где a – амплитуда; ω – круговая частота;	α – начальная фаза ко-

лебаний.

Более сложным является двумерное движение точки на плоскости, когда ее положение определяется двумя координатами x и y .

Если обе координаты точки меняются со временем по гармоническому закону, то движение точки представляет собой сумму двух колебательных движений, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям. В этом случае говорят о сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний. При этом точка будет двигаться по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз колебаний.

Рассмотрим сложение взаимно перпендикулярных колебаний в двух простейших случаях.

1. Колебания по осям x и y имеют одинаковые частоты, а на-

чальные фазы равны нулю:
x = a cos ωt , y = b cos ωt .	(1.2)

Исключая из этих соотношений время, получаем связь между y и x , т.е. уравнение траектории в виде:

20