Лабораторный практикум по физике для вечернего фак 2007

y =

b

x ,

x

≤ a ,

y

≤ b .

(1.3)

a

Это уравнение отрезка прямой, которая образует с осью x угол

ϕ = arctg (ba) (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Расстояние от точки до начала координат r = x2 + y2 = a2 + b2 cos ωt изменяется со временем по гармо-

ническому закону, причем амплитуда	r	= a2 +b2
	макс

Таким образом, при сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами и начальными фазами результирующим движением будет гармоническое колебание с частотой

ωвдоль прямой, составляющей угол ϕ с осью x .

2. Колебания по осям x и y имеют одинаковые частоты и ам-

плитуды, а разность фаз равна π 2 .
		x = a cos ωt ; y = a cos ωt + π				= a sin ωt .	(1.4)
				2
В	этом	случае расстояние	от	точки		до начала	координат
r =	x2	+ y2 = a , а угол ϕ,	образуемый радиусом − вектором r

точки и осью x ,

ϕ = arctg (y x) = ωt .

21

Таким образом, результирующим движением точки будет в этом случае равномерное движение по окружности.

В общем случае в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами траекторией движения точки будет эллипс, показанный на рис. 1.2.

Рис. 1.2

Рис.1.3

Рис. 1.4

При сложении колебаний с разными частотами, амплитудами и начальными фазами траектории результирующих движений имеют вид кривых, называемых фигурами Лиссажу. Простейшие из них приведены на рис. 1.3 и 1.4.

22

Методика выполнения работы

В данной работе сложение взаимно перпендикулярных колебаний проводится с помощью электронного осциллографа (ЭО). В качестве источников колебаний применяются два низкочастотных генератора (ГНЧ), с помощью которых можно получить электрические гармонические колебания в широком диапазоне частот.

Частота колебаний генератора устанавливается ручкой переключателя «Множитель» (ступенчатая регулировка) и тремя переключателями «Частота» (плавная регулировка ). Для определения частоты генератора в герцах нужно отсчет по переключателям «Частота» умножить на показания переключателя «Множитель». Колебания, возбуждаемые в генераторе, снимаются с клеммы "Выход", которые соединяются с Y - входом осциллографа. Второй генератор соединяется с X - входом осциллографа. Схема установки приведена на рис. 1.5.

Рис. 1.5

На экране осциллографа можно наблюдать результат сложения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний для различных отношений складываемых частот.

Порядок выполнения работы

Задание. Сложить взаимно перпендикулярных колебаний с неодинаковыми частотами.

1. Включите приборы, и дайте время на прогрев не менее пяти минут.

23

2.Меняя частоту ГНЧ (ручкам «Множитель» и «Частота»), получите на экране осциллографа кривые, возникающие в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний.

3.Зарисуйте наблюдаемые кривые для складываемых колебаний

сотношением частот: 1:1, 1:2, 1:3. 2:1. Сравните ваши рисунки с

рисунками 1.2 −1.4.

Контрольные вопросы

1.При каких условиях траектория движения точки, участвующей во взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, является прямолинейной?

2.При каких условиях траектория движения точки, участвующей во взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, является окружностью?

3.При каких условиях траектория движения точки, участвующей во взаимно перпендикулярных колебаниях, является фигурой Лиссажу?

4.Как получить на экране осциллографа фигуры Лиссажу?

24

Работа 2

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ В ПРОСТОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

Цель работы: определение критического сопротивления колебательного контура в зависимости от параметров контура: C , L и R .

Введение

Простой колебательный контур состоит из последовательно соединенных элементов: емкости C , индуктивности L и активного сопротивления R (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Если конденсатор зарядить, а затем замкнуть ключ, то в контуре возникнут электромагнитные колебания: конденсатор C начнет разряжаться, в контуре появится электрический ток и соответствующее ему магнитное поле. Изменение магнитного поля приводит к возникновению в контуре ЭДС самоиндукции:

ε = −L dIdt ,

которая сначала замедляет скорость разряда конденсатора, а после того, как конденсатор полностью разрядится, начинает поддерживать ток в прежнем направлении. В результате происходит переза-

25

рядка конденсатора. Затем процесс разрядки начнется снова, но в обратном направлении и т.д.

Если активное сопротивление контура R = 0 , то во время разрядки конденсатора его электрическая энергия превращается в энергию магнитного поля тока в контуре, и, наоборот, при измерении тока энергия магнитного поля превращается в электрическую. Полная электромагнитная энергия контура равна сумме энергий магнитного и электрической полей:

W =

LI 2

+

q2

,

(2.1)

2

2C

и не меняется со временем.

LI 2

+

q2

= const

(2.2)

&

2

2C

Учитывая, что I = q , запишем

L

&

2

1

2

+

2C q

= const

(2.3)

2 q

Продифференцировав соотношение (2.3) по времени, получим

(2.4)

2

2qq +

2C 2qq = 0

L

&&&

1

&

или

1

&&

+ C q = 0 .

(2.5)

Lq

Если ввести обозначение

1

= ω2

, то уравнение (2.5) принимает

LC

0

вид:

q +ω0 q = 0 ,

(2.6)

&&

2

аналогичный уравнению свободных гармонических колебаний, например, пружинного маятника

&&	2
x	+ω0 x = 0 .
Решением уравнения (2.6) может быть функция:
q (t ) = qm cos (ω0t + α),		(2.7)

26

где qm – максимальное, т.е. амплитудное значение величины заряда на обкладке конденсатора; ω0 – собственная круговая частота

электрического колебательного контура, определяемая параметрами системы: L и C ; α – начальная фаза.

Для периода свободных колебаний получается соотношение:

T = 2π LC ,

называемое формулой Томсона.

Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением R ≠ 0 . Энергия, запасенная в таком контуре, постепенно расходуется при нагревании сопротивления R . Поэтому свободные колебания затухают. В этом случае зависимость q(t) может иметь вид:

q (t ) = q0 e−βt cos (ωt + α),

(2.8)

где q0 – амплитудное значение заряда на обкладках конденсатора в начальный момент времени;

β = R2L ; ω= ω02 −β2 .

Выражение (2.8) описывает затухающие колебания заряда. Величину β называют показателем затухания. Формула (2.8) справедлива

при β < ω0 ( R < 2 L C ). Ввиду затухания такие колебания не явля-

ются строго периодическими. Под их периодом T понимается интервал времени между двумя последовательными максимальными значениями заряда на обкладках конденсатора:

	T =	2π	=	2π	.	(2.9)
		ω		(1 LC )−(R 2L)2

Амплитуда таких колебаний q0e−βt , как видно на рис. 2.2, убывает

со временем.

С увеличением показателя затухания β период колебаний растет, стремясь к бесконечности, когда β → ω0 . Это означает, что колебательный процесс переходит в апериодический (рис. 2.3).

27

Рис. 2.2

Рис. 2.3

Для контура с определенными значениями L и C апериодический разряд возникает, когда сопротивление превышает значение

Rкр = 2 LC , называемое критическим.

Методика выполнения работы

Исследование затухающих электрических колебаний проводится с помощью схемы, показанной на рис. 2.4. Генератор импульсов

вырабатывает короткие, длительностью τ ≈10−5 с, прямоугольные импульсы, заряжающие конденсатор C . За время между импульсами в контуре происходят свободные затухающие колебания. Напряжение, возникающее на катушке индуктивности, подается на вход осциллографа, на экране которого наблюдается картина зату-

28

хающих колебаний, аналогичная показанной на рис. 2.2. Изменяя сопротивление R от 0 до Rкр , можно наблюдать переход от коле-

бательного процесса к апериодическому (см. рис. 2.3).

Рис. 2.4

Порядок выполнения работы

Задание. Изучить затухающие колебания контура в зависимости от параметров контура: L , C , R . Определить критическое сопротивление колебательного контура.

1.При «выведенном» магазине сопротивлений (т.е. R = 0 ) на экране осциллографа наблюдается устойчивая картина затухающих колебаний (подобная рис. 2.2). Зарисуйте картину, наблюдаемую на экране осциллографа.

2.Для заданных в таб. 2.1 значений C , постепенно увеличивая сопротивление R , добейтесь перехода от колебательной формы разряда конденсатора к апериодической (подобно рис. 2.3). Значе-

ние активного сопротивления Rкр.эксп. , при котором в контуре воз-

никнет апериодический разряд, запишите в табл. 2.1.

3. Рассчитайте для данных

L

и C

теоретическое

значение

Rкр.теор. и

Rкр по формулам:

R

= 2 L C ;

R

= R

1

L

2

C 2

+

.

КР

КР 2

кр.теор.

L

C

29

Данные запишите в табл. 2.1. Сравните экспериментальное значение критического сопротивления с теоретическим.

				Таблица 2.1
L, мГн	C, мкФ	Rкр.теор,Ом	Rкр.эксп,Ом	Tтеор. , c
2,97	1
2,97	2
2,97	3

4. Рассчитайте по формуле Томсона теоретическое значение периода затухающих колебаний Tтеор. , запишите его в табл. 2.1.

Контрольные вопросы

1.Нарисуйте принципиальную схему колебательного контура и поясните процесс возникновения электромагнитных колебаний.

2.Почему в реальном колебательном контуре свободные электромагнитные колебания являются затухающими?

3.Как экспериментально определить период свободных электромагнитных колебаний в контуре?

4.Что такое критическое сопротивление Rкр ?

30