Лабораторный практикум по физике для вечернего фак 2007

Работа 9 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Цель работы: ознакомление с методом спектрального анализа на основе разложения в ряд Фурье, получение спектров периодических сигналов различной формы с помощью аналогового и цифрового компьютеров.

Введение

При теоретическом рассмотрении колебаний наибольшее внимание уделяется гармоническим колебаниям. Однако ни один реальный физический процесс не происходит в точности по гармоническому закону. Например, все реальные колебательные процессы имеют начало и конец во времени, и хотя бы, поэтому не являются гармоническими.

Встречающиеся в природе колебательные процессы - это процессы, протекающие длительное время. Примером колебаний такого рода могут служить периодические изменения напряжения между различными участками человеческого тела, возникающие в результате работы сердца. График зависимости от времени напряжения, «вырабатываемого» сердечной мышцей, очень мало похож на синусоиду, т.е. колебания биотоков являются негармоническими

(рис. 9.1а).

Рис. 9.1

Другой пример негармонических колебаний, происходящих в природе − колебания уровня воды в открытых морях и океанах.

71

Изменения уровня воды во многих морских портах настолько значительны, что точное предсказание отливов и приливов оказывается важной практической задачей: глубина осадки современных морских судов велика и многие порты могут принять их лишь в часы прилива. Зависимость высоты прилива от времени оказывается сложной (рис. 9.1,б), так что выразить ее аналитической формулой довольно трудно.

Близкими к гармоническим, но не строго гармоническими, являются автоколебания: колебания маятника часов, колебания силы тока в релаксационном генераторе на интегральных микросхемах. Негармонические колебания широко используются в технике. Так, для изучения формы исследуемого электрического сигнала с помощью электронного осциллографа на управляющие электроды электронно − лучевой трубки, вызывающие горизонтальное отклонение электронного пучка, подают напряжение пилообразной формы от генератора развертки.

Метод гармонического анализа

Метод заключается в том, что негармонический периодический колебательный процесс представляют как результат сложения некоторого числа гармонических колебаний (простых гармоник). Под

простыми гармониками понимают функции вида Acos(ωt +ϕ),

или, что равнозначно, функции вида a cos ωt + b sin ωt . Возможность представления любой периодической функции в виде суммы бесконечного тригонометрического ряда была предложена Ж.Б.Ж. Фурье в 1822 году.

Вимпульсной технике гармонический анализ позволяет производить расчеты электрических цепей при прохождении через них электрических сигналов сложной формы с помощью простых правил для гармонических составляющих.

Влинейных цепях, т.е. в цепях с резисторами, конденсаторами и катушками индуктивности без ферромагнитных сердечников, каждый член ряда Фурье преобразуется независимо от других гармонических составляющих. Например, для определения силы тока в цепи при действии несинусоидального напряжения находят отдельно силу тока от каждой гармоники напряжения, а затем суммируют рассчитанные гармоники силы тока.

72

(9.6)

bn = 0 ,

Ряд Фурье для функции f (t )

с периодом T имеет вид

a0

n=∞

f (t )

=

+ ∑(an cosωnt +bn sin ωnt ),

(9.1)

где

2

n=1

2π

4π

2nπ

ω = ω =

, ω = 2ω =

,

…, ω = nω=

.

(9.2)

1

T

2

T

n

T

a0

Первое слагаемое ряда Фурье (9.1)

− постоянная состав-

2

ляющая, не

зависящая

от

времени.

Второе

слагаемое

a1 cosω1t +b1 sin ω1t представляет собой первую, или

основную,

гармоническую составляющую разложения функции f (t ) с пе-

риодом T . Третье слагаемое называют второй гармоникой и т.д. Коэффициенты разложения an , bn находятся из формул

T

a0 = 2 ∫2 f (t )dt , (9.3)

T −T 2

T

an = 2 ∫2 f (t)cos (ωnt)dt (n =1, 2, 3, ...), (9.4)

T −T 2

T

bn = 2 ∫2 f (t)sin (ωnt)dt (n =1, 2, 3, ...). (9.5)

T −T 2

Из свойств четности косинуса и синуса видно, что при разложении в ряд Фурье четных функций f (t ) все коэффициенты

а коэффициенты разложения по косинусам:

T

an = 4 ∫2 f (t )cos(ωnt )dt (n =1, 2, 3, ...),

T 0

73

и, наоборот, при разложении нечетных функций f (t ) все an , включая a0 , равны нулю, а разложение по синусам содержит коэффициенты

T

bn = 4 ∫2 f (t )sin (ωnt )dt (n =1, 2, 3, ...). (9.7)

T 0

Диаграмма, характеризующая функцию f (t ) и изображающая амплитуды гармоник an , bn в зависимости от их частот ωn называется спектром.

В качестве примера рассмотрим функцию f (t), представленную в виде суммы гармоник с частотами ωn = 0, 1, 2, 3 рад/с:

f (t )=1+ 34 cos(2πt) + 24 cos(4πt)+ 14 cos(6πt ).

График этой функции представлен на рис. 9.2,а, а на рис 9.2,б показан спектр этой функции, полученный с помощью компьютерной программы «быстрого Фурье-преобразования».

Рис. 9.2

Разложим в ряд Фурье функцию

74

π

на

T

−

−

, 0

4

2

f

(t )

=

.

π

T

на

0 ,

4

2

Поскольку f (t )

− нечетная функция, из (9.7) имеем

4

T 2

2πn

1

πn

cos x

πn

bn =

f (t )sin

t dt =

sin (x′)dx′ = −

=

T

∫0

T

2n ∫0

1

2n

0

cos 0 − cos (πn )

1 − (−1)

n

при нечетном n

=

=

=

n

2n

2n

0

при чётном n

Искомое разложение есть

f (t )= sin

2πn

+

1

6πn

+

1

10πn

t

3

sin

T

t

5

sin

t +...

T

T

Заметим, что при t =

T

можно получить

4

f

T

=

π

=1

−

1

+

1

−

1

+...

4

4

3

5

7

Для разложения в ряд Фурье четной функции, рассмотрим функ-

цию f (t) = t на −T2 , T2 с периодом T . Из (9.6) имеем

	4 T 2			T
a =		∫0	tdt =		,
0	T			2

		4	T	4
	an =		∫2 t cos (ωnt )dx =
		T		T
			0

T

2πn

2πn

2

t sin

t

cos

t

T

+

T

=

2πn

2πn 2

T

T

0

T

cos (nπ)− cos (0)

T

(−1)

n

−1

−

2T

=

=

=

π2 n2

π2

n2

π2

n

2

0

при нечетном n

при четном n

75

Искомое разложение есть

f (t )=	T	−	2T2	cos	2πt
	4		π		T

В частности, при t = 0 и T

π2

8

	1			6πt				1		5πt
+		cos					+		cos		+... .
	9							25
				T						T
= 2π отсюда легко получить, что
	+∞		1
= ∑						.
			(2n +1)		2
	n=0

Разложение в ряд Фурье функции, заданной на сегменте [0,T ] −

это важный случай в практике. Одним из примеров такой функции является импульс напряжения в электрической цепи, состоящей из

источника тока напряжением U0 , ключа и резистора R . Импульс

тока возникает при замыкании и размыкании ключа за время τ < T . Спустя время T после момента первого замыкания процесс возобновляется (рис. 9.3).

Рис. 9.3

Поскольку при t = 0 функция не равна нулю, то разложение надо проводить в ряд косинусов. Функция U (t) может быть единственным образом продолжена на всю ось t так, что получится четная функция с периодом 2T . К графику заданной функции на сегменте [0,T ] (см. рис. 9.3) присоединим фигуру, симметричную с

ним относительно оси ординат. Затем к образовавшейся фигуре присоединим все ее горизонтальные смещения на расстояния, кратные 2T . Тогда получится график четной функции с периодом 2T ,

совпадающей с заданной функцией U (t ) на сегменте [0,T ]. Из

76

этого графика и из сказанного ранее о разложении четных периодических функций в ряд Фурье (9.6) следует, что

a =

1

T U

(

t dt =

U0

τ

dt =

2U0 τ

,

∫

0

T

∫

)

T

T

−T

−τ

an =

1

T∫U (t )cos

πnt dt =

U0

∫τ

cos

πnt dt =

2U0

sin

πnτ .

T

T −T

T

−τ

T

πn

T

Таким образом, зависимость напряжения на резисторе от време-

ни будет представлена в виде ряда

U (t)

τ

∞

2

πn

πnt

τ

∞

πnt

f (t)=

=

+∑

sin

τ cos

=

+∑an cos

. (9.8)

U

T

πn

T

T

T

0

=

T

=

n 1

n 1

Если бы для анализа периодической функции f (t )

одинаково

важны были все члены бесконечного тригонометрического ряда Фурье (9.1), то гармонический анализ не имел бы такой практической ценности, так как с его помощью было бы очень трудно произвести какие-нибудь вычисления. В действительности амплитуды гармоник ряда Фурье с увеличением номера гармоники n имеют тенденцию к убыванию. В рассмотренной выше задаче, например,

a	n		<	2	→0 . Поэтому для практических целей оказывается
				πn	n→∞

возможным использовать вместо бесконечного ряда тригонометрических функций конечное число слагаемых. Число членов ряда Фурье, которые необходимо использовать в расчетах, определяется

видом функции f (t ) и заданной точностью вычислений.

Спектр функции (9.8), т.е. множество значений an , для случая Tτ = 5 изображен на рисунке 9.4.

77

Рис. 9.4

Длительность фронтов импульсов (крутизна фронтов) существенно влияет на ширину спектра, т.е. на наличие в спектре импульсов высших гармоник. На рисунке 9.5,а показаны три импульса с разной крутизной фронтов. Первый импульс имеет более пологие фронты, чем третий. На рис. 9.5,б-г, где представлены спектры этих импульсов ясно видно, что спектр третьего импульса значительно богаче спектра первого импульса. Обратите внимание на то, что амплитудный спектр идеальных прямоугольных импульсов (см. рис. 9.5,б) еще более широкий, амплитуды высших гармоник убы-

вают с номером гармоники очень медленно по закону n1 , где n -

номер гармоники. Используя этот факт, можно дать качественное объяснение, почему в цепи, содержащей резистор и конденсатор, в момент замыкания ключа ток течет через конденсатор беспрепятственно. Дело в том, что емкостное сопротивление конденсатора

XC = ω1C . При резком включении тока (рис. 9.6а) в его спектре

присутствуют высокочастотные гармоники (рис. 9.6в), для которых конденсатор не представляет сопротивления. Из графика на рис. 9.6б видно, что при плавном включении тока уширения спектра не происходит.

78

Рис. 9.5

79

Рис. 9.6

Колебательный контур как простейший спектральный фильтр

Одной из наиболее часто встречающихся в физике и технике (особенно в радиотехнике и оптике) задач является определение отклика колебательных систем (таких, как электрический контур, маятник, механическая конструкция, атом и др.) на внешнее воздействие.

Возбуждение колебательной системы, например маятника, внешней периодической силой F = F0 cosωt приводит через неко-

торое время к периодическому отклику системы в виде гармонического колебания:

x = A(ω)cos(ωt +ϕ),

(9.9)

где

80