Лабораторный практикум по физике для вечернего фак 2007

Работа 3

ИЗУЧЕНИЕ РЕЗОНАНСА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

Цель работы: определение резонансной частоты электрического колебательного контура.

Введение

Электрический колебательный контур представляет собой последовательно соединенные резистор с сопротивлением R , катушку с индуктивностью L и конденсатор емкостью C (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Если в контур включить источник переменного тока, электродвижущая сила (ЭДС) которого меняется по гармоническому закону

ε = εm cos ωt ,

(3.1)

то в контуре будут происходить вынужденные электрические колебания с круговой частотой ω (с частотой ЭДС). Амплитуда тока в

контуре Im связана с амплитудой переменной ЭДС соотношением:

Im = εm Z ,

(3.2)

где величина Z , стоящая в знаменателе, является сопротивлением контура

Z = R2 +(ωL −1 ωC )2 .

(3.3)

31

Соотношение (3.2) называют законом Ома для амплитуд переменного тока. Из (3.2) и (3.3) следует, что при выполнении условия

ωL −1 ωC = 0

(3.4)

амплитуда тока Im достигает своего максимального значения. При

этом возникает резонанс, и соответствующее значение частоты внешней ЭДС называется резонансной частотой

ωрез =1 LC .

Нетрудно видеть, что резонансная частота совпадает с частотой собственных колебаний в контуре ω0 :

ω0 =1 LC .

Кривую зависимости амплитуды тока от частоты внешней ЭДС называют резонансной кривой или резонансной характеристикой данного контура. На рис. 3.2 приведены резонансные кривые для заданных значений L и C и для различных значений активных сопротивлений контура.

Рис. 3.2

Чем меньше активное сопротивление R контура, тем больше амплитуда тока при резонансе и тем острее выражен максимум на резонансной кривой.

Напряжение на активном сопротивлении R так же, как и ток в контуре, меняется по гармоническому закону, причем значение ам-

плитуды напряжения U m связано с амплитудой тока соотношением:

32

U m = Im R .

Следовательно, резонансная кривая для амплитуды напряжения на активном сопротивлении имеет такой же вид, как и для амплитуды тока, т.е. максимальное значение амплитуды напряжения на активном сопротивлении достигается тогда, когда частота внешней ЭДС совпадает с частотой собственных колебаний контура, т.е.

ωрез = ω0 .

Методика выполнения работы

Исследование явления резонанса в электрическом колебательном контуре производится с помощью схемы, изображенной на рис. 3.3.

Рис. 3.3

Источником переменной ЭДС, меняющейся по гармоническому закону, является генератор низкочастотных электрических колебаний (ГНЧ). Вольтметр V определяет падение напряжения на сопро-

тивлении R . Частота генератора ν связана с круговой частотой ω соотношением ω = 2πν.

Изменяя частоту сигнала, подаваемого с генератора колебаний, измеряют падение напряжения U (ν) на сопротивлении R (для заданных значений L , C и R ).

33

Строят зависимости и U (ν) для двух разных значений R и по графикам определяют νрез .

Порядок выполнения работы

Задание. Изучить зависимости U (ν). Найти резонансную частоту

для двух значений сопротивления R .

1. Рассчитайте теоретическое значение резонансной частоты по формуле:

	νрез =		1	,
		2π	LC
	где L = 2,97мГн, C =15 нФ.

2. Установите значение сопротивления R1 =100 Ом. Снимите зависимость U (ν). Для этого на передней панели генератора уста-

новите переключатель «множитель частоты» – в положение «103 ». Изменяя с помощью лимба значение частоты, проведите измерения напряжений U . Результаты запишите в табл. 3.1.

							Таблица 3.1
R =100 Ом	ν, кГц	20	22	24	26	28	30
1	U , B
R = 200 Ом	ν, кГц	20	22	24	26	28	30
2	U , B

3. Установите значение сопротивления R2 = 200 Ом, и повторите измерения п.2. Результаты запишите в табл. 3.1.

4.Постройте на одной координатной оси графики зависимости U (ν) для значений сопротивлений R1 и R2 . Сравните обе кривые.

5.По графику определите значение νрез ± Δνрез . Сравните экспериментальное и теоретическое значения.

34

Контрольные вопросы

1.При каком условии наступает резонанс в электрическом колебательном контуре?

2.Чему равна резонансная частота?

3.От чего зависит амплитуда силы тока в контуре при резонан-

се?

4.Что такое резонансная кривая? Как меняется резонансная кривая при различных активных сопротивлениях контура?

35

Работа 4

ИЗМЕРЕНИЕ ФАЗ И АМПЛИТУД В RL - ЦЕПИ

ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Цель работы: проверка закона Ома для последовательно включенных R и L .

Введение

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединенных катушки индуктивности L и резистора R (рис. 4.1). Цепь подключена к источнику переменного напряжения U (t). По цепи течет

переменный ток i(t).

Рис. 4.1

Закон Ома для цепи выглядит так же, как для цепи содержащей ЭДС

iR = ϕ1 −ϕ3 + ε		(4.1)
В этом случае ε = εси = −L di	, а ϕ1 − ϕ3 =U (t )	– внешнее пере-
dt

менное напряжение. Тогда уравнение баланса напряжений будет записываться в виде:

U (t)=U R (t)+U L (t),			(4.2)
где
U R (t)= i(t)R , U L (t)= L	di	.	(4.3)
	dt
Пусть ток в цепи изменяется по гармоническому закону:
i(t )= Im cos ωt .			(4.4)

Тогда

36

U R (t)= i(t)R = Im R cosωt =U Rm cosωt ,

(4.5)

т.е. напряжение на активном сопротивлении испытывает колебания синфазно с током, амплитуда колебаний U Rm = Im R . Напряжение

на катушке индуктивности:
UL (t ) = L	di		ωt +	π		(4.6)
	dt	= −LωIm sin ωt = LωIm cos		2

изменяется по гармоническому закону с опережением значения тока по фазе на π2 и с амплитудой ULm = LωIm . Результат сложе-

ния таких колебаний можно получить преобразованием тригонометрических функций, но легче это сделать, используя метод векторных диаграмм, который особенно удобен, когда надо сложить колебания с одинаковыми частотами, как в этой работе.

Метод векторных диаграмм основан на следующих положениях.

1. Проекция на горизонтальную ось вектора U m , имеющего модуль U m и вращающегося с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси, перпендикулярной вектору, изменяется как U (t )=Um cosωt , т.е. совершает гармонические колебания (рис.

4.2).

2. При сложении двух векторов проекция суммарного вектора равна сумме проекций складываемых векторов (рис. 4.3).

Рис. 4.2

Рис. 4.3

37

Эти положения позволяют находить амплитуду суммарного (результирующего) колебания U ∑ как векторную сумму амплитуд

складываемых колебаний (U m1 и U m2 ). При этом угол ϕ между векторами Urm1 и U m2 равен разности фаз их колебаний (см. рис.

4.3). Так как сила тока одинакова во всех участках цепи, то построениеr векторной диаграммы удобно начать с вектора силы тока

Im . Этот вектор изображают в виде вертикальной стрелки (рис. 4.4).

Рис. 4.4

Напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с силой тока. Поэтому вектор U Rm должен совпадать по направлению с

вектором Irm . Его модуль равен U Rm = Im R .

Колебания напряжения на индуктивном сопротивлении опережают колебания силы тока на π2 , и соответствующий вектор U Lm

должен быть повернут относительно вектора Im на π2 . Если счи-

тать, что положительному сдвигу фаз соответствует поворот вектора против часовой стрелки, то вектор следует повернуть налево. Результат изображен на рис. 4.4. Из рисунка непосредственно следует:

Um = URm2 +ULm2 = Im R2 +ω2 L2 .

(4.7)

38

Для амплитуды тока имеем

Im =	Um	=	Um	.	(4.8)
	R2 +ω2 L2
			Z

Полученное выражение по форме подобно закону Ома для постоянного тока, т.е. устанавливает связь между амплитудными значениями тока и напряжения, приложенного к цепи и называется зако-

ном Ома для переменного тока. Z = R2 +ω2 L2 является полным

сопротивлением цепи.

Как видно из рис. 4.4, ток в такой цепи отстает по фазе от приложенного напряжения на угол ϕ, который определяется соотно-

шением

tgϕ =	ωL .	(4.9)
	R

Методика выполнения работы

Проверка закона Ома для цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные резистор и катушку индуктивности, проводится на установке, схема которой показана на рис. 4.5. Источником переменного напряжения является генератор низкой частоты (ГНЧ).

Рис. 4.5

По результатам измерений напряжений на резисторе U R и катушке индуктивности U L строится векторная диаграмма напряже-

39

ний. По диаграмме определяется сдвиг фазы между током и напряжением и суммарное приложенное напряжение. Полученный результат сравнивается с результатом измерений величины прило-

женного напряжения U∑ .

Порядок выполнения работы

Задание. Провести проверку закона Ома для последовательно включенных R и L .

1. Проведите измерения U R , U L , U ∑ (эксп.) для трех значений R , указанных в таблице 4.1. Результаты занесите в табл. 4.1.

						Таблица 4.1
R,Ом	ν, кГц	U R , В	U L , В	U ∑ , В	U ∑′ , В	tgϕ = UL
				(эксп.)	(диагр.)	UR
100	1
200	1
300	1

2. Постройте в масштабе векторную диаграмму напряжений и определите U ∑′ по формуле U∑′ = UR2 +UL2 . Сравните результат с измеренным U ∑ .

3.Рассчитайте сдвиг фаз по формуле (4.9), для tgϕ.

4.Оцените погрешности для U L , U R , U ∑ и ϕ

Контрольные вопросы

1.Запишите закон Ома для RL − цепи при подключении источника постоянной ЭДС.

2.Получите выражение для амплитуды I∑m полного тока.

40