Нурушев Введение в поляризационную 2007

Сторе [Froissart (1960)] существует следующая связь между поляризацией до входа в резонанс Pin и после выхода из резонанса Pout:

				π		ε		2
			−
		2e		2α
	P =
	out

−1 Pin . (4)

Здесь параметр α = d(γG)/dθ определяет скорость изменения спиновой настройки на единицу угла поворота частицы в радианах. Из этой

формулы видно, что чем выше коэффициент α, тем лучше сохраняется поляризация. Если он очень мал, то велика вероятность опрокидывания поляризации, причем поляризация может сохраняться. Этот метод был в свое время успешно опробован на ВЭПП и не очень успешно на Сатурне и ZGS.

§40.2. Расчет мощности резонанса

Уравнение движения спина во внешнем магнитном поле было записано выше (1). При движении в циклических ускорителях в идеальных условиях частица вращается вокруг вертикального магнитного поля

B = B = B0 yr с постоянной частотой ν по замкнутой плоской орбите.

Спин тоже вращается вокруг той же оси с частотой ν's = γGν. На практике

чаще используется отношение νs = ν′s /ν = γG, называемое спиновой настройкой. В реальных ускорителях с переменным градиентом существуют, во-первых, фокусирующие и дефокусирующие магнитные элементы и, во-вторых, всегда имеются поля возмущений из-за ошибок в изготовлении магнитных элементов либо из-за ошибок при их юстировке. В результате суммарное магнитное поле, действующее на частицу, представляется в форме

B = B0 yr + (By yr + Bx xr) .

(5)

Горизонтальная компонента поля Bx смещает направление спина от вертикали. В результате вертикальная компонента спина уменьшается. Но так как величина горизонтального поля мала, то и уменьшение вертикальной поляризации мало. Однако из-за накопления таких возмущений может возникнуть ситуация, когда спиновая настройка оказывается в резонансе с частотами бетатронных колебании частиц. Тогда может произойти сильная деполяризация пучка.

291

Движение частицы по оси y содержит две компоненты, соответствующие движениям по замкнутой орбите Yα и бетатронные осцилляции Yβ. Когда имеется ошибка в юстировке магнитных элементов, величина Yα не

равна нулю даже для идеального случая монохроматичного пучка (∆p/p = = 0). В результате возникает спиновый резонанс несовершенства. Этот резонанс имеет фурье-разложение e±iKθ, где K – целое число. Более того, частицы совершают бетатронные колебания вокруг равновесной орбиты. Вызывающее такое движение частицы возмущающее поле имеет тоже фурье-компоненту с частотами бетатронных колебаний, а именно:

ei(kP±v y ), где k, P и νy представляют целое число, суперпериод ускорителя и частоту вертикальных бетатронных колебаний соответственно. Такой резонанс, как отмечалось выше, называется внутренним резонансом. Надо отметить, что когда спиновая настройка νs = γG равна целому числу k или

kP±νy, то происходит когерентное воздействие полей на спин, и это вызывает деполяризацию пучка. Мощность резонанса, обусловленная всеми перечисленными выше факторами, определяется следующей формулой:

εK0 ∫BxeiK0θdθ .

(6)

Можно показать, используя формулу (1), что движение спина в маг-

нитном поле кольцевого ускорителя можно переписать в виде
	dS	r	r
		= S	×Ωa .	(7)
	dθ

Здесь оператор Ωa разложен по трем единичным ортам:

Ωa = −txr + rsr − κyr .

(8)

Единичные векторы s, x, y расположены следующим образом. Пер-

вые два вектора лежат в плоскости орбиты, причем s направлен по касательной к орбите, в направлении движения частицы; x перпендикулярен к s и направлен наружу, а y направлен нормально к плоскости орбиты

вверх. Входящие в формулу (8) параметры определены следующим образом:

	y '				''
			,	t = (1+ γG)ρy		.	(9)
κ ≈ γG, r = (1+ γG) y'−ρ(1+ G)
	ρ

В этих формулах штрих обозначает дифференцирование по θ, ρ соответствует текущему радиусу кривизны орбиты. Тогда, вводя переменные S+ = S1 ± S2, с учетом (9), уравнение (7) можно переписать следующим образом:

292

	dS+	= iκS+ + iς S3,	dS−	= −iκS− − iςS3,	dS3	= i(ςS+ − ς S−) . (10)
	dθ		dθ		dθ

Здесь константа связи поперечных движений определяется соотноше-

нием					'
				y			±iK		θ
								m		. (11)
ς = −t −ir = −(1+ γG)(ρy''+iy') + iρ(1+ G)				ρ	= ∑εme
						m
Теперь можно записать формулу для мощности резонанса в виде
εK0 = 1	∫ ς(θ) eiK0θ(s)ds = −	γG	∫ y''eiK0θ(s)ds = −		γG	∫G(s)eiK0θ(s)ds . (12)
2π	ρ(s)	2π			2π

Здесь функция G(s) представляет фокусирующую-дефокусирующую силу ускорителя. Для ускорителя со структурой ФОДО (фокусировка – пролет – дефокусировка – пролет) мощность главного внутренного резонанса определяется в явной форме

K0

π

γG G

(F)

+ G

i

M

−µ

ε

= −

ε

β

ε

β

(D)e

K

2π

F

N

y

D

N

y

K0

i(M −

1

K

0

π

×

sin M (

M

−µ)π

)

−µ

e

2

M

.

K

0

sin (

−µ)π

M

×

(13)

В формулу входят следующие параметры: εN – нормализованный эмиттанс, GF и GD – фокусирующие и дефокусирующие силы квадруполя, µ – приращение фазы на ячейке, βy(F) и βy(D) – вертикальные амплитудные функции в фокусирующих и дефокусирующих квадруполях и M – полное число ячеек в ускорителе.

Из уравнения (13) можно сделать ряд интересных заключений. Вопервых, самые сильные резонансы отстоят друг от друга на величину M, равную общему количеству ячеек в ускорителе. Во-вторых, сила резонансов пропорциональна M. В-третьих, мощность внутренних резонансов

растет с энергией как γ , в то время как мощность резонанса несовер-

шенства растет линейно с γ.

Содержание этого подпараграфа основано на работе [Courant (1986)].

293

§40.3. Расчеты для AGS

Приложение этой техники расчетов к AGS для случая Qν = 8,7 и нормализованного эмиттанса πε =10π мм мрад показало наличие трех сильных деполяризующих внутренних резонансов при спиновых настройках, равных 0 + Qv, 36 – Qv и 36 + Qv. Напомним, что периодичность магнитной структуры AGS составляет Р = 12, и поэтому сильными оказываются резонансы, у которых n являются кратными P (см. (3)). Положение ло- ренц-фактора протона для этих точек составляет 4,85; 15,23 и 24,93 соответственно (nV = ±1 в (3)). Мощности этих резонансов в относительных единицах равны приблизительно 0,015 для двух первых резонансов и 0,027 – для третьего. Этот последний резонанс является самым мощным, и энергию инжекции для RHIC было решено выбрать ниже этой величины. Остальные внутренние резонансы оказались намного слабее.

Что касается RHIC, то согласно общим правилам и количество резонансов, и их мощности сильно растут. Такие же, как и выше, расчеты для этого случая при Qv = 29,212 показали наличие четырех мощных внутренних резонансов при энергиях выше 100 ГэВ. Их мощности составляют от 0,35 до 0,45. Даже ниже 100 ГэВ наблюдается так много резонансов с мощностями на порядки больше, чем в AGS, что нет никаких способов, кроме техники “сибирских змеек”, чтобы преодолеть их.

К концу 2004 г. ситуация на RHIC по ускорению поляризованного протонного пучка была следующей. Линейный ускоритель выдавал протоны с поляризацией 80 % и энергией 200 МэВ, бустер ускорял их до 1,5 ГэВ. Чтобы подавить резонансы несовершенства при целых числах 3 и 4, использовалась коррекция орбиты с помощью соответствующих гармоник магнитного поля. Пучок выводился из бустера несколько раньше

(при γG = 4,5), чем достигался первый внутренний резонанс νs = γG = 4,9.

В AGS пучок ускорялся от γG = 4 до γG = 46,5. Здесь для подавления деполяризации вначале использовалась частичная змейка на базе теплого соленоида со спиновой мощностью 5 %. В сеансе 2003 г. с помощью этого соленоида была получена на выходе AGS поляризация всего 28 %. При этом соленоид работал в сочетании с переменным магнитным полем диполя, помогавшим осуществить переворот спина в четырех сильных внутренних резонансах, упоминавшихся выше.

Была обнаружена сильная связь вертикальных и горизонтальных движений частиц, обусловленная этим соленоидом. Этот соленоид был заменен на теплый геликоидальный магнит, тоже выполнявший функцию частичной змейки, но с большей силой (8 % при энергии инжекции и 6 % при энергии вывода пучка из AGS). В результате на выходе AGS в 2004 г. была получена поляризация 50 % [Huang (2004)]. Энергетическая зависи-

294

мость сырой асимметрии, измеренной в сеансе 2003 г. с соленоидом и в сеансе 2004 г. с геликоидальным магнитом, представлена на верхней части рис. 2 (на нижнем рисунке приведена накопленная статистика). Явно видно уменьшение асимметрии с энергией, однако из-за незнания энергетической зависимости анализирующей способности поляриметра (pC- упругое рассеяние в области кулон-ядерной интерференции) трудно объяснить этот факт. Такое ослабление поляризации может происходить как из-за анализирующей способности, так и наличия деполяризации пучка при ускорении. Что твердо установлено и видно на рис. 2, так это то, что дипольная частичная змейка работает лучше (круглые верхние точки), чем соленоид (нижние квадратики). При энергии вывода пучка из AGS анализирующая способность pC-поляриметра была прокалибрована с помощью другого поляриметра на базе поляризованной струйной мишени, размещенного в RHIC. В результате было установлено, что в 2004 г. выведенный из AGS пучок имел поляризацию 50 %. Если предположить, что в бустере поляризация не теряется, то на входе в AGS пучок должен бы иметь поляризацию 50 %, а не 80 %, как это было найдено на выходе линейного инжектора, т.е. практически на входе в AGS. Следовательно, в AGS пучок, возможно, деполяризуется от 80 % до 50 %, и этот факт требует дальнейшего изучения.

Рис. 2. Иллюстрация улучшения поляризации пучка на выходе AGS в 2004 г. по сравнению с 2003 г.; таблица справа от рисунка показывает как потери поляризации, так и выигрыши на определенных резонансах

295

Однако проблема с сохранением поляризации в AGS по-прежнему остается нерешенной.

В RHIC поляризованные протоны должны ускоряться с энергии, соот-

ветствующей γG = 46,5, до энергии, соответствующей γG = 478 (250 ГэВ). Для сохранения поляризации при этом используются две “сибирские змейки”, отстоящие на 180° по орбите. Оси вращения спинов лежат в горизонтальной плоскости и взаимно перпендикулярны. Каждая змейка состоит из четырех сверхпроводящих геликоидальных диполей. Обмотка каждого диполя расположена по спирали, идущей по часовой стрелке. Эта обмотка создает спиральное магнитное поле, которое всегда перпендикулярно оси пучка. В результате спиновая настройка не зависит от энергии пучка, как это было в случае с соленоидом. Раскачка пучка тоже минимальна. Основные требования к змейке сводятся к тому, чтобы, вопервых, она повернула спин на 180° вокруг оси пучка, и, во-вторых, чтобы она была прозрачна для пучка. Это значит, что параметры пучка вне змейки должны оставаться неизменными. В RHIC есть еще два спиновых ротатора, размещенных попарно на каждом кольце вокруг точек пересечения пучков для установок STAR и PHENIX. Их задача состоит в том, чтобы положить вертикальную поляризацию пучка в горизонтальную плоскость (плоскость орбиты). После этого два диполя ускорителя преобразуют поляризацию пучков в продольную. После взаимодействия пучков такая же пара диполей и магнитов ротатора возвращают поляризацию пучка в вертикальное положение. Такая необходимость связана с выполнением наиболее важных задач поляризационной программы на RHIC – исследованием спиновой структуры нуклонов.

Работа спиновых ротаторов была проверена измерением асимметрии при отсутствии и при наличии питания ротаторов. В первом случае наблюдается лево-правая асимметрия, в то время как при работе ротатора такая асимметрия исчезает. Надо только отметить, что экспериментальные точности измерения недостаточно высоки, чтобы выделить систематические ошибки. На выходе AGS получена поляризация 50 % при количестве частиц в банче (сгустке частиц, из которых состоит пучок) 1 1011. По их же данным на выходе из линейного инжектора поляризация была 80 %. Поскольку нет информации о том, какая была поляризация на входе в AGS, невозможно отнести всю потерю поляризации только за счет AGS. Возможно, есть потеря поляризации и в бустере. Это очень важный вопрос и для бустера-1,5 для комплекса ускорителей У-70 в ИФВЭ (Серпухов), так как его параметры близки к параметрам бустера для AGS. Очевидно, надо быть внимательным и к каналам транспортировки поляризованного пучка.

296

На RHIC в сеансе 2004 г. была достигнута светимость 4 1030 см-2 с–1 и поляризация 40±5 % при s = 200 ГэВ. К следующему сеансу физики

планируют модернизировать соленоид в лазерном источнике поляризованных протонов для увеличения поляризации с 80 % до 85 %. Также собираются ввести в эксплуатацию на AGS сверхпроводящую частичную змейку на 25 % спиновой мощности (поворот спина на 45°). Большое внимание обращают на возможность улучшения планарности орбиты, включая геодезию, мониторы положения пучка, электронику и т.д.

Физики ставят ближайшей целью достижение энергии s = 500 ГэВ,

светимости 1,5 1032 см-2 с–1 и поляризации, по крайней мере, 70 %. Это будет завершением основной цели проекта с тем, чтобы физики могли начать выполнение главной поляризационной программы – исследование спиновой структуры нуклонов.

Список литературы

Bargman V. et al. Phys. Rev. Lett. 2 (1953) 435.

Courant E.D., Lee S.Y. and Tepikian S. AIP No 145 (1986) 174 Frenkel J., Z. Physik 37 (1926) 243.

Froissart M. and Storе R. Nucl. Inst. Meth. 1 (1960) 297.

Huang H. In: Proc. of 16th Int. Spin Phys. Symp., Trieste, Italy (2004) 683. Khiari F.Z. et al. Phys. Rev. D39 (1989) 45.

Thomas L.H. Phil. Mag. 3 (1927) 1.

§41. Поляризованные электронные пучки

В этой главе обсуждаются способы получения поляризованных электронных пучков высоких энергий. Мы ограничимся только пучками, которые применяются в настоящее время на самых крупных действующих ускорителях. Речь пойдет о циклическом ускорителе-коллайдере HERA в Германии и о линейном ускорителе электронов SLC в SLAC, США. В этих двух ускорителях поляризованные пучки электронов формируются принципиально разными способами. Соответственно, мы дадим их описание раздельно.

§41.1. Поляризованный электронный пучок кольцевого коллайдера HERA

Коллайдер HERA длиной 6,336 км имеет два кольца. В одном кольце ускоряются протоны с 40 ГэВ до энергии 820 ГэВ, а в другом кольце – электроны с 14 до 27,5 ГэВ. Известно, что благодаря эффекту Соколова– Тернова [Соколов (1963)] электроны в кольцевых ускорителях самополя-

297

ризуются за счет синхротронного излучения. При идеально однородном и постоянном во времени магнитном поле поляризация определяется соотношением

		−	t
P = −P	1 − e		τСТ .		(1)
max

Согласно этой формуле спины электронов за время τСТ выстраивают-

ся противоположно направлению магнитного поля, и величина поляризации достигает максимума, равного в асимптотике ( t → ∞ )

P = 8		= 92,4 %.	(2)
max	5	3

Физическая причина самопроизвольной поляризации электронов состоит в следующем. При движении в кольцевом ускорителе электроны испускают фотоны. При этом вероятность испускания фотона зависит от взаимной ориентации спина электрона и внешнего ведущего магнитного поля. При излучении фотона спин электрона опрокидывается. При этом стабильным для электрона оказывается состояние, когда спины ориентируются против внешнего поля. У позитрона, из-за положительного знака заряда, спины предпочтительно ориентируются по полю. Предположим, что в кольце ускорителя при достижении поляризации P находились n = n+ + n– электронов, причем n+ электронов со спинами вдоль магнитного поля и n– – со спинами против магнитного поля. По определению поляризации P = (n+ – n–)/ (n+ + n–). Из этих двух соотношений следует

n+ = n(1 + P)/2, n– = n(1 – P)/2. (3)

Если пучок позитронов (электронов) с интенсивностью в кольце n достиг поляризации, скажем, 0,8, то это значит, что 90 % всех позитронов ориентированы спином по полю и только 10 % – против поля. Из-за разницы в знаках зарядов электроны будут поляризованы противоположно позитрону.

Однако в реальности трудно сохранить в ускорителях такую большую поляризацию. Наличие фокусирующих и дефокусирующих магнитных полей, а также всевозможные ошибки в юстировке магнитных элементов могут привести к деполяризующим эффектам. К тому же процесс Соколо- ва–Тернова достаточно медленный по сравнению с другими конкурирующими процессами в накопительных кольцах. Это время по “накачке” поляризации определяется следующим соотношением

298

ν = γGνL,

	τСТ =	8ρ3 m2 c2			.	(4)
		5	3he2	γ5

Здесь m, e, ћ, c обозначают массу и заряд электрона, постоянную Планка и скорость света; ρ – текущий радиус кривизны траектории час-

тицы в магнитах. Параметр τСТ (индекс СТ обозначает процесс Соколо- ва–Тернова) – скорость накопления поляризации по формуле (1).

Параметры Pmax и τСТ зависят от параметров ускорителя и варьируются в широких пределах. Так для HERA τСТ составляет 40 мин при

энергии 27 ГэВ, для LEP при 46 ГэВ она равна 300 мин, а для TRISTAN при энергии 29 ГэВ это время составляет всего 2 мин. Реально достижимые в ускорителях поляризации будут приведены чуть позже.

Движение спина электрона в магнитном поле описывается уравнением

FT–BMT [Frenkel (1926), Thomas (1927), Bargmann (1959)], как и в случае протона

	dS	=	e	Sr×[(1+ Gγ)Br + (1+ G)Br// ].	(5)
	dt		γm

Здесь G = (g – 2)/2 = 0,001159652 представляет аномальный магнитный момент электрона в единицах магнетона Бора, m и γ – масса и ло- ренц-фактор электрона; B и B|| – поперечная и продольная компоненты магнитного поля, t – время. Эти параметры определены в лабораторной системе, в то время как спин определяется в R-системе электрона. Запишем уравнение поворота импульса электрона под действием силы Лоренца:

dp		e r		r
	=		p × B .		(6)
dt		γm

В однородном и постоянном во времени магнитном поле спин прецессирует с частотой

(7)

где γ – лоренц-фактор электрона, а νL – ларморова частота вращения заряженной частицы (электрона в нашем случае) вокруг того же магнитного

поля. Для простоты изложения введем обозначение νs = γG и назовем его спиновой настройкой (как было сделано ранее в случае с протонами). Таким образом, частота вращения спина отличается от ларморовой частоты и при больших энергиях может намного превышать ее. Например, для энергии электрона 27,5 ГэВ спиновая настройка составляет около 60. Для

нецелых значений νs для электронов, движущихся по периодической

299

(замкнутой) орбите, уравнение (5) имеет устойчивое периодическое решение, обычно обозначаемое как n0 . В совершенных ускорителях с иде-

ально плоской орбитой решение n0 направлено по нормали к плоскости

орбиты. Так же направлена и равновесная поляризация PS . Если на трассе пучка имеются горизонтальные поля или нарушена юстировка магнитных элементов, тогда ориентация вектора n0 не вертикальна. Этот факт озна-

чает, что первоначальный подход Соколова–Тернова с допущениями об идеальных условиях движения электрона (однородное магнитное поле, отсутствие горизонтальных полей) напрямую к реальным ускорителям неприменим. Возможной модификацией этого метода является полуклассический метод, примененный в работах [Байер (1970), Дербенев (1973)].

Согласно этим работам равновесная величина вектора поляризации Peq определяется выражением

ρ

−3

r

r

P

=

8

b

• n0

.

(8)

eq

5

3

−3

2

r

r 2

ρ

1

−

(n

•v )

9

0

Здесь единичный вектор b определяет направление магнитного поля, а угловые скобки означают усреднение величин в скобках как по кольцу, так и по ансамблю частиц.

Как было сказано выше, поляризация электронов возникает из-за синхротронного излучения электронами фотонов. Этот процесс, в свою очередь, приводит к отдаче электрона. А изменение направления движения электрона по соотношению (6) приводит и к изменению направления спина. Как говорят в таких случаях, происходит диффузия спина. В результате формула (8) видоизменяется:

8

−3

r

r

r

∂nr

P

=

ρ

b

•(n0

− d )

,

r

= γ

. (9)

5 3

−3

2

11

d

∂γ

eq

r

r

2

r 2

ρ

1

−

(n

•v )

+

d

9

0

10

Вектор n представляет обобщение вектора n0 на случай учета разных возмущающих факторов. Например, отличие энергии частицы от номи-

нального значения, что нашло отражение в виде вектора d , вошедшего в выражение для поляризации как в линейной форме (числитель), так и в квадратичной форме (знаменатель). Наличие вертикальных бетатронных

300