3.2.2.Мгновенная поставка, возникновение дефицита допускается.

График измене­ния текущего объема запа­са показан на рис. 3.6,гдеy₁ –максимальный уровень запаса,Т₁ –период пополнения.

Начальный запас в каждом пе­риоде будет исчерпан к моменту времени t₁,то есть .

На интервале [0,t]y₀(t)>0 и имеют место издержки хранения

На интервале [t₁, T₁] y₀(t)<0 (имеет место дефицит), и склад выплачивает штраф в размере

Знак «минус» перед интегралом учитывает, что дефицит равен объему запаса с противоположным знаком.

Функция затрат в единицу времени

(3.7)

Для определения оптимальных параметров стратегии управления запасами приравниваем производные функции (3.7)поу₁иT₁ нулю, то есть

Из первого уравнения находим

(3.8)

и, подставляя его во второе уравнение, получим

(5.9)

Подставляя выражение (3.9)в уравнение (3.8),находим

(3.10)

Из формулы (3.7)с учетом выражений (3.9)и (3.10)находим минимальные затраты в единицу времени на пополнение, хранение запасов и выплату штрафов:

(3.11)

Из выражений (3.9) – (3.11)и формул Уилсона (3.5)и (3.6) следует, что задалживание спроса (то есть ликвидация недостач пу­тем накопления требований до очередной поставки и выплаты штрафов) позволяет враз уменьшить максимальный уровень запаса, минимальное значение функции затрат и частоту заказов (увеличить период пополнения) по сравнению со случаем отсутствия дефицита. Еслиc₂>>c₁, тои формулы(3.9) – (3.11)совпадают с формулами Уилсона.

Объем заказа при наличии дефицита

(3.12)

превышает объем заказа при отсутствии дефицита враз.

При фиксированной задержке на время заказ подается в мо­ментt₃снижения объема запаса до уровня

Учитывая выражения (5.10)и (5.12),находим

Если  = 0, то в момент подачи заказа на складе имеет место максимальный дефицит объемом.

3.2.3. Поставка с постоянной интенсивностью

Характерна для завод­ского склада, когда продукция производится партиями и с момента запуска ее в производство поступает на склад с постоянной ин­тенсивностью  > (если  < , то система не работает). Запуск производства вызывает фиксированные затратыc₀на переналадку оборудования, которые не зависят от объема партии.

График изменения текущего объема запаса изображен на рис. 3.7.

Период времени между поставками содержит четыре ин­тервала:

[0, t₁] –интервал накопления запасов с интенсивностью( –), максимальный уровень запасау₂будет накоплен за времяt₁, то есть

;

[t₁,t₂] –интервал расходования запаса с интенсивностью,весь запас будет израсходован к моменту времениt₂, то есть

(3.13)

[t₂,t₃] –интервал накопления дефицита, за время (t₃–t₃)будет накоплен максимальный дефицит

(3.14)

[tз,Т₂] —интервал ликвидации дефицита с интенсивностью( –), дефицит будет ликвидирован за времяT₂ –t₃, то есть

Подставляя в это уравнение t₃из выражения (3.14)иt₂из фор­мулы (3.13),находим

Затраты на хранение запасов в течение периода имеют место на интервале [0, t₂] и пропорциональны площади треугольника 0AВ,то есть

На интервале [t₂,Т₂]склад выплачивает штраф, размер кото­рого пропорционален площади треугольникаBCD, то есть

Функция затрат в единицу времени

Приравнивая производные этой функции по у₂иТ₂.нулю и ре­шая полученную систему уравнений, находим

(3.15)

Если возникновение дефицита не допускается (рис. 5.8),то

и параметры Стратегии управления за­пасами

(3.16)

Сравнивая выражения (3.15)с (3.9) – (3.11)и (3.16)с(3.5) – (3.6),можно установить, что при поставке с постоянной интенсивностью максимальный объем запаса, минимальное значение функции затрат и частота заказов уменьшаются враз. Если , тои из формул (3.15)получаем выражения (3.9) – (3.11),а из (3.16) – (3.5)и (3.6).

Рассмотренные модели управления запасами могут использо­ваться для определения ориентировочных значений параметров стратегии управления запасами при вероятностном спросе.