2.3.2. Математическая модель однофазной смо и показатели ее эффективности.

1. Математическая модель

Состояние однофазной СМО с абсолютно надежными обслужи­вающими приборами в любой момент времени полностью опреде­ляется числом заявок k,находящихся в ней. Действительно, еслиk  п,тоkзаявок находятся на обслуживании, очереди нет; kприборов заняты обслуживанием заявок, аn –kприборов свободны. Еслиk > n,то все приборы заняты (nзаявок обслуживается), аk–пзаявок находится в очереди.

Величина kможет принимать значенияk=0, 1, 2, . . .,N,гдеN =n+m, причем для СМО с отказамиm=0, а для систем с неограниченной очередьют и N .

Увеличение числа заявок в системе (переход из состояния S_k в состояниеS_k+1) происходит под воздействием потока заявок ин­тенсивности, которая не зависит от k,то есть

_k,k+1 =. (2.9)

Уменьшение числа заявок в системе (переход из состояния S_kв состояниеS_k–1) происходит в общем случае под воздействием потока обслуживании интенсивностии потока уходов заявок из очереди (системы) интенсивностиv, причем_k,k+1= f(k, n, , v),а вид этой функции определяется типом СМО.

Из сказанного следует, что однофазной СМО соответствует граф состояний (рис. 2.4),вершины которого (S₀,S₁,S₂, . . .)образуют последовательную цепочку и любые две соседние вершины соединены двумя встречно направленными дугами, а процесс ее функционирования представляет собой так называемый процесс «гибели и размножения» (уменьшение и увеличение числа заявок).

Определим предельные вероятности состоянийР_k,для СМО с конечным числом состояний. Для СМОP_k, –это вероятность того, что в произвольный момент времени в системе находится ровноk заявок.

В СМО с конечным числом состояний всегда имеет место ста­ционарный режим, так как между любыми двумя вершинами гра­фа существует маршрут.

Уравнения Колмогорова имеют вид:

– состояние S₀

₁₀P₁=₀₁P₀ (2.10)

– состояние S₁

₀₁P₀+₂₁P₂=₁₀P₁+₁₂P₁;

учитывая выражение (2.10),получим

₂₁P₂=₁₂P₁ (2.11)

– состояние S₂

₁₂P₁+₃₂P₃=₂₁P₂+₂₃P₂;

учитывая формулу (2.11),имеем

₃₂P₃=₂₃P₂ (2.12)

— состояние S_k-1(по аналогии)

_k,k-1P_k=_k-1,kP_k-1(2.13)

– состояние S_N-1

_N-1,NP_N-1=_N,N-1P_N . (2.14)

Для состояния S_Nнепосредственно по графу находим уравнение

_N-1,NP_N-1=_N,N-1P_N ,

которое совпадает с уравнением (2.14).

Поэтому последнее уравнение исключаем из /рассмотрения, а вместо него используем условие нормировки

. (2.15)

Для решения системы уравнений (2.10) – (2.15)выразим все вероятностичерезР₀и получим

(2.16)

Подставляя значения Рд в формулу (2.15),получим

(2.17)

Обратим внимание на структуру формул (2.16)и (2.17).В фор­муле (2.16)имеем произведение отношений интенсивностей пере­хода слева направо к интенсивностям перехода справа налево для всех переходов между начальной и рассматриваемой вершинами графа состояний. В формуле(2.17)имеем сумму этих произведе­ний, вычисленных для всех вершин графа .

Подставляя в формулы (2.16)и (2.17)значения интенсивностей переходов_i,i-1и_i-1,i для СМО любого типа, можно рассчитать вероятности ее состояний и определить показатели, эффективности.

2. Показатели эффективности.

Эффективность СМО характеризует ее приспособленность к выполнению задач по обслуживанию заявок. Показатель эффектив­ности – это количественная мера эффективности, определяющая степень соответствия результатов функционирования СМО целям (задачам), стоящим перед системой.

Рассмотрим наиболее часто используемые показатели эффек­тивности СМО.

1. Вероятность отказа в обслуживании Р_отк – вероятность того, что поступившая в систему заявка не будет обслужена. Это очень важный показатель для СМО.

Абсолютная пропускная способность СМО Q –это среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени. Для оценки потенциальных возможностей СМО по обслуживанию зая­вок используется номинальная пропускная способность системы

.

3.Относительная пропускная способностьq – это средняя доля заявок, обслуживаемых системой:

. (2.18)

Величину qможно определить и черезР_отк. Действительно,Р_отк– средняя доля времени, в течение которого заявки получают отказ, а следовательно, и средняя доля заявок, не принимаемых системой на обслуживание, то есть.

. (2.19)

4. Среднее число занятых приборов

, (2.20)

где – параметр обслуживания (среднее необходимое число обслуживающих приборов).

Производными от данного показателя являются коэффициент занятости (загрузки) приборов K_зи коэффициент их простояK_п:

, (2.21)

где – номинальный коэффициент загрузки приборов.

5. Средняя длина очереди L – математическое ожидание числа заявок, ожидающих обслуживания. Производным от показателейN_зи Lявляется среднее число заявок, находящихся в системе,

Y=N_з+L. (2.22)

6. Среднее время ожидания обслуживания – математиче­ское ожидание времени пребывания заявки в очереди.

7.Среднее время пребывания заявки в системе

, (2.23)

где – среднее время от момента начала обслуживания до момента окончания обслуживания ().

8.Экономическая эффективность СМО может быть оценена средней прибылью, получаемой в единицу времени при функцио­нировании системы :

; (2.24)

где c₀ –прибыль, получаемая при обслуживании заявки;c – функция стоимости потерь;c_з – стоимость эксплуатации прибора в единицу времени;с_п —стоимость единицы времени простоя при­бора;с_ож –стоимость потерь, связанных с простаиванием заявка в очереди в единицу времени;с_y – стоимость убытков, связанных с уходом заявки из системы.

Выбор показателя для оценки эффективности конкретной СМО определяется как особенностями системы (ее типом) и ее назна­чением, так и задачами проводимого исследования.

Определим показатели эффективности для СМО рассматривае­мых типов, при этом сначала рассмотрим систему с конечной оче­редью, а затем полученные результаты используем при анализе других систем.