4.3.3.Критерий Гермейера

Отправляясь от подхода Гермейера к отысканию эффективных и пригодных к компромиссу решений в области полиоптимизации – то есть всех решений, которые не считаются заведомо худшими, чем другие, –можно предложить еще один критерий [4],обладающий в некотором отношении определенной эластичностью. Он с самого начала ориентирован на величины потерь, то есть на отрицательные значения всехе_ij.

В качестве оценочной функции выступает

, (4.23)

. (4.24)

Сам критерий гласит, таким образом,

. (4.25)

Поскольку в хозяйственных задачах преимущественно имеют дело с ценами и затратами, условие e_ij<0 обычно выполняется. В случае же, когда среди величинe_ijвстречаются и положительные значения, можно перейти к строго отрицательным значениям с помощью преобразованияе_ij–a при подходящим образом подобраннома>0. (Следует, однако, иметь в виду, что оптимальный вариант решения зависит ота.)

Правило выбора согласно критерию Гермейера (G) формулируется теперь следующим образом:

Матрица решений ||е_ij|| дополняется еще одним столбцом, содержащим в каждой строке наименьшее произведение имеющегося в ней результата на вероятность соответствующего состоянияF_j.Выбираются те вариантыЕ_i0,в строках которых находится наибольшее значениеe_irэтого столбца.

В известном отношении G-критерийобобщает ММ-критерий. В случае равномерного распределения они становятся идентичными.

Условия его применимости таковы:

– вероятности появления состояний F_jизвестны;

– с появлением тех или иных состояний, отдельно или в комплексе, необходимо считаться;

– допускается некоторый риск;

– решение может реализоваться один или много раз.

Если функция распределения известна не очень надежно, а числа реализации малы, то, следуя G-критерию,получают, вообще говоря, неоправданно большой риск. Таким образом, здесь остается некоторая свобода для субъективных действий.

4.3.4.Bl(mm)-критерий

Стремление получить критерии, которые бы лучше приспосабливались к имеющейся ситуации, чем все до сих пор рассмотренные, привело к построению так называемых составных критериев. В качестве примера критериев, сформированных с этой целью, приведем критерий IVиз работы [4].

Исходным для построенного был BL-критерий(см. (4.11)и(4.12)). Вследствие того, что распределение устанавливается эмпирически и потому известно неточно, происходит, с одной стороны, ослабление критерия, а с другой, напротив, с помощью заданных границ для риска и посредством ММ-критерия (см. (4.8)и (4.9))обеспечивается соответствующая свобода действий. Точные формулировки состоят в следующем.

Зафиксируем прежде всего задаваемое ММ-критерием опорное значение:

,

где i₀иj₀ – оптимизирующие индексы для рассматриваемых вариантов решений и, соответственно, состояний.

Посредством некоторого заданного или выбираемого уровня допустимого риска определим некоторое множество согласия, являющееся подмножеством множества индексов {1, …,т}:

. (4.26)

Величина , для всех характеризует наибольшие возможные потери в сравнении со значением задаваемым ММ-критерием. С другой стороны, в результате такого снижения открываются и возможности для увеличения выигрыша по сравнению с тем, который обеспечивается ММ-критерием. Поэтому мы рассматриваем также (опять-таки как подмножество множества {1,...,m}) некоторое выигрышное множество

(4.27)

Тогда в множество-пересечение мы соберем только такие варианты решений, для 'которых, с одной стороны, в определенных состояниях могут иметь место потери по сравнению с состоянием, задаваемым ММ-критерием, но зато в других состояниях имеется по меньшей мере такой же прирост выигрыша. Теперь оптимальными в смыслеBL(ММ)-критерия будут решения из множества

. (4.28)

Правило выбора для этого критерия формулируется следующим образом.

Матрица решений ||e_ij|| дополняется еще тремя столбцами, В первом из них записываются математические ожидания каждой из строк, во втором – разности между опорным значением и наименьшим значением соответствующей строки. В третьем столбце помещаются разности между наибольшим значением каждой строки и наибольшим значением той строки, в которой находится значение .Выбираются те варианты строки которых (при соблюдении приводимых ниже соотношений между элементами второго и третьего столбцов) дают наибольшее математическое ожидание. А именно, соответствующее значение из второго столбца должно быть меньше или равно некоторому заранее заданному уровню риска . Значение же из третьего столбца должно быть больше значения из второго столбца.

Применение этого критерия обусловлено следующими признаками ситуации, в которой принимается решение:

– вероятности появления состояний F_jнеизвестны, однако имеется некоторая априорная информация в пользу какого-либо определенного распределения;

– необходимо считаться с появлениями различных состояний как по отдельности, так и в комплексе;

– допускается ограниченный риск;

– принятое решение реализуется один раз или многократно.

Таким образом, спектр применимости нашей теории распространяется далеко за пределы предыдущих критериев. Особо следует подчеркнуть, что действие новых критериев остается вполне обозримым, хотя функция распределения может играть лишь подчиненную роль.

BL(ММ)-критерий хорошо приспособлен для построения практических решений прежде всего в области техники и может считаться достаточно надежным. Однако задание границы риска и, соответственно, оценок риска не учитывает ни число применений решения, ни иную подобную информацию. Влияние субъективного фактора хотя и ослаблено, но не исключено полностью.

Условие существенно в тех случаях, когда решение реализуется только один или малое число раз. В этих случаях недостаточно ориентироваться на риск, связанный лишь с невыгодными внешними состояниями и средними значениями. Из-за этого, правда, можно понести некоторые потери в удачных внешних состояниях. При большом числе реализации это условие перестает быть таким уж важным. Оно даже допускает разумные альтернативы. В вышеизложенном не видно, однако, четких количественных указаний, в каких случаях это условие следовало бы опустить.

В заключение, не вдаваясь в детали, опишем некоторую комбинацию критерия Байеса–Лапласа с критерием Сэвиджа, называемую нами по аналогии с изложенным BL(S)-критерием; для этого сравним соотношения (4.11), (4.12)и (4.13)с (4.14) – (4.17).За опорную величину примем

,

где .Через вновь определим допустимую границу риска. При этом уравнения (4.26)и (4.27)приобретают вид

где – допустимая граница риска.

Для Е₀имеем:

.