2.3.5. Чистая смо с ожиданием.

Чистая СМО с ожиданием характеризуется тем, что любая за­явка, поступившая в систему, будет обязательно обслужена (Р_отк=0).Вероятности состояний для этой системы можно полу­чить из уравнений (2.25) – (2.28)в результате предельного пере­хода прит.

Так как сумма в формуле (2.25)сходится только при<1, то в рассматриваемой системе стационарный режим имеет место только при<1; если1,то очередь неограниченно воз­растает. Так как при<1, то из выражения (2.26)нахо­дим

, (2.38)

Вероятности состояний системы Р_k,рассчитываются по форму­лам (2.27)и (2.28),гдеР₀вычисляется по формуле (2.38).

Показатели эффективности чистой СМО с ожиданием:

– относительная и абсолютная пропускная способность систе­мы из формулы (3.19)приР_отк=0

q=1;Q=;(2.39)

– среднее число занятых каналов

; (2.40)

– вероятность того, что заявка, поступившая в систему, будет ожидать обслуживания, из формул (2.30)и (2.38)

; (2.41)

– средняя длина очереди, как следует из формулы (3.32)прит,

; (2.42)

– среднее время ожидания

; (2.43)

– вероятность пребывания заявки в очереди более tединиц времени

. (2.44)

Методику вычисления рассмотренных показателей эффектив­ности СМО поясним на примере.

На пункте технического обслуживания (ПТО) оборудованы две линии по обслуживанию техники. Время обслуживания одной еди­ницы техники распределено по показательному закону с парамет­ром Число единиц техники, одновременно находящихся на ПТО, не должно превышать четырех единиц. Поток техники на обслуживание простейший поток заявок интенсивности=0,5ед./ч. Определить показатели эффективности работы ПТО.

Решение. Анализ задачи показывает, что ПТО можно рас­сматривать как СМО с конечной очередью, параметры которойn=2,m=2,=0,5 ед./ч, =0:5ед./ч,= 1,=0,5.

Результаты вычислений для различных значений пит(раз­личных вариантов организации ПТО) приведены в табл. 2.1.

Расчет показателей СМО целесообразно производить в после­довательности, указанной в таблице. Если =1 (дляп=1,m=3), тоР₀и Lрассчитывают непосредственно по формулам (2.25)и(2.31).

Из полученных данных видно, что уменьшение ппри постоян­ном значениип+т=4 позволяет значительно (в 1,7раза) повы­сить коэффициент загрузки линийK_зОднако эффективность об­служивания техники значительно снизилась: прип=1 каждая пя­тая машина (Р_отк=0,2) уходит с ПТО необслуженной, а приn=2 только одна из 25машин (Р_отк=0,044) получает отказ; среднее время пребывания машины на ПТО приn=1 , а прип=2 .

Таблица 2.1

Показатели	п=2, т= 2	п=1, т= 3	п=2, т=0	п=2,т
Р0	0,348	0,2	0,4	0,333
Pож	0,304	0,8	–	0,333
Ротк	0,044	0.2	0,2	0
q = 1–Ротк	0,956	0,8	0,8	1,0
Q (ед./ч)	0,478	0,4	0,4	0,5
Nз(ед.)	0,956	0,8	0,8	1,0
Кз (%)	47,8	80	40	50
L(ед.)	0,174	1,2	–	0,333
(ч)	0.348	2,4	–	0.666

Исключение очереди на ПТО (п=2,т=0)приводит к значи­тельному возрастанию вероятности отказа (с 0,044до 0,2).Отсут­ствие ограничения на длину очереди (п=2, m)несколько по­вышает загрузку линий, однако приводит к увеличению времени ожидания почти в два раза (с 0,348до 0,666ч). Для этого случая целесообразно определить вероятность того, что число машин, одновременно находящихся на ПТО, превышает 4:

,

то есть пятую часть времени на ПТО находится более четырех ма­шин одновременно.

Приведенный пример наглядно показывает важность сравне­ния различных вариантов организации СМО и учета при синтезе СМО экономических показателей.