2. 2.2. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний

Введем обозначения:

P_k(t) – вероятность того, что система в момент времениt находится в состоянииS_k(k=0, 1, 2, …,N);

P_ik(t) – условная вероятность того, что система, будучи в моментtв состоянииS_i, за время перейдет в состояниеS_k(ki).

Так как P_ik(t) – вероятность появления хотя бы одного события за времяt, то

,

где _ik– интенсивность потока событий, под воздействием которого система переходит из состоянияS_iв состояниеS_k.

Разлагая показательную функцию в ряд Тейлора, имеем:

. (2.5)

Пусть в момент времени tсистема находится в одном из возможных состояний. Определим вероятностьP_k(t+) того, что в момент t+tона будет находиться в состоянииS_k(k=0,1,…,N).

Предположим, что за время tсистема может только один раз изменить свое состояние. Это означает, что система может попасть в состояниеS_kдвумя способами.

1. В момент tсистема находилась в одном из состоянийS_i(ik), которое соединено дугой (i,k) с состояниемS_k , а за времяtперешла в состояниеS_k . Вероятность этого события, где– множество дуг, заходящих в вершинуS_k . Например, для состоянияS₁(рис. 2.1),P₁=P₀(t)P₀₁(t)+P₂(t)P₂₁(t) .

2. В момент tсистема находилась в состоянииS_kи за времяtне вышла из него ни по одной из дуг, исходящих из вершиныS_k.. Вероятность этого события, где– множество дуг, исходящих из вершины S_k. Для состоянияS₁(рис. 2.1),P₂=P₁(t)[1–P₁₀(t)–P₁₂(t)] , где [P₁₀(t)+P₁₂(t)] – вероятность того, что система, будучи в моментtв состоянииS₁, за времяtперейдет из него в состояниеS₀илиS₂.

Так как оба способа несовместны, то

(2.6)

Перенесем P_k(t) в левую часть и разделим все члены уравнения (2.6) наt, получим

.

В результате предельного перехода при t0 с учетом выражения (2.5) получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова

(2.7)

Уравнение (2.7) в отличие от уравнения (2.6) является точным, так как члены, соответствующие двум и более переходам системы за время tи опущенные в выражении (2.6), в результате предельного перехода обращаются в нуль. Действительно, пусть за времяtсистема может перейти из состоянияS_iв состояние S_kчерез состояниеS_j. Условная вероятность этого события с учетом формулы (2.5)

При записи правой части уравнения (2.7) целесообразно руководствоваться мнемоническим правилом : «то, что втекает, прибавляется, а что вытекает – вычитается».

Для рассматриваемого примера (рис 2.1) уравнения Колмогорова имеют вид (читателю рекомендуется записать их самостоятельно)

Интегрируя систему линейных дифференциальных уравнений (2.7) с учетом условия нормировки (2.1) при заданных начальных условиях (например, P_k(0)=1, а для всехi k P_i(0)=0 – в начальный момент система находится в состоянииS_k), можно определить распределение для вероятностей состояний системы в любой момент времени.

На практике часто наибольший интерес представляет поведение системы в установившемся режиме при t. Здесь сразу же возникает вопрос, как поведут себя вероятностиP_k(t) приt, стремятся ли они к каким либо пределам, существует ли в системе некоторый установившийся (стационарный) режим.

Предельные вероятности существуют и не зависят от начального состояния системы, если граф ее состояний конечен и существует маршрут между любой парой его вершин, то есть система может перейти из каждого состояния в любое другое за конечное число шагов. Такие системы называют эргодическими.

Предельная вероятность P_k– это средняя доля времени, в течение которого система находится в состоянииS_k. Если, например,P_k=0,3, то это означает, что в состоянииS_kсистема времени ее функционирования.

Для вычисления предельных вероятностей в уравнениях (2.7) производные приравнивают нулю и получают систему линейных алгебраических уравнений

(2.8)

Так как система (2.8) однородна, то при вычислении вероятностей P_kодно из уравнений (2.8) заменяют нормировочным условием

.

При аналитическом исследовании удобно использовать следующий способ решения системы (2.8): сначала все предельные вероятности выражают через какую-либо одну, а затем их подставляют в условие нормировки.