0. Вероятностные модели систем

   1. 2.1. Ориентированный граф состояния системы. Марковские процессы.

Вероятностные (стохастические) модели используются для исследования таких систем, процесс функционирования которых определяется случайными факторами. Учет случайных факторов является обязательным при исследовании процессов применения, эксплуатации, ремонта и обеспечения технических комплексов, при оценке их эффективности, разработке автоматизированных систем управления, обосновании технических требований к системам и так далее.

Мощным средством разработки и исследования вероятностных моделей является аппарат теории марковских случайных процессов в развитие которого внесли большой вклад русские и советсткие ученые А.А.Марков, А.Я.Хинчин, А.Н.Колмогоров, Б.В.Гнеденко, И.Н.Коваленко, Н.П.Бусленко, Ю.В.Прохоров и многие другие.

В данной главе рассматриваются дискретные системы с непрерывным временем. Возможные состояния такой системы S₀, S₁, S₂, … можно перечислить (перенумеровать), а переход ее из одного состояния в другое возможен в любой, наперед неизвестный, случайный момент времени, причем этот переход осуществляется скачком (мгновенно). Число состояний системы может быть как конечным, так и бесконечным (но счетным).

Множество S={S₀,S₁,S₂, …} возможных состояний системы и множество возможных ее переходов из одного состояния в другое удобно представлять в виде ориентированнного графа (рис 2.1.), вершинам которого соответствуют состояния системы, а дугам – возможные переходы, причем направление дуги указывает, из какого состояния и в какое возможен переход системы. Процесс функционирования системы в данном случае можно представить как случайное перемещение (блуждание) точки, изображающей систему, по графу состояний. Характерной особенностью стохастических систем является то, что для любого момента времениtнельзя однозначно указать, в каком из состояний находится система, а можно определить только распределение вероятностей для состояний, то есть определить значения вероятностейP_k(t) того, что в момент времени система находится в состоянии S_k..

Так как в любой момент времени tсистема обязательно находится в одном из возможных ее состояний, то приtлюбом справедливо нормировочное условие:

, (2.1)

где N+1 – число возможных состояний системы.

Совокупность функциональных соотношений и логических условий, позволяющих вычислить значение вероятностейP_k(t) для k=0,N, и представляет собой вероятностную модель системы.

Из изложенного следует, что при разработке модели системы необходимо прежде всего определить множество Sее возможных состояний и дать описание законов, в соответствии с которыми она переходит из одного состояния в другое.

Множество Sможно определить, во-первых, как множество допустимых комбинаций возможных состояний элементов системы. Важным при этом является анализ и учет взаимосвязей между элементами системы.

Во-вторых, каждое состояние системы можно охарактеризовать численными значениями одного или нескольких ее параметров, т.е. множество возможных комбинаций численных значений параметров системы. Этот подход более целесообразен, так как набор параметров, характеризующих состояние системы, определяют не только исходя из природы системы, но и с учетом цели проводимого исследования.

Оба указанных подхода не исключают, а наоборот, дополняют друг друга, так как на основе анализа возможных состояний элементов системы можно определить ее параметры.

Чтобы выявить и описать закономерности перехода системы из одного состояния в другое, каждый переход удобно рассматривать как результат воздействия на систему некоторого случайного потока событий.

Поток – это последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени (например, поток отказов технических систем, поток сообщений, поступающих в АСУ, и тому подобные).

Наиболее важными свойствами потоков являются : стационарность, ординарность и отсутствие последействия.

Стационарностьпотока означает, что его вероятностные характеристики не зависят от времени. Важнейшей характеристикой потока является его интенсивность – среднее число событий в единице времени. Для стационарного потока=const, а для нестационарного=(t) – функция времени.

Ординарностьпотока означает практическую невозможность появления двух и более событий в один и тот же момент времени.

Отсутствие последействияозначает, что события появляются в потоке независимо друг от друга, т.е. вероятность появления определенного числа событий за некоторый произвольно выбранный промежуток времени не зависит от того, сколько событий произошло раньше (не зависит от предыстории изучаемого потока).

Поток событий, обладающий всеми тремя свойствами, называется простейшим или стационарным пуассоновским потоком. Число событий пуассоновского потока, попадающих на любой участок, распределено по закону Пуассона, то есть вероятность попадания ровно k событий на участок (t₀,t₀+)

(2.2)

где а– среднее число событий, приходящихся на участок. Для простейшего потокаа=, а для нестационарного пуассоновского

.

Определим закон распределения F(t) интервала времени между событиями. Так какF(t) – вероятность того, что на участок длительности tпопадает хотя бы одно событие, то

F(t)= 1–P(0)=1–e^-t (2.3)

f(t) = F’(t)= e^-t, t 0.

Таким образом, закон распределения интервалов времени между событиями простейшего потока является экспоненциальным (показательным).

Математическое ожидание M_t(средняя длительность интервала между событиями), дисперсияD_tи среднее квадратическое отклонение_tслучайной величины, распределенной по показательному закону, определяются соотношениями

. (2.4)

Экспоненциальное распределение обладает замечательным свойством «не помнить о прошлом»: если рассматриваемый промежуток времен уже «длился» некоторое время, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части этого промежутка. Это означает, что вероятность появления события в течение некоторого интервала времени не зависит от того, сколько времени прошло после появления предыдущего события, а среднее время ожидания этого события также не зависит от того, с какого момента времени мы его ожидаем.

Простейшие потоки событий довольно часто встречаются на практике, так как суммарный поток, образующийся при взаимном наложении достаточно большого числа стационарных и ординарных потоков с последействием (что часто имеет место на практике), является простейшим.

Из сказанного следует: если переход системы из состояния S_iв состояниеS_jпроисходит под воздействиемLпростейших потоков интенсивности, то

.

Таким образом, каждой дуге (i,j) графа состояний можно поставить в соответствие интенсивность суммарного потока событий_ij. Такой граф называется размеченным, и ему соответствует квадратная матрица интенсивностей переходовпорядка (N+1,N+1), причем. Для размеченного графа состояний (рис 2.1) имеем

.

Можно доказать следующее утверждение : если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, пуассоновские, то процесс функционирования системы представляет собой марковский процесс с непрерывным временем. Отличительной особенностью марковского процесса является то, что вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от ее состояния в настоящем и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние. Понятие «марковский процесс» ввел советский математик А.Н.Колмогоров в честь русского ученого А.А.Маркова (1856–1922), внесшего большой вклад в теорию случайных процессов.