заочникам / линейная алгебра / mathematics_part_1_hamov

Математика

Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие

Санкт-Петербург

2004

ББК 22.1 я 73 М 33

Печатается по рекомендации кафедры прикладной математики и решению президиума редакцион- но-издательского совета РГПУ им. А. И. Герцена

Рецензенты: д-р пед. наук, проф. Р. Р. Фокин; канд. техн. наук, доц. Ю. К. Кузнецов

Авторы: Е. Б. Александрова, А. А. Атоян, И. Е. Водзинская, Е. Г. Копосова, Р. А. Мыркина, Т. А. Семенова, Г. Г. Хамов, М. Ю. Чу-

рилова

М 33 Математика. Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие / Под ред. Г. Г. Хамова. — СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2004. — 149 с.

ISBN 5—8064—0692—Х	© Коллектив авторов, 2004
	© Издательство РГПУ
	им. А. И. Герцена, 2004

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Пособие предназначено для студентов факультетов физики, химии, биологии, географии, технологии и предпринимательства.

Впервой части содержится материал, относящийся к разделу линейной алгебры и аналитической геометрии. В ней изложены: элементы теории матриц и определителей; методы решения систем линейных уравнений; основы аналитической геометрии на плоскости, векторной алгебры, аналитической геометрии в пространстве на базе векторной алгебры; метод приведения уравнения кривой второго порядка

кканоническому виду на основе линейной алгебры. Материал распределен на пять глав. В каждой главе приводятся: теоретический материал, в котором доказательства теорем и утверждений приведены выборочно; основные формулы, используемые для решения задач; подробно разобранные примеры; наборы задач для самостоятельной работы. В пособии имеются приложения с комплектами задач для проведения проверочных, контрольных работ или для выдачи индивидуальных заданий.

При самостоятельной работе с данным пособием перед тем, как приступить к решению задач, рекомендуется внимательно прочитать теоретические сведения параграфа и рассмотреть разобранные там примеры.

Нумерация определений, теорем, формул и примеров проведена по главам, при этом в приведенном номере первая цифра означает номер главы, а последующие цифры — порядковый номер в главе. Например, запись «Определение 1.3» означает, что определение находится в первой главе, а 3 — его порядковый номер в главе.

Вучебном пособии не приводятся доказательства некоторых теоретических положений. При необходимости ознакомления с ними рекомендуем обратиться к литературе:

Баврин И И. Курс высшей математики. — М., 1992. Шипачев В.С. Высшая математика. — М., 1996.

Мантуров О.В. Н.М. Матвеев. Курс высшей математики. — М., 1986.

3

Глава I. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Матрицы. Действия над матрицами

Определение 1.1. Матрицей размера m ×n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов

a	a	... a
11	12	1n
a21	a22 ... a2n
			.
....................
am1	am2 ... amn

Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы матрицы будем обозначать буквами с двумя индексами. Например, aij . В этом обозначении первый индекс — i ука-

зывает номер строки, а второй — j указывает номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Для матрицы будем использовать обозначение

A = (aij ) (i =1, 2,...,m; j =1, 2,..., n).

Если m = n , то есть число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной матрицей порядка n . Это матрица вида

a	a	... a
11	12	1n
a21	a22	... a2n
A =			.
...................
an1	an2 ... ann

Диагональ квадратной матрицы, идущая от левого верхнего к правому нижнему углу, то есть составленная из элементов a11 , a22 ,....ann , называется главной диагональю матрицы.

4

Матрица, не являющаяся квадратной, называется прямоугольной.

Единичной матрицей порядка n называется квадратная матрица порядка n , у которой все элементы главной диагонали равны 1, а все элементы вне этой диагонали равны нулю. Для обозначения единичной матрицы используется буква E .

Пример 1.1.

	1	4	6
	8	3	9		— квадратная матрица третьего порядка.
A =
	− 2	5
			0
Здесь a11		=1, a12			= 4, a13 = 6, a21 = 8, a22 = 3, a23 = 9, a31 = −2, a32 = 5, a33 = 0 .
Пример 1.2.
	− 2		8
		3	4		— прямоугольная матрица размера 3х2.
B =
		1	7

Пример 1.3.

E = 1 0 — единичная матрица второго порядка;

0 1

1		0	0
	0	1	0		— единичная матрица третьего порядка.
E =
	0
		0 1
Две матрицы A = (aij ) и B = (bij ) размера m ×n считаются равны-
ми, если aij	= bij		при всех i и j , то есть равны их элементы, стоящие

на одинаковых местах.

Матрицы можно складывать, вычитать, умножать на число и друг на друга.

Определение 1.2. Суммой двух матриц A = (aij ) и B = (bij ) размера m ×n называется матрица C = (cij ) размера m ×n , такая что

cij = aij +bij (i =1, 2,...,m; j =1, 2,..., n).

Сумма матриц A и B обозначается символом A + B .

5

				1 − 2				5			0 −3 0
Пример 1.4. Даны матрицы: A =					0	2		−1	и B = 2				7	4 .
					4	3							2
Найти A + B .								6			1			1
Решение. По определению 1.2. получаем:
1		+ 0	(−2) + (−3)	5 + 0		1			−5		5
	0	+ 2	2 + 7					2	9
A + B =				(−1) + 4 =							3
	4	+1	3 + 2	6 +1				5	5		.
											7
Пример 1.5. Найти сумму матриц A =							0 1 9				иB =		−1 2 3
													1 3 −1		.
Решение.							− 2 3 4
0 + (−1)			1 + 2	9 +3		−1			3		12
			3 +3	4 + (−1)					6
A + B = (−2) +1						=	−1				3
											.

Определение 1.3. Разностью матриц A = (aij					) и B = (bij ) размера
m ×n называется матрица C = (cij		) размера m ×n ,			элементы которой
определяются следующим равенством
cij = aij	−bij (i =1, 2,...,m;		j =1, 2,..., n).
Используется обозначение: C = A − B .
Пример 1.6. Даны матрицы		1	2	3	2	1	1
		A =		и B =			.
Найти разность A − B .		0	− 4 8		3	− 2 3
Решение. Согласно определению 1.3. имеем:
1 − 2	2 −1	3 −1		−1	1 2
A − B =	− 4 −(−2) 8 −3			=	.
0 −3				−3 − 2 5
Определение 1.4. Произведением				матрицы A = (aij )			размера
m ×n на действительное число α называется матрица C = (cij							) размера

m ×n , элементы которой определяются следующим равенством

6

cij =α aij (i =1, 2,...,m;		j =1, 2,..., n).
Используется обозначение: C =α A .
1		2		0
Пример 1.7. Дана матрица A =		1		.
3				−1
Найти произведение 2A .
Решение. Пользуясь определением 1.4, получаем
2 1 2 2 2 0		=		2 4 0
2A =					.
				6 2 − 2
2 3 2 1 2 (−1)

Определение 1.5.		Произведением	матрицы	A = (aij ) размера
m ×k на матрицу	B = (bij )	размера k ×n называется матрица C = (cij )
размера m ×n , у	которой элемент cij		(i =1, 2,...,m;	j =1, 2,..., n) равен

сумме произведений соответствующих элементов i -й строки матрицы A и j - го столбца матрицы B , то есть

cij = ai1b1 j + ai2b2 j +K+ aik bkj (i =1,2,K, m; j =1,2,K, n).

Используется обозначение: C = AB .

Замечание. При умножении матриц количество столбцов первой матрицы обязательно должно совпадать с количеством строк второй матрицы.

	0		1	1		2	0	1
Пример 1.8. Пусть							3
	A =				,	B = 1		1 .
		2	1	0
							0
						1		1

Найти C = A B .				k = 3, n = 3. Согласно определению 1.5
Решение. Здесь m = 2,
c11	= a11b11 + a12b21 + a13b31 = 0 2 +1 1 +1 1 = 2,
c12	= a11b12 + a12b22 + a13b32 = 0 0 +1 3 +1 0 = 3,
c13	= a11b13 + a12b23 + a13b33 = 0 1 +1 1 +1 1 = 2,
c21 = a21b11 + a22b21 + a23b31 = 2 2 +1 1 + 0 1 = 5,
c22 = a21b12 + a22b22 + a23b32 = 2 0 +1 3 + 0 0 = 3,
c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 = 2 1 +1 1 + 0 1 = 3.
	2	3	2
Тогда C = A B =				.
		3	3
	5

7

Замечание. Если матрица A имеет размерность m ×k , а матрица B — размерность k ×m, то можно найти как A B, так и B A. Однако, вообще говоря, AB ≠ BA.

При умножении квадратной матрицы A n -го порядка на единичную матрицу такого же порядка имеем: AE = A и EA = A, то есть при умножении матриц единичная матрица обладает таким же свойством, как число 1 при умножении чисел.

Этим и объясняется ее название «единичная».

В географии широкий интерес представляет применение матриц при изучении географических сетей (речные сети, транспортные сети и т.д.). Рассмотрим для примера участок речной сети (рис. 1.1) в матричной форме относительно количества притоков (ребра), сходящихся в каждой точке их слияния (узловые точки)

	B
D	А
F	2

E 4

C 3

6

K

7

Рис. 1.1

Для изображения речной сети матрица может быть составлена как с использованием ребер, так и узлов. Обозначим (см. рис. 1.1) ребра числами 1,2,3,4,5,6,7, а узлы буквами A,B,C,D,E,F,K,L.

В матрице ребер число 0 означает, что притоки непосредственно не соединяются, а 1 — что они соединяются; в матрице узлов число 0 означает, что узлы непосредственно между собой не связаны. Получим матрицы:

8

		1		2	3	4	5	6	7				A	B	C	D	E	F	K	L
											A	0		0	1	0	0	0	0	0
	1 0 1 1 0 0 0 0
											B		0	0	1	0	0	0	0	0
	2		1	0	1	0	0	0	0
											C		1	1	0	0	0	0	1	0
	3		1	1	0	0	0	1	1
											D	0 0 0 0 1 0 0 0
	4 0 0 0 0 1 1 0										E		0	0	0	1	0	1	1	0
	5		0	0	0	1	0	1	0
											F		0	0	0	0	1	0	0	0
	6		0	0	1	1	1	0	1
	7		0	0	1	0	0	1	0		K		0	0	1	0	1	0	0	1
											L		0	0	0	0	0	0	1	0

Если учесть течение воды, то матрицы примут вид:

		1		2	3	4	5	6	7				A	B	C	D	E	F	K	L
											A	0		0	1	0	0	0	0	0
	1 0 0 1 0 0 0 0
											B		0	0	1	0	0	0	0	0
	2		0	0	1	0	0	0	0
											C		0	0	0	0	0	0	1	0
	3		0	0	0	0	0	0	1
											D	0 0 0 0 1 0 0 0									.
	4 0 0 0 0 0 1 0										E		0	0	0	0	0	0	1	0
	5		0	0	0	0	0	1	0
											F		0	0	0	0	1	0	0	0
	6		0	0	0	0	0	0	1
	7		0	0	0	0	0	0	0		K		0	0	0	0	0	0	0	1
											L		0	0	0	0	0	0	0	0

Сумма по каждому столбцу дает общее количество притоков, впадающих в каждую реку. В данном случае по два притока в 3;6;7 и по два — в узлы C,E,K. Изменения речной сети легко представить путем сложения и вычитания матриц. Изложенный метод можно распространить на другие характеристики речной сети, расход воды, размер русла и т.д.

Задания для самостоятельной работы

1. Даны матрицы	2 −1 3			и	3		4 −1
	A =				B =			.
		0 5				5	−3 4
	1

Найти: а) A + B; б) A − B.

Ответ: а)	5		3 2		б)	−1 −5 4
	A + B =			;		A − B =		.
		6	−3 9				− 4 3 1

9

2. Даны матрицы

1			3	4					3 1 1					− 2 0 1
	− 2		5			,	B =								4 −1 0
A =				0					−1 0 2 ,				C =			.
		1	− 2						1 2 1						1 2 1
				1
Найти: а) 3 А+ 2В; б)				2 А−3В ;					в) А− 2 В+3С .
			9 11 14						−6	3	5			−11 1		5
Ответ: а)		−8 15		4		,			−1	10	−6		, в)		12 2	− 4
							б)										.
			5 − 2 5						−1	−10 −1					2 0	2

3. Вычислить АВ и ВА, если а)

	1	2		−1		2	3
А = −1		1 ,							;
				В =	4	0	2
	3	− 2

б)

в)

Ответ: а)

б)

в)

1 0 1					−1 1 1
	2 −1 4
А =		, В =				0 2 −1 ;
	3 2 − 2
						2 3 4
	−1 3 7					3 − 4 1
	−5 1 7			,		1 1 − 2
А =					В =		.
	−3 −5 7					2 −1 1

		7	2	7						6	−6
АВ =		5	− 2	−1			, ВА =							;
											4
		−11	6	5						10
		1	4 5							4	1	1
		6 12 19								1 −	4 10
АВ =				,			ВА =						;
		−7 1 −7
									20 5 6
					14			0	0
		AB = BA =					0 14		0
										.
							0	0 14

10