заочникам / линейная алгебра / mathematics_part_1_hamov

a11a22 − a12 a21.

									−1 2			8
	4. Дана матрица A =									4 −5		−1		. Какую матрицу нужно при-
										0	4	−3
бавить к матрице A , чтобы получить единичную матрицу?
						2	− 2	− 8
	Ответ:					− 4	6	1
									.
						0 − 4		4
	5.	Найти				значение			матричного выражения 3A2 − 2A +3E при
	1	1	2
	−1	0	1			если	E	— единичная матрица третьего порядка, а
A =				,
	2	−1	2
A2 = AA.
									13		−5	17
	Ответ:				3A2 − 2A +3E =					5	−3	− 2
													.
											2	20
									17

§ 2. Определители второго и третьего порядков

Пусть дана квадратная матрица второго порядка

	a	a
A =	11	12
			.
	a21	a22

Определение 1.6. Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице A второго порядка, называется число, равное

Пишут

a11 a12	= a a	22	− a a	21	.
a21 a22	11		12

Числаa11 , a12 , a21, a22 называются элементами определителя. В

определителе второго порядка различают две строки и два столбца. Числа a11 и a22 образуют главную диагональ, а числа a12 и a21 —

вторую (или побочную) диагональ.

11

Пример 1.9. Если	−1		2		. то		−1	2		=(−1) 7	− 2 6	= −19 .
	A =
		6	7				6	7

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:

a	a
11	12
A = a21	a22
	a32
a31

a13 a23 . a33

Определение 1.7. Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице третьего порядка, называется число, равное

a11a22 a33 + a13a21a32 + a12 a23a31 − a13a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23a32 .

Пишут:

a11	a12	a13	= a11a22 a33 + a13a21a32 + a12 a23a31 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23a32 . (*)
a21	a22	a23
a31	a32	a33

Числа aij , i =1, 2, 3; j =1, 2, 3 , называются элементами определителя. Определитель третьего порядка имеет три строки и три столбца. Диагональ, образованная элементами a11 , a22, a33 , называ-

ется главной, а диагональ, образованная элементами a13 , a22, a31 —

побочной.

Замечание. Принцип составления алгебраической суммы (*) прост: каждый ее член есть произведение трех элементов, причем три члена имеют знак «+» и три члена — знак «−». Со знаком «+» берется произведение элементов главной диагонали, а также произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали с добавлением третьего множителя из противоположного угла. Члены, входящие в выражение (*) со знаком «−», строятся таким же образом, но относительно побочной диагонали.

Схематически можно так изобразить произведения элементов, которые берутся со знаком «+» и со знаком «−»:

12

Пример 1.10. Дана матрица третьего порядка

	1	2	−1
	0	3	4
A =				.
	− 2	5	6

Найти ее определитель.

Решение. Согласно определению 1.7 получаем

1 2 −1

03 4 =1 3 6 + 2 4 (−2) + 0 5 (−1) −(−1) 3 (− 2)− 2 0 6 − 4 5 1 = −24 .

−2 5 6

Рассмотренные определители второго и третьего порядков являются простейшими частными случаями общего понятия определителя.

	a11	a12K		a1n
	a21	a22K a2n
	........................
	an1	an2K		ann
квадратной матрицы
	a		a	... a
		11	12	1n
	a21		a22	... a2n
A =
		....................
	an1		an2 ... ann

n -го порядка. Коротко определитель, соответствующий матрице A , обозначают так A или det A .

Замечание. Транспонированием данной квадратной матрицы называют построение матрицы, у которой в строках помещаются элементы столбцов соответствующих номеров данной матрицы, то есть переход от матрицы

13

a

a

... a

a

a

... a

11

12

1n

11

21

n1

a21

a22 ... a2n

к матрице a12

a22 ... an2

.

....................

....................

a

n1

a

n2

... a

nn

a

a

2n

... a

nn

1n

Аналогично говорят, что определитель

a11	a21 Kan1
a12	a22 Kan2

........................

a1n a2n Kann

получен транспонированием определителя

a11	a12 Ka1n
a21	a22 Ka2n	.
........................
an1	an2 Kann

Приведем некоторые свойства определителей.

1.Определитель не меняется при транспонировании.

2.Если одна из строк (или один из столбцов) определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3.Определитель, содержащий две одинаковые строки (или два одинаковых столбца) равен нулю.

4.Определитель, содержащий две пропорциональные строки (или два пропорциональных столбца) равен нулю.

5.При перестановке двух строк (или двух столбцов) определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину.

6.Если все элементы какой либо строки (или какого-нибудь столбца) определителя умножить на некоторое число k , то определитель умножится на это число k .

7.Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк (или одного из его столбцов) прибавляются соответственные элементы другой строки (другого столбца), умноженные на одно и то же число.

14

Задания для самостоятельной работы

1. Вычислите определители второго порядка

а)		1	−3		б)		cosα sinα
		2	4				sinα cosα

Ответ: а) 10; б)cos 2α .

2. Пользуясь определением, вычислить определители третьего порядка

а)		2	2	−1			б)		6	1	1
		0	−1	1					3	2	0
		4	0	1					3	−1	3

Ответ: а) 2; б) 18.

3. Записать определитель, который получается транспонированием определителя:

		−1 3							1	2		3			3	1	−5	10
а)							б)						в)		4	− 2	3 5
									−1 1 0
		4		8					3	4		1			− 2	0	−1	7
															6	−7	1	1
			−1					1	−1	3					3	4	− 2	6
Ответ: а)				4			б)						в)		1	− 2	0	−7
								2	1	4
			3	8				3	0	1				−5		3	−1	7
														10		5	7	1

§ 3. Миноры. Алгебраические дополнения. Обратная матрица

Пусть дана квадратная матрица A n -го порядка

a	a	... a
11	12	1n
a21	a22	... a2n
A =
....................
an1	an2 ... ann

15

и соответствующий ей определитель

	a11	a12 Ka1n
det A =	a21	a22 Ka2n	.
	........................
	an1	an2 Kann

Определение 1.8. Минором M ij элемента aij называется опре-

делитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием i -й строки и j - го столбца, то есть той строки и того столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Пример 1.11. Пусть

	1	2		3							1	2	3
	− 4	5		0				,	det A =		− 4	5	0		.
A =
	3	1		2							3	1	2
Тогда					1		2
	M 23		=						=1 1−3 2 = −5 .
					3			1

Определение 1.9. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется число, равное произведению минора элемента на (−1)i + j , то есть

Aij = (−1)i+ j M ij .

Пример 1.12. В условиях примера 1.11

A23 = (−1)2+3 M 23 = (−1)5 (−5)= 5 .

Теорема 1.1. (теорема разложения). Определитель n -го порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Рассмотрим теорему 1.1 для определителей третьего порядка. Найдем разложение определителя по элементам первой строки

a11 a12 a13

a21 a22 a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32 a31 a32 a33

= (a11a22a33 − a11a23a32 )+ (a12a23a31 − a12a21a33 )+ (a13 a21a32 − a13 a22 a31 )=

16

= a	(a		a		− a				a		)− a (a					a		− a		a			)+ a (a				a		− a			a		)= a	a22	a23	−
11		22		33				23		32		12		21			33		23			31		13		21		32			22		31	11	a32	a33
			− a				a21				a23		+ a		a21			a22				= a A			+ a A					+ a A
					12		a31				a33		13		a31			a32					11	11			12		12			13		13

Аналогично можно доказать справедливость теоремы разложения определителя третьего порядка по элементам другой строки или столбца. Для этого провести группировку слагаемых в правой части соответствующим образом.

Пример 1.13. Вычислить определитель

2 3 4

5 − 2 1

1 2 3

а) разложением по элементам второго столбца; б) разложением по элементам первой строки. Решение. а) По теореме 1.1 получаем

2	3	4	= 3 (−1)1+2		15 13		+ (− 2) (−1)2+2		12	34		+ 2 (−1)3+2		52	14		= −3(15 −1)−
5	− 2 1
1	2	3

− 2 (6 − 4)− 2(2 − 20)= −42 − 4 +36 = −10 .

б)

2	3	4	= 2 (−1)1+1		− 2 1		−3 (−1)1+2		5	1		+ 4 (−1)1+3		5	− 2
5	− 2 1															=
					2 3				1	3				1	2
1	2	3
= 2(−6		− 2)	−3(15 −1)+ 4(10 + 2)= −16 − 42							+ 48 = −10.

Определение 1.10. Матрицей, обратной квадратной матрице A n -го порядка, называется матрица, обозначаемая символом A−1 и удовлетворяющая условию: A−1 A = AA−1 = E , где E — единичная матрица.

Замечания: 1. Для того, чтобы для матрицыA существовала обратная матрица A−1 , необходимо и достаточно, чтобы det A ≠ 0 .

17

2.Если существует обратная матрица A−1 для матрицы A , то она единственна.

3.Если матрица A−1 является обратной для матрицы A , то матрица A является обратной для матрицы A−1 .

Теорема 1.2. Пусть A = (aij ) — квадратная матрица n -го поряд-

ка, причем

det A ≠ 0 . Тогда

			A	A	... A
			11	21	n1
A−1 =	1	A12		A22 ... An2		,
	det A ....................
			A	A	... A
			1n	2n	nn

где Aij −алгебраические дополнения элементов aij матрицы A . Пример 1.14. Найти матрицу, обратную к матрице

2		5	2
	1	4	5
A =				.
	1	3	3

Решение. Разложением по элементам первой строки вычислим определитель матрицы A .

det A =	2	5	2	= 2(12 −15)−5(3 −5)+ 2(3 − 4)= 2 ≠ 0.
	1	4	5
	1	3	3

Вычислим алгебраические дополнения:

A =			4 5						= −3,			A = −					1		5		= 2,	A =			1 4							= −1,
11			3			3						12					1		3			13			1			3
A = −					5 2						= −9,	A =				2 2				= 4,		A = −		2 5								= −1,
21					3	3						22				1	3					23			1			3
A31 =		5				2		=17,				A32 = −		2			2			= −8,		A =					2	5				=3.
			4			5									1		5					31					1	4

Согласно теореме 1.2, получаем:

								−	3		−	9		17
		−3		−9	17
									2			2		2
	1
A−1 =			2	4 −8			=		1			2		− 4				.
	2
			−1	−1	3				1			1		3
								−			−
									2			2		2

18

Задания для самостоятельной работы

1. С помощью разложения по строке (или столбцу) вычислить определитель

		−1	1	2						3			0				1							2	− 2			0		−1
	а)					б)															в)			− 4 −1 −1 −1
		− 2 0 1								6 − 2 4
		−1	3	0						3			1				0							0		1		1		−1
																								2		2	−1				0
Ответ: а) –10; б) 0; в) 40.
2. Дана матрица													1				− 2				3
													5				6				0
										A =												.
													−3				1				1
Найти минор элемента а) a12 ; б) a23 ; в) a32 .
Ответ: а) 5;				б)		−5;	в)					−15.
												7	0				1
3. Дана матрица A = −3													1				−1 .					Вычислите алгебраические
												2	4				− 2
дополнения а) A11 ; б) A23 ; в) A31 .
Ответ: а) 2; б) –28; в) – 1 .
4. Найти матрицу, обратную к данной матрице
а)												б)																		в)
	1	− 2								1 − 4								5									1				2 −1
						B =						2	1				−3				;				C =			0		−1						1		.
A =		;
	−3
		4										4 −3					1											2
																															0 −1
																										4	11			−	7
																											2				2
							− 2					−1
Ответ:		а)		A−1		=		3					1			;					б) B−1				=	7	19			−	13					;
							−					−															2				2
								2
													2														13				9
																										5				−
																											2				2

19

														1						2				1
														3						3				3
									в) C −1 =							2 1							−	1			.
																3					3			3
														2						4			−	1
														3						3				3
		§4. Системы линейных уравнений
Сиситему уравнений вида:
a		x	+ a		x		2	+... + a			x	n	= b ,
11		1	12						1n					1
a21 x1 + a22 x2									+... + a2n xn				= b2 ,														(1.1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a		x	+ a	m	2	x		2	+... + a	mn		x	n	= b					m	,
	m1 1
где aij ,bi (i =1,2, ...,m; j =1,2, ...,n)										— числа, называют системой m ли-

нейных уравнений с n неизвестными x1 , x2 , ..., xn .

Совокупность n чисел x10 , x20 ,..., xn0 называется решением этой

системы, если каждое уравнение системы в результате подстановки в него чисел x10 , x20 , ..., xn0 вместо соответствующих неизвест-

ных обращается в верное равенство. Системы, не имеющие решений, называются несовместными, а имеющие решение — совместными.

Матрица

a	a	... a
11	12	1n
a21 a22 ... a2n
A =
. . . . . . . . . . . .

am1 am2 ... amn

называется матрицей системы (1.1). Числа b1 , b2 , ...,bm называются

свободными членами.

Рассмотрим простейший частный случай, когда число уравнений системы равно числу неизвестных (n = m), то есть систему вида

a x

+ a x

2

+... + a

x

n

= b ,

11 1

12

1n

1

a21 x1 + a22 x2

+... + a2n xn

= b2

,

(1.2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

x

+ a

n2

x

2

+... + a

nn

x

n

= b

.

n1 1

n

Матрица этой системы квадратная и имеет вид:

20