заочникам / линейная алгебра / mathematics_part_1_hamov

C = D = 0, A ≠ 0, B ≠ 0	Ax + By = 0	проходит через ось OZ
A = B = 0, C ≠ 0, D ≠ 0	Cz + D = 0	OZ (// XOY )
A = C = 0, B ≠ 0, D ≠ 0	By + D = 0	OY (// XOZ )
B = C = 0, A ≠ 0, D ≠ 0	Ax + D = 0	OX (// YOZ )
A = B = D = 0, C ≠ 0	Cz = 0	плоскость XOY
A = C = D = 0, B ≠ 0	By = 0	плоскость XOZ
B = C = D = 0, A ≠ 0	Ax = 0	плоскость YOZ

2. Уравнение плоскости в отрезках

Рассмотрим плоскость, пересекающую все три координатные оси и не проходящую через начало координат. Обозначим a, b, c величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат: a

— абсцисса M1 , b — ордината M 2 , c — аппликата M 3 (рис. 4.1).

Точки

пересечения плоскости

с осями

координат: M1 (a, 0, 0),

M 2 (0,b, 0), M 3 (0, 0,c). Уравнение плоскости, записанное в виде

x

+

y

+

z

=1, (4.2)

c

a

b

Z

называют уравнением плоскости в отрезках.

Пример 4.1. Найти отрезки, отсекаемые

M3

плоскостью 3x − 4 y − 24z +12 = 0 на координат-

ных осях и написать уравнение данной

плоскости в отрезках.

O

Y

Решение. Находим абсциссу

M1

M2

точки пересечения M1 плоскости с осью

X

OX , в уравнение плоскости подставляя

Рис. 4.1

значения y = 0, z = 0

: 3x +12 = 0,

то есть a = −4. Далее находим орди-

нату

точки

M 2

пересечения

плоскости

с

осью

OY, полагая

x = z = 0 : y = 3,

то есть

b = 3

и аппликату точки M 3

пересечения

плоскости с осью

OZ,

полагая

x = y = 0 :

z =

1

, то есть c =

1

. Со-

2

2

ставляем уравнение данной плоскости в отрезках:

x	+ y	+	z		=1.
− 4	3		1	2

81

3. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку

Если плоскость проходит через точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) и ее нормальный вектор равен n {A, B,C}, то ее уравнение имеет вид:

A(x − x0 )+ B (y − y0 )+C (z − z0 )= 0 (4.3)

Возьмем в данной плоскости произвольную точку M (x, y, z).

n

ВекторM 0 M = (x − x0 )i + (y − y0 )j + (z − z0 )k

	лежит в заданной плоскости.			Z	M
	Поэтому векторы n и M 0 M
					M0
	перпендикулярны и их скалярное
	произведение равно нулю, где бы
	на плоскости точка M ни находилась.			O	Y
	Используя формулу (3.6) скалярного			X
	умножения векторов, заданных своими
	координатами, получаем формулу (4.3).				Рис. 4.2

Пример 4.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (3,−2,−7) параллельно плоскости 5x −3y + 2z −3 = 0 .

Решение. Вектор нормальный данной плоскости n {5, −3, 2}будет нормальным и искомой плоскости, ввиду параллельности плоскостей. Используя формулу (4.3) составляем уравнение искомой плоскости

5(x −3)−3(y + 2)+ 2 (z + 7)= 0 <=> 5x −3y + 2z −7 = 0.

Пример 4.3. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M (2,−1,1) перпендикулярно двум плоскостям:

2x − y +3z −1 = 0; x + 2 y + z = 0.

Решение. Искомая плоскость параллельна векторам n1 {2; −1;3}, n 2{1; 2;1}, где n1 — нормальный вектор первой из данных плоскостей, а n2 — нормальный второй плоскости. По определению

векторного произведения:

=

1 ×

2

перпендикулярен искомой

n

n

n

плоскости. Находим это векторное произведение

i

j

k

−1 3

2 3

2 −1

=

1 ×

2 =

2

−1 3

=

−

+

= −7

+

+5

.

n

n

n

i

j

k

i

j

k

1

2

1

2 1

1

1

1

2

82

Составляем уравнение искомой плоскости, используя форму-

лу (4.3)

−7(x − 2)+ (y +1)+5(z −1)= 0 <=> −7x + y +5z +10 = 0.

4.Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M1 (x1 , y1 , z1 ), M 2 (x2 , y2 , z2 ), M 3 (x3 , y3 , z3 ), не лежащие на одной прямой, имеет вид

x − x1

y − y1

z − z1

= 0 .

(4.4)

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

Возьмем на плоскости произвольную точку M (x,

y, z) и соеди-

ним точку M1 с точкамиM , M 2 , M 3 ,

M

то получим три компланарных

Z

M2

M1M {x − x1 ; y − y1 ; z − z1 }

M1

вектора

{x2 − x1 ; y2

− y1 ; z2

− z1}.

M3

M1M 2

{x3 − x1 ; y3 − y1 ; z3 − z1}

M1M 3

Поэтому смешанное произведение

O

Y

этих векторов равно

нулю: (M1M × M1M 2 ) M1M 3 = 0 .

X

Рис. 4.3

Отсюда получаем формулу (4.4).

Пример 4.4. Составить уравнение плоскости, проходящей че-

рез три точки M1 (3, −1, 2), M 2 (4, −1, −1), M 3 (2, 0, 2).

Решение. Применяем формулу (4.4)

(x −3) (y +1) (z − 2)

1	0	−3	= 0 <=> 3x +3y + z −8 = 0.
−1	1	0
Пример 4.5. Составить уравнение плоскости, проходящей че-
рез точки M1 (1, − 2, 3),			M 2 (2, −1, 2) параллельно вектору		{2; 0; 1}.
				a

Решение. 1-й способ.

По формуле (4.3) уравнение искомой плоскости записывается в виде A(x −1)+ B( y + 2)+C(z −3)= 0, где n{A, B, C} — вектор перпенди-

83

кулярный искомой плоскости. Векторы M1M 2 {1; 1; −1} и a{2; 0; 1} — параллельны искомой плоскости, поэтому их векторное произведение M1M 2 × a есть вектор перпендикулярный этой плоскости. Таким образом,

i

j

k

=

×

=

1 1 −1

=

−3

− 2

, т.е. A =1; B = −3; C = −2.

n

M1M 2

a

i

j

k

2

0

1

Уравнение искомой плоскости имеет вид:

(x −1)−3( y + 2)− 2 (z −3)= 0 <=> x −3y − 2z −1 = 0.

2-й способ.

Возьмем на плоскости произвольную точку M (x, y, z). Векторы M1M {x −1; y + 2; z −3}, M1M 2 {1; 1; −1} и a{2; 0; 1} компланарны, так как M1M , M1M 2 лежат в искомой плоскости, а вектор a{2; 0; 1} параллелен этой плоскости. Поэтому их смешанное произведение равно нулю:

(M1M × M1M 2 ) a = 0 . Получаем уравнение

(x −1) (y + 2) (z −3)

1	1	−1 = 0 <=> x −3y − 2z −1 = 0.
2	0	1

5. Угол между двумя плоскостями

Пусть уравнения данных плоскостей будут:

A1 x + B1 y +C1 z + D1 = 0; A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0.

Углом между двумя плоскостями назовем любой из двух смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями. Один из этих двугранных углов равен углу ϕ между векторами n1{A1 ; B1 ; C1}, n2 {A2 ; B2 ; C2 } соответственно перпендикулярными заданным плоскостям. Угол ϕ определяется по формуле:

cosϕ =	n1 n2	=		A1 A2 + B1 B2 +C1C2				+C 2 . (4.5)
	n n2		A2	+ B2	+C 2	A2	+ B2
	1		1	1	1	2	2	2

84

Плоскости перпендикулярны, если ϕ = 900 . Тогда cosϕ = 0, то есть

A1 A2 + B1 B2 +C1C2 = 0. (4.6)

Плоскости параллельны, если n1 // n2 . Отсюда

A1 = B1 = C1 . (4.7)

A2 B2 C2

Пример 4.6. Среди плоскостей 3x + 2y − z +5 = 0; 9x + 6 y −3z −5 = 0; 2x − y + 4z −9 = 0 указать параллельные и перпендикулярные.

Решение. Рассмотрим первые два уравнения. Имеем

A1 = 3, B1

= 2, C1 = −1; A2 = 9, B2 = 6, C2 = −3. Для

коэффициентов

первых

двух уравнений справедливы соотношения:

A1

=

B1

=

C1

=

1

. Сле-

3

A

B

2

C

2

довательно, эти плоскости параллельны.

2

Сравним

коэффициенты

первого

и

третьего

уравнений:

A1

=

3

≠

B1

=

2

,

то есть эти плоскости не параллельны. Так как

A

2

B

−1

3

3

= 3 2 + 2(−1)+ (−1)4 = 0,

то плоскости первая и третья,

A1 A3 + B1 B3 +C1C3

вторая и третья перпендикулярны.

Пример 4.7. Составить уравнение плоскости:

а)

параллельной оси

OZ

и

проходящей

через

точки

P(2; −1; 3), Q(4; 2; 1);

б)

проходящей через точку

R(1; 2; −1),

параллельно вектору

{2; −1; 5} и перпендикулярной плоскости 3x + 2y −3z +1 = 0.

a

Решение. а) 1-й способ.

Уравнение искомой плоскости

(проходящей

через

точку

P(2; −1; 3)) имеет вид: A(x − 2)+ B (y +1)+C (z −3)= 0, где вектор n {A; B; C} перпендикулярен плоскости. Вектор k {0; 0; 1} параллелен искомой плоскости, а вектор PQ (2; 3; − 2), лежит в этой плоскости, поэтому

их векторное произведение

,×

есть вектор, перпендикуляр-

PQ

k

ный плоскости. Таким образом,

i

j

k

т.е.

A = 3; B = −2; C = 0 , и получаем

=

,×

=

2

3 − 2

= 3

− 2

,

n

PQ

k

i

j

0

0

1

уравнение 3(x − 2)− 2(y +1)= 0 <=> 3x − 2 y −8 = 0.

85

2-й способ. В уравнении плоскости, параллельной оси

OZ : C = 0.

Поэтому уравнение искомой плоскости (проходящей через точку P(2; −1; 3), имеет вид:

A(x − 2)+ B (y +1)= 0.

(4.8)

Так как эта плоскость проходит так же через точку Q(4; 2; 1), то ее координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости:

A(4 − 2)+ B (2 +1)= 0 ,

то есть					2A +3B = 0. Отсюда A = −	3	B. Подставляем в уравнение (4.8),
					2
получаем
	−		3	B (x − 2)+ B (y +1)= 0 <=> −3(x − 2)+ 2 (y +1)= 0 <=> 3x − 2 y −8 = 0.
2				б) уравнение искомой плоскости P имеет вид:
				(P )	A (x −1)+ B (y − 2)+C (z +1)= 0, где вектор				{A; B; C} перпендику-
								n
лярен					этой плоскости, а поэтому перпендикулярен					вектору
		(2; −1; 5), который ей параллелен. Кроме того, вектор									1{3; 2; −3}
										n
	a

также параллелен искомой плоскости, так как искомая плоскость и вектор n1{3; 2; −3} перпендикулярны данной в условии задачи плоскости (P1 ). Следовательно, векторное произведение a ×n1 (рис. 4.4) есть вектор перпендикулярный искомой плоскости, то есть

i

j k

=

×

1 =

2 −1 5

= −7

+ 21

+ 7

.

n

a

n

i

j

k

3

2 −3

P1

n

P

n1

• R a

Рис.4.4

Уравнение искомой плоскости (Р):

−7 (x −1)+ 21(y − 2)+ 7 (z +1)= 0 <=> −(x −1)+3(y − 2)+ (z +1)= 0 <=> <=> − x +3y + z − 4 = 0.

86

6. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки M (x0 , y0 , z0 ) до плоскости Ax + By +Cz + D = 0 вычисляется по формуле

	d =	Ax0 + By0 +Cz0		+ D	.	(4.9)
		A2	+ B2 +C	2
	Пример 4.8. Две		грани	куба		лежат на плоскостях

2x − 2 y + z −1 = 0;

2x − 2 y + z +5 = 0. Вычислить объем этого куба.

Решение. Данные плоскости параллельны, поэтому ребро куба равно расстоянию между этими плоскостями. Все точки одной плоскости находятся на одинаковом расстоянии от второй. Возьмем какую-нибудь точку, лежащую на первой плоскости, например M 0 (0; 0; 1). Тогда ее расстояние до второй плоскости бу-

дет d =	2 0 − 2 0	+1 +5	=	6	= 2. Объем куба: V = 8 (куб. ед.).
	4 + 4	+1		3

Задания для самостоятельной работы

1. Составить уравнение плоскости, которая проходит: а) через точку M 0 (1; − 2; 4) параллельно плоскости XOZ;

б) через точку M 0 (1; 4; −3) и ось OZ;

в) через точки M1 (2; −1; 1), M 2 (3; 1; 2) параллельно оси OY. Ответ: а) y + 2 = 0; б) 4x − y = 0; в) x − z −1 = 0.

2. Дано уравнение плоскости x + 2 y −3z −6 = 0 . Для нее: а) написать уравнение «в отрезках»;

б) вычислить площадь треугольника, который отсекает плоскость от координатного угла XOY;

в) вычислить объем пирамиды, ограниченной данной плоскостью и координатными плоскостями.

Ответ: а) 6x + 3y + −z2 =1; б) S = 9 (кв. ед.); в) V = 6 (куб. ед.)

3. Даны две точки M1 (3; −1; 2), M 2 (4; − 2; −1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1 перпендикулярно вектору

M1M 2 .

Ответ: x − y −3z + 2 = 0.

87

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (1; 3; − 2) параллельно двум векторам a1{−1; 1; − 2}, a2 {3; 2; − 4}. .

Ответ: 2y + z − 4 = 0 .

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки

M1 (3; 1; − 2), M 2 (1; −1; 4), M 3 (2; −5; −1). Ответ: 34x − 4y +10z −78 = 0.

6. Среди плоскостей 4x + 2y − 4z +5 = 0; 2x + y + 2z −1 = 0;

− x − 2 y + 2z +3 = 0; 6x +3y −6z = 0. Указать параллельные и перпендикулярные.

Ответ: 1-я и 4-я параллельны, 2-я и 3-я перпендикулярны.

7. Определить угол между двумя плоскостями

3y − z = 0, 2 y + z = 0.

Ответ: π 4 .

8. Составить уравнение плоскости, которая проходит через

точку	M 0 (2; −3; 5) перпендикулярно	к двум	плоскостям
2x − z +1 = 0, y = 0.
Ответ: x + 2z −12 = 0.
9.	Найти точку пересечения	плоскостей	x − 2 y + z −7 = 0,

2x + y − z + 2 = 0, x −3y + 2z −11 = 0. Ответ: M (1; − 2; 2).

10. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоско-

сти

2x − 2 y − z −3 = 0 и отстоящих от нее на расстоянии d =10.

Ответ: 2x − 2y − z −33 = 0; 2x − 2y − z + 27 = 0.

§ 2. Прямая линия в пространстве

Прямая как линия пересечения двух плоскостей определяется совместным заданием двух уравнений первой степени

A x + B y +C z + D				= 0	(4.10)
1	1	1	1
A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0

88

A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0.

при условии, что коэффициенты A1 , B1 , C1 первого из них не пропорциональны коэффициентам A2 , B2 , C2 второго. Уравнение

A1 x + B1 y +C1 z + D1 + λ (A2 x + B2 y +C2 z + D2 )= 0, где λ — любое дейст-

вительное число, называют уравнением пучка плоскостей. Оно (при определенном значении λ ) определяет любую плоскость, проходящую через прямую линию (4.10), за исключением плоскости

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором данной прямой. Если известна точка M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) прямой и направ-

ляющий вектор s {m; n; p}, то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида

	x − x0	=	y − y0	=	z − z0	,	(4.11)
	m		n		p

которые называются каноническими.

Канонические уравнения прямой, проходящей через две дан-

ные точки M1 (x1 ;

y1 ; z1 ),

M 2 (x2 ; y2 ; z2 ), имеют вид

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

.

(4.12)

x

2

− x

y

2

− y

z

2

− z

1

1

1

Направляющий вектор этой прямой: M1M 2 {x2 − x1 ; y2 − y1 ; z2 − z1}. Обозначим буквой t каждое из равных отношений в канонических уравнениях (4.12) и выразим переменные x, y, z через t . Получим параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) в направлении вектора s{m; n; p}:

x = x0 + mt
	+ nt .	(4.13)
y = y0
	+ pt
z = z0
В уравнениях (4.13) t рассматривается как произвольно из-
меняющийся параметр, а x, y, z		— как функции от t . При измене-

нии t величины x, y, z меняются, и точка M (x, y, z) движется по данной прямой.

Если параметр t рассматривать как переменное время, а уравнения (4.13) как уравнения движения точки M , то эти уравнения будут определять прямолинейное и равномерное движение

89

точки	M . При t = 0 точка M совпадает с точкой M 0 .	Скорость V
точки	M постоянна и определяется формулой V = m2	+ n2 + p2 .

Пример 4.9. Составить уравнение плоскости, которая прохо-

дит через прямую 3x − y + 2z +9 = 0 , при этом для плоскости выпол-

x + z −3 = 0

нено одно из условий:

а)	проходит через точку M (1; − 4; −3); б) параллельна оси OX ;
в)	параллельно вектору		{1; 1; 3}..
		a

Решение. а) Составляем уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую:

3x − y + 2z +9 + λ (x + z −3)= 0 <=> (3 + λ )x − y + (2 + λ )z +9 −3λ = 0; (4.14)

в полученное уравнение подставляем координаты точки M и находим соответствующее значение λ :

(3 + λ ) 1 −(− 4)+ (2 + λ )(−3)+9 −3λ = 0 <=> −5λ +10 = 0 <=> λ = 2;

подставляя значение λ = 2 в уравнение пучка (4.14), получаем уравнение искомой плоскости 5x − y + 4z +3 = 0 .

б) В уравнении плоскости параллельной оси OX коэффици-

ент A = 0; приравниваем к нулю коэффициент при x		в уравнении
пучка (4.14)	3 + λ = 0, то есть λ = −3; получим	уравнение:
− y − z +18 = 0 .

в) Из уравнения (4.14) получим искомую плоскость при том значении λ , когда вектор n{3 + λ ; −1; 2 + λ } перпендикулярен векто-

ру a{1; 1; 3}, то есть n a = 0 <=> (3 + λ )1 −1 1 + (2 + λ )3 = 0 <=> λ = −2; полу-
чаем уравнение: x − y +15 = 0.
Пример 4.10. Составить канонические уравнения прямой,
проходящей через точку M (2; 0; −3) параллельно:
а) вектору a{2; −3; 5}; б) прямой x −1 =	y + 2	= z +1; в) оси OY;
5	3	−1

г) прямой x − y + 2z +5 = 0
2x + y −3z −7 = 0.
Решение: а) используем формулу (4.11), взяв направляю-
щим вектором прямой вектор	a{2; −3; 5}:	x − 2	=	y	= z +3	;
		2		−3	5

90