заочникам / линейная алгебра / mathematics_part_1_hamov

Выберем свободное неизвестное, пусть им будет y . Тогда общее решение системы имеет вид:

x = 6 yz = −7 y,

где y — любое действительное число.

Замечание. Свободный член в каждом уравнении рассмотренной системы равен нулю. Такая система называется однородной. Однородная система либо имеет единственное решение – нулевое, то есть значения всех неизвестных равны нулю, либо бесконечно много решений.

Задания для самостоятельной работы

1. С помощью формул Крамера решить системы линейных уравнений:

а)

г)

3x −8y = −2,2x + y = 5.

2x + 7 y − z = −5,x −5y + 2z = 0,

3x + y −3z = −9.

б) x + 2 y =1,2x − y = −8.

3x − y +8z = −7, д) − x + 2 y − z = 4,

2x +3y − 2z =10.

в) 9x − y =12,

x +5y = −14.5x +3y − z = −7,

е) 3x − 4 y + 2z =10,

x + y −3z = −5.

Ответ: а)	x = 2, y =1; б) x = −3, y = 2; в) x =1, y = −3;
г)	x = −2, y = 0, z =1;	д) x =1, y = 2, z = −1;
	е) x = 0, y = −2, z =1.

2. Методом обратной матрицы решить системы линейных уравнений:

x − 2 y +3z = 2, а) 2x − y + 4z = 5,

3x +3y − 2z = 4.

3x − y − z = −5,

б) 5x + 2 y +3z =13,

x − y + 2z = 4.

2x − 2 y + z = −1, в) x +3y − z = −2,3x − y + 4z =1.

Ответ: а)

x =1, y =1, z =1; б) x = 0, y = 2, z = 3; в) x = −1, y = 0, z =1.

31

3. Методом Гаусса найтирешениесистемлинейныхуравнений:

а)

г)

ж)

x +3y + z + 2 = 0,2x − y + 2z −3 = 0,

x + 2 y − z +5 = 0.

3x + y − 2z = −4,x − 2 y + z = 3,

− 2x −3y +3z =10.− x +3y − 4z = 0,3x − 2 y − 2z = 0,2x + y −6z = 0.

б)

д)

з)

2x − y − z = 4,− x +3y − z = −6,

3x + 2 y + z = 5.− x + y − 4z =1,2x −3y + z = 2,

−3x + 4 y −5z = −1.

x + 2 y − z = 0,2x + y +5z = 0.

в)

е)

x − y − z − 2 = 0,2x − y +3z −1 = 0,

x + 2 y − z −8 = 0.

x −3y − 2z = 5,−3x + 4 y − z = −2,

− 4x + y + z = −7.

Ответ: а) x = −1, y = −1, z = 2 ; б) x = 2, y = −1, z =1; в) x = 3, y = 2, z = −1;

г) решений нет; д) общее решение x = −5 −11z, y = −4 −7z, z — любое

	число; е) общее решение x = −	14		−	11	z, y = −	13		−	7	z,	z — любое число;
			5		5			5		5
	ж) x = 2z, y = 2z, z — любое число; з) x = −3z,								y = z,			z — любое число.

4. Решить системы линейных уравнений:

3x − y + 2z − 2t =1,
	x − y +3z −t = 0,
а)
− x + y + z +t = 4,
	− x + z +2t = 6.
Ответ: а)	x = 3, y = 2, z =1, t = 4;

− 3x + 2 y + 2z = 6,
	x + z +3t =16,
б)
− 2x + y −t = −6,
	x + y −3z +2t = 6.

б) x = 6, y = 8, z = 4, t = 2.

32

Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Аналитическая геометрия — это область математики, в которой геометрические задачи решаются, а геометрические образы изучаются средствами алгебры на основе метода координат. Наиболее употребительными являются декартовы координаты (Р. Декарт — французский математик и философ XVII века).

§1. Координаты точки на прямой и на плоскости. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении

1. Координаты точки на прямой

Координаты точек на прямой вводят следующим образом. На прямой строят координатную ось, для чего:

а) на прямой выбирают начало координат — точку O , по отношению к которой определяется положение остальных точек;

б) выбирают единицу длины для измерения расстояния рассматриваемой точки от начала координат;

в) выбирают положительное направление на прямой. Определение 2.1. Координатой точки M на координатной оси

Ox называется число x , определяемое правилом:

1)если точка M совпадает с точкой O , то полагают x = 0 ;

2)если точка M отличается от точки O , то

а) x равно длине отрезка OM , когда направление от точки O к точке M совпадает с положительным направлением оси Ox , и

б) x равно длине отрезка, взятой со знаком минус, когда направление от точки O к точке M противоположно направлению оси Ox .

Пишут: M (x).

33

Таким образом, каждой точке на координатной оси соответствует одно единственное число, и обратно, каждому числу соответствует одна единственная точка на этой прямой, то есть установлено взаимно-однозначное соответствие между точками прямой и действительными числами. Поэтому, когда говорят «дана точка», следует понимать, что дана ее координата. Если говорят «найти точку», следует понимать, что нужно найти координату искомой точки.

A		O			M				x
-3-2		-1 0 1 2 3 4 5
					Рис. 2.1
На рис. 2.1 изображены: ось Ox									и точки M (5), A(−3), O(0) на

ней.

2. Прямоугольная декартова система координат

Прямоугольную декартову систему координат вводят следующим образом:

а) выбирают две взаимно перпендикулярные оси координат

— ось Ox , или ось абсцисс, и ось Oy , или ось ординат;

б) точку их пересечения — точку O называют началом координат.

Определение 2.2. Координатами точки M на плоскости называются числа x и y , определяемые правилом:

1) Из точки M опускают перпендикуляры на оси Ox и Oy . Получают проекцию точки M на оси Ox — точку M x и проекцию точки M на оси Oy — точку M y .

2) Находят координату точки M x на оси Ox , это число x , и координату точки M y на оси Oy , это число y . Тогда числа x и y есть координаты точки M , при чем x — абсцисса, а y — ордината точки M . Пишут: M (x, y).

34

y						y
						4	E
y	My			M		3		M
					A				F
1			Mx			2
						1
O		1 x		x		C		-2		5 x
					- 4 -2 O 1 2 3B

Рис.2.2 Рис. 2.3.

На рис.2.2 изображены: прямоугольная декартова система координат и точка M .

Оси координат делят всю плоскость на четыре части (четыре координатных угла, четверти, четыре квадранта), при этом

квадрант	I	II	III	IV
знак
абсциссы x	+	-	-	+
ординаты y	+	+	-	-

Все точки оси Ox имеют ординаты, равные нулю, точки оси Oy — абсциссы, равные нулю.

Если дана пара чисел (x; y), то можно построить единственную точку, имеющую эти числа в указанном порядке

своими координатами. Для этого на осях Ox, Oy						строят точки
M x и M y ,	имеющие		числа	x и y	своими	координатами
соответственно. Из точки M x				восстанавливают перпендикуляр к
оси Ox , из точки		M y	восстанавливают перпендикуляр к оси Oy .
Точка пересечения этих перпендикуляров есть						искомая точка
M (x; y).	Таким	образом,		введено	взаимно	однозначное
						35

соответствие между точками плоскости и парами чисел (x; y). На рис. 2.3 изображены точки:

M (2; 3), A(− 4; 2), B(2; −3), C(− 2; − 2), D(5; 0), E(0; 4), F(3; 2).

3. Расстояние между двумя точками

Даны

две

точки

A и B.

Если эти точки находятся на

координатной оси A(x1 )

и

B(x2 ),

то расстояние между

ними d

вычисляется по формуле

d =

x2 − x1

.

Пример 2.1. Даны точки A(−3) и B(5).

Расстояние между ними

равно d =

5 −(−3)

= 8.

даны

на

плоскости, то

Если две точки M1 (x1 ; y1 )

и

M 2 (x2 ;

y2 )

расстояние между ними d

вычисляется по формуле

d = (x2 − x1 )2

+ (y2

− y1 )2 .

(2.1)

Пусть точки P1 , Q1 , есть проекции точки M1

на оси координат, а

P2 , Q2 — проекции точки M 2 (см. рис. 2.4). Тогда длина отрезка P1 P2

равна d1 =

x2 − x1

, а длина отрезка Q1 Q2

равна d2 =

y2

− y1

. При этом

длина отрезка M1C равна d1 ,

а длина отрезка

M 2C

равна d2 . По

теореме

Пифагора

из

треугольника

M1M 2C

получим

d = d12 + d22 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .

y

Q2

M 2

Q1

M1

C

O

P1

P2

x

Рис. 2.4

Пример 2.2. Даны точки

A(− 4; 2),

M (2; 3), D(5; 0)

(см. рис. 2.3).

Найти расстояние между точками а) A и

M ; б)

M и D.

36

Решение:

а) d = (xM − xA )2 + (yM − yA )2 = (2 −(− 4))2 + (3 − 2)2 = 62		+12 = 37.
б) d = (xD − xM )2 + (yD − yM )2 = (5 − 2)2 + (0 −3)2 = 32 +32 = 18 = 3 2.
Ответ: а)	37; б) 3 2.
4. Деление отрезка в данном отношении
Пусть даны две точки M1 (x1 ; y1 ) и M 2 (x2 ; y2 ) и пусть M (x; y) делит
отрезок M1M 2	в отношении λ , то есть делит так,	что отношение

длины отрезка M1M к длине отрезка MM 2 равно λ :

dM

1

M

= λ,

dM M 2

где dM1 M

— длина M1M , dM M 2 — длина отрезка MM 2 . Координаты

точки деления M вычисляются по формулам:

x =

x1 + λ x2

,

y =

y1 + λ y2

.

(2.2)

1+ λ

1+ λ

Замечание. Если точка M

делит отрезок M1M 2 пополам, то

λ =1 и

x1 + x2

y1 + y2

x =

,

y =

.

(2.3)

2

2

Пример 2.3.

Даны

две

точки

M1 (5; 3) и M 2 (−1; 0). Найти

координаты точки M , которая делит отрезок M1M 2

а) в отношении 2:3; б) пополам.

Решение.

а)

по условию

λ =

2

,

используя формулы (2.2),

имеем:

3

2

2

5 +

(−1)

13

3 +

0

9

x =

3

=

= 2,6; y =

3

=

=1,8.

Получена точка M (2,6; 1,8).

2

5

2

5

1+

1+

3

3

б) по условию λ =1, используя формулы (2.3), получим:

x =

5 + (−1)

= 2,

y =

3 + 0

=1,5.

2

2

37

M 2 M1

Получена точка M (2; 1,5).

Ответ: а) (2,6; 1,8), б) (2; 1,5).

Пример 2.4. Найти координаты точки M , делящей отрезок в отношении 2:3. Координаты точек даны в примере 2.3.

Решение. λ = 23 , но в данном случае «первой» точкой отрезка

M 2 M1 является точка M 2 (−1; 0), а «второй» — точка M1 (5; 3). При использовании формулы (2.2) следует это учесть. Поэтому имеем

	−1+	2			5		7			0 +	2		3			6
x =		3				=		=1,4;	y =		3				=		=1,2. Получена точка M (1,4; 1,2).
		2					5									5
											2
1+										1+
		3										3

Ответ: (1,4; 1,2).

Задания для самостоятельной работы

1. На оси Ox даны две точки A(x1 ) и B(x2 ). Найти расстояние между ними, если

а) A(5), B(8); б) A(1), B(−3); в) A(− 2), B(− 4).

Ответ: а) 3; б) 4; в) 2.

2.На оси Ox находится точка A(3). На оси найти точки, если известно, что они находятся на расстоянии 10 единиц длины от точки A.

Ответ: таких точек две: B1 (13 ) и B 2 (− 7 ).

3.Найти расстояние между точками:

а) A(5; 2), B(−3; − 4); б) C(3; 2), D(−1; −1); в) R(3; 2), Q(11; −6).

Ответ: а) 10; б) 5; в) 8 2.

4. Даны вершины треугольника

A(5; 2), B(1; −1), C(5; − 4). Определить его периметр. Ответ: 16.

38

5. Точка, двигаясь прямолинейно, переместилась из точки A(− 2; 3) в точку B(4; −5). Найти пройденный путь.

Ответ: 10.

6. Найти центр и радиус, окружности, проходящей через точку A(8; 4) и касающейся обеих осей координат.

Ответ: (4; 4); 4.

7. Даны координаты вершин треугольника

A(3; − 2), B(5; 2), C(−1; 4). Найти: а) координаты середин его сторон; б) длины его медиан.

Ответ: а) (4; 0), (2; 3), (1; 1); б) 26, 17, 41.

8. В трех точках A(x1 ; y1 ), B(x2 ; y2 ), C(x3 ; y3 ) помещены грузы одинаковой массы. Найти центр масс этой системы.

x + x			2	+ x	3		y + y	2	+ y	3
Ответ:	1					;	1				.
		3					3

Указание. Сначала найти центр масс двух материальных точек A и B , а затем центр масс найденной точки и точки C.

9. В трех точках A(x1 ; y1 ), B(x2 ; y2 ), C(x3 ; y3 ) сосредоточены массы m1 , m2 , m3 . Показать, что центр масс этой системы находится в точке с координатами

x =	x1m1 + x2 m2 + x3m3					,	y =	y1m1 + y2 m2 + y3m3					.
	m	+ m	2	+ m	3			m	+ m	2	+ m	3
1								1

10. Отрезок AB разделен на 3 части. Найти координаты точек деления, если A(1; 5), B(4; 11).

Ответ: M1 (2; 7), M 2 (3; 9).

Указание. Точка M1 делит отрезок AB в отношении 1:2, точка M 2 — в отношении 2:1.

§2 Уравнение линии в декартовых координатах

1.Понятие уравнения линии

39

x = −3.

Пусть дано уравнение, связывающее две переменные величины x и y . Оно имеет простой геометрический смысл, если рассматривать x и y как координаты некоторой точки на плоскости. Такое уравнение определяет на плоскости некоторое множество точек или, может быть, некоторую линию, представляющую собой множество точек.

Определение 2.3. Уравнением линии (L) в декартовых координатах называют уравнение, связывающее координаты x и

yточек M , и такое, что:

1)если точка M лежит на линии (L), то координаты точки M удовлетворяют данному уравнению;

2)если точка M не лежит на линии (L), то координаты точки

Mданному уравнению не удовлетворяют;

3)если упорядоченная пара чисел (x; y) удовлетворяет

данному уравнению, то точка M с координатами (x; y) лежит на линии (L).

По уравнению линии мы можем судить о ее свойствах. Точку M называют «текущей», а ее координаты x и y — «текущими» координатами.

Пример 2.5. Какие геометрические образы определяются следующими уравнениями:

а) x − y = 0; б) (x −1)2 + (y + 2)2 = 0; в) x = −3.

Решение. а) Уравнение x − y = 0 запишем в виде x = y. Так как абсцисса x равна ординате y , то точки M (x; y) лежат на биссектрисах первого и третьего координатных углов;

б) (x −1)2 + (y + 2)2 = 0 . Ясно, что только одна точка A(1; − 2) имеет координаты, удовлетворяющие данному уравнению, так как сумма квадратов только тогда равна нулю, когда оба слагаемых равны нулю;

в) В данном случае все точки, лежащие на линии, имеют одно и то же значение абсциссы (−3). Ордината y в уравнение не входит. Ее значение можно выбирать любым, то есть M (−3; y). Это точки, лежащие на прямой, перпендикулярной оси Ox (см. рис. 2.5).

40