заочникам / линейная алгебра / mathematics_part_1_hamov

Лабораторная работа № 7

ВЕКТОРЫ

1. В параллелограмме ABCD обозначены: AB = a , AD = b. Точка M — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Через a и

bвыразить векторы BC, CD, AC, BD, AM , MC, MB.

2.В треугольнике ABC обозначены AB = a , BC = b. Через a и b выразить векторы, совпадающие с медианами AM , BN, CP треугольника.

3.Доказать, что сумма векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами, равна нулю.

4.Даны точки A(2; 1; 0), B(0; 3;−1), C(−1;−1; 2).

а) Найти координаты и длины векторов AB, AC, BC . б) Найти вектор m = 2AB − BC и его длину.

5. Найти направляющие косинусы векторов a { 2; 1;−3} и b { 0;−3; 4} и записать орты данных векторов.

6. Найти скалярное произведение векторов a и b :

а) б) в)

a

= 2i +

j

,

b

= −2

j

+

k

;

{ −1;−3; 1} ,

{ 4;−2;−4};

a

b

{ 2; −1;−5},

{ 2;−1; 1} .

a

b

7.Даны точки A(3; 1; 2), B(2; 2;−1), C(1;−1; 2). Найти проекцию вектора AB на направление CB.

8.Даны векторы a {1; 0;−1} и b { 2; 3; 0}. Найти угол между векто-

рами а)

и

; б)

=

+ 2

и

= 2

−

.

c

a

b

d

a

b

a

b

9. На материальную

точку

действуют силы

1 = 2i −

+

,

F

j

k

2 = −i + 2

+ 2

,

= i +

− 2

.

Найти

работу равнодействующей

F

j

k

F

3

j

k

R

этих сил при перемещении точки из положения A(2; −1; 0) в поло-

жение B(4; 1;−1) .

131

10. Найти вектор x , коллинеарный вектору a {1; 2;−3} и такой,

что

= 28 .

x

a

11. Даны векторы

= 3i −

− 2

и

= i + 2

−

. Найти

×

и

a

j

k

b

j

k

a

b

(2

−

) ×(

+ 2

). .

a

b

a

b

12. Даны векторы

{1; 0;−2} и

{1;−2; 3}. Найти единичный

a

b

вектор, перпендикулярный этим векторам.

13.Даны точки A(1; 2; 0), B(3; 0;−3), C(0; 2; −1). Найти площадь и высоту треугольника ABC.

14.Даны векторы a {1; 0;−2}, b {1;−1; 2}, c{3; 1; −1}. Найти смешанное произведение a b c .

15. Даны точки A(1; 1; 2), B(2; 3;−1), C(2; −2; 4)., D(−1; 1; 3. Найти

а) объем и высоту параллелепипеда, построенного на векто-

рах AB, AC, AD.

б) объем и высоту пирамиды ABCD .

16. Даны точки A(3;−4; 1), B(2;−3;7), C(1; − 4; 3), D(4; −3;5). Доказать,

что они лежат в одной плоскости.

Лабораторная работа № 8

ПЛОСКОСТЬ

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1 (2,−1, 3) и а) параллельно плоскости XOY ; б) параллельно плоскости XOZ ; в) параллельно плоскости YOZ ; г) параллельно плоскости 3x − 4 y + z −5 = 0 ; д) через ось OX ; е) через ось OY .

2. Дано уравнение плоскости − 2x +3y − z −12 = 0 ; а) найти отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях; б) вычислить площадь треугольника, отсекаемого плоскостью от координатно-

132

го угла YOZ ; в) вычислить объем пирамиды, ограниченной данной плоскостью и координатными плоскостями.

3. Составить уравнение плоскости: а) параллельной двум

векторам a1 {3; 0;−2}, a2 {1,−2,−4} и проходящей через точку M1 (2, 3, 4); б) параллельной оси OY и проходящей через две точки M1 (3, 1,−2 ),

M 2 (1,−1, 3);

в)

перпендикулярной

плоскостям

x − y − z +3 = 0,

2x +3y + 4z −5 = 0

и проходящей через точку M (5;−1; 2); г) параллель-

ной

вектору

{1;−2; 1}

и

проходящей

через

две точки

a

M1 (4;−3; 1), M 2 (2; 3;−1).

4.

Определить, какие из следующих уравнений плоскостей

являются нормальными:

а) −

1

x +

2

y −

2

z −7 = 0; б) −

1

x +

2

y −

1

z −5 = 0;

3

3

3

3

3

3

в)

1

x +

2

y +

2

z + 2 = 0; г) x − 2 = 0 ; д) y +5 = 0 ; е) − z −5 = 0 .

3

3

3

5.

Привести уравнения плоскостей к нормальному виду:

а) 4x + 4 y − 2z +5 = 0 ; б)

3

x +

2

y +

6

z + 4 = 0; в) x + 2 y + z + 2 = 0;

7

7

г) x + 2 = 0 ;

7

д) 3z − 2 = 0 .

6.

Вычислить расстояние:

а) точки

M (1; 2; 3)

от плоскости

2x − y + 2z +5 = 0;

б) точки

A(2,−1, 1)

от плоскости, проходящей через

три точки M1 (−1; 1; 1), M 2 (2;−1; 3),

M 3 (1; 3; 1).

7.

Вычислить расстояние между параллельными плоскостями

2x −3y + 6z −14 = 0; 4x −6 y +12z + 21 = 0.

133

Лабораторная работа № 9

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

1.Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через начало координат и точку M1 (3;−5; 7).

2.Определить направляющие косинусы прямой

x−−43 = y12+ 2 = z−−34 .

3. Через точкуM1 (1;−3; 2) провести прямую: а) параллельно оси OZ;

б) параллельно прямой	x −5	=	y +1		=	z + 2	;
			2
	− 4				5
в) параллельно прямой	2x − y + 4z −5 = 0
	3x + y −5z + 2 = 0.

4.Найти точку пересечения прямой x 2+1 = y−−32 = z +1 4 и плоскости −3x +5y − z +5 = 0.

5.Доказать параллельность прямых

x −1		=	y + 2	=	z	,	x + y − z + 2 = 0
0			−3		−3			= 0.
							2x − y + z −3

6. Доказать перпендикулярность прямых

x = t + 2	3x + y −5z + 4 = 0
y = −2t −3		= 0.
	2x +3y −8z −5
z = 3t +1,

7.Даны вершины треугольника A(7;−2; 3), B (1;−4;−5), C (3; 2;−6). Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины C.

8.Точка M (x, y, z) движется прямолинейно и равномерно из начального положения M 0 (7; 5;−3) в направлении, противополож-

ном вектору s{−3; 6;−2} со скоростью V = 21. Составить уравнения движения точки M и определить точку, с которой она совпадает в момент времени t = 3.

134

Лабораторная работа №10

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (3;−1; 2) и а) перпендикулярно прямой x 1−3 = y−+24 = z−−51;

x = 2t − 2

б) через прямую y = −4t +1

z = t +3;

x = t + 2

в) параллельно двум прямым x−−31 = y 1+ 2 = z −5 4 , y = 2t − 4

z = −3t +1.

2.

Через прямую

x − 2

=

y +3

=

z −1

провести плоскость:

− 2

4

3

а) параллельно прямой

x

=

y − 2

=

z − 4

;

1

3

− 2

б) перпендикулярно плоскости

2x −5y + z −7 = 0.

3.

Найти проекцию точки M (1; 2; 3) на плоскость 2x + y − z +5 = 0.

4.

Найти проекцию прямой

x + 2

=

y −1

=

z + 4

на плоскость

3

− 4

− 2

x + 2 y − z + 6 = 0.

5.

Составить уравнение плоскости, проходящей через две па-

раллельные прямые

x −1

=

y + 2

=

z − 4

;

x −3

=

y − 2

=

z −1

.

3

3

−1

2

−1

2

6.

Через точку M (2; 1;−3)

провести прямую, перпендикулярную

прямой

x +1

=

y −1

=

z + 2

.

2

−1

− 2

135

Приложение II

Индивидуальная работа № 1

МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Задание I. Даны матрицы:

1		−2	0			7	−4	1		2		0	6		0		1 1		7		1	0
	3 4					2	−2				7	1 1				2	−8			−5 4
A =			−1		, B =			0		, C =					, D =			5	, N =			−1 .
	2	8	1			0	4 8				−4	−1				4	−1			2	3	1
													0					3

Номер		Вычислить						Номер									Вычислить
варианта							варианта
1		2A − N + 4C						9									3C + A − B
2		− A +3B − D						10									− A + 4B − N
3		4A + D −3N						11									− 2C +3D − 2B
4		C − 2B +3A						12									5A − 2C + B
5		3A − 4D +C						13									− B + 2D −3N
6		− 2A + B −3C						14									4B − A + 2N
7		−3A +5B −C						15									3N − 2B +C
8		A − N + 4C
Задание II. Найти произведение матриц.
														5
Номер		1	2		3			4									6		7		8
варианта													AC
Вычислить		AB		BA	BC			CB									CA		DA		AD
Номер		9		10		11					12					13			14		15
варианта
Вычислить		DB		BD			CD				DC					AN			NC		BN
Матрицы A, B, C, D, N взять в задании I.
Задание III. Дана матрица								α		1	2
								−1		5	4
						A =
								0		2	3

136

Вычислить det A двумя способами: а) по определению;

б) с помощью разложения по строке (столбцу). Значение параметра α взять равным номеру варианта.

Задание IV. Найти матрицу, обратную матрице A. Матрицу A взять в задании III.

Индивидуальная работа № 2

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Задание I. Решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, используя формулы Крамера. Сделать проверку.

1) 3x − y =1,		2) 2x + y = 3,
x + 4 y = 2.			x − y = −1.
4) 3x +5y = −1,		5) −3x + y = −4,
	− x + 4 y = 0.	8x + 2 y = 3.
7)	−3x + 7 y = 40,	8) 5x + y = 5,
	5x − y =1.	8 x − y = −1.
10)	− x + 2 y = 4,	11)	2x − y = 8,
	2 x − y = 5.		3x +5y =1.
13)	− 2x −5y =1,	14)	7x + y = 23,
	x +3y = 3.		−5x +3y =1.

3)		− 2x + y = 4,
		7x − y =1.
6)	− x +5y =17
	2x −8y =1.
9)	4x + y = −1,
	3 x − 2 y = 3.
12)		5x − 2y = 4,
		− x −5y =1.
15)		6x −8y = 5,
		− 2 x + y =15.

Задание II. Решить систему трех линейных уравнений

а) по формулам Крамера,
б) методом обратной матрицы,
в) методом Гаусса.
1)	2)	3)

2x + y − z = −1,	x + 2 y − z = 4,
			− y + z = −1,
3x − 2 y − 2z = −6,
		2x	+ z =1.
x −3y + 2z =1.

x + y + z = −1,2x + y − z = −4,x + 2z =1.

137

4)

− 2x + y + z = 5,
	x + y − z = −1,
− x + 2z = 2.
7)	2 y − z = 5,
	+ 2 y − 2z = 4,
2x
2 x − y +3z = −7.
10)
2x	+3y + z = 9,
	4 y − 2z = −2,
x +3y − z = 3.
13)
x	+ 2 y + z = 4,
	+ 7 y − z = 8,
2x

3x −5y +3z =1.

5)

x − 2 y + z = 6,2x − y − z = −1,

x − y + 2z = 5.

8)

	x + y − z = 3,
	− x − 2 y + z = 2,
	− 2x −3y + z = 5.

11)

3x + 2 y + 2z = 3,

x −5y −8z = −13,4x + 2 y + z = 3.

14)

3x − y +5z = 7,x − 2 y + 4z = 3,

2x − 4 y +3z =1.

6)

x		− 2 y + z = −2,
		+ 4z = −6,
2x
	x +3y = −1.

9)

5x +3y + 3z = 48,
2x + 6 y −3z =18,
	8x −3y + 2z = 21.

12)

x	− 2 y + 2z = −5,
		y +	z = 6,
7x +
			z = 5.
2x + y −
15)
− x	+ 2 y −3z = −4,
		y = −1,
2x −

x −3y + z =1.

Индивидуальная работа № 3

КООРДИНАТЫ. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ

Задание I. Найти координату точки A на оси Ox , если из-

вестна координата точки						B на той же оси и расстояние между
точками A и B .
№ варианта		1		2		3	4			5			6		7		8
координата		(-5)		(-3)		(4)	(5)			(2)			(-7)		(1)		(0)
точкиB
расстояние		3		4		5	6			1			4		5		3
AB
№ вариан-		9		10		11		12				13			14		15
та
координата		(-4)		(-1)		(-2)		(11)				(13)			(-2)		(7)
точки B
расстояние		8		9		3		1				2			4		3
AB

138

Задание II. На плоскости Oxy даны две точки A и B. Найти расстояние между ними. Построить их.

№ варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

координаты

(-2; -5)

(-4; -3)

(5; -3)

(1; 2)

(4; 3)

(0: -2)

(-1; 2)

(7;-2)

точкиA

координаты

(3; -4)

(5; 1)

(0; 4)

(2; 4)

(-1; 0)

(-3; 4)

(2; -1)

(2; 1)

точки B

№ варианта

9

10

11

12

13

14

15

координаты

(0; 3)

(3; 0)

(9; 1)

(-3; -1)

(4; 3)

(8: 2)

(3; -3)

точкиA

координаты

(5; 4)

(2; -3)

(2; -1)

(0; 2)

(2;-7)

(4;8)

(2; -1)

точки B

Задание III . Найти точку, удаленную от точки A на 6 единиц и находящуюся

а) на оси абсцисс; б) на оси ординат.

Пояснить построением наличие двух решений. Координаты точки A взять в задании II.

Задание IV. На отрезке AB найти

а) точку M делящую отрезок AB в отношении λ = AMMB = 12 ;

б) точку M делящую отрезок BA в отношении λ = MABM = 2. Координаты точек A и B взять в задании II.

Индивидуальная работа № 4

УРАВНЕНИЕ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК

Задание I. Составить уравнение прямой, проходящей через точку C (x1, y1)

а) параллельно оси Ox;

б) перпендикулярно оси Ox.

139

№ варианта	1		2			3				4			5			6		7		8
координаты
точкиC(x1; y1 )	(1; -3)		(-1; 2)			(3;-1)			(4; 3)				(5;-3)			(-3; 6)		(7; -8)		(8; -7)
№ варианта		9		10				11				12			13			14		15
координаты
точкиC(x1; y1 )		(3; -9)		(-3; 3)			(2;-1)				(-8; 5)				(5; 2)			(0; 7)		(-2; 4)

Задание II. Составить уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным номеру варианта. Где находится точка С: лежит на окружности или внутри круга, вне круга? Координаты точки С взять в задании I.

Задание III. Составить уравнение окружности с центром в точке С(х1; y1) и радиусом R, равным номеру варианта. Проходит ли эта окружность через начало координат? Координаты точки С взять в задании I.

Задание IV. Составить уравнение траектории точки, которая в своем движении остается на одинаковом расстоянии от начала координат и от точки С. Координаты точки С взять в задании I. Построить чертеж.

Задание V. Составить уравнение траектории точки, которая в своем движении остается вдвое ближе от начала координат, чем от точки С. Координаты точки С взять в задании I. Построить чертеж.

140